Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Формулы (3,3), (3,4) называют преобразованием Галилея. Принцип относительности Галилея можно сформулировать как требование инвариаитиости уравнений движения механики по отношению к этому преобразованию. $4. Функция Лагранжа свободной материальной точки Переходя к определению вида функции Лагранжа, рассмотрим сначала простейший случай — свободное движение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Как мы уже видели, функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости.
Для выяснения ') Оно не справедливо в механике теорнн относительности, игл. 3 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 16 вида этой зависимости воспользуемся принципом относительности Галилея. Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К' с бесконечно малой скоростью е, то ч'= ч+ е. Так как уравнения движения во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа 1,(ог) должна при таком преобразовании перейти в функцию т"., которая если и отличается от (,(ог), то лишь на полную производную от функции координат и времени (см. конец $2), Имеем: ~.'= ~ (о") = 1.
(о'+ 2че+ еа). Разлагая это выражение в ряд по степеням е и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим: )+ дог Второй член правой части этого равенства будет полной производной по времени только в том случае, если он зависит от скорости ч линейно. Поэтому —, от скорости не зависит, т. е. дб функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо пропорциональна квадрату скорости: Ь вЂ” вг, (4,1) где лт — постоянная. Из того, что функция Лагранжа такого'вида удовлетворяет принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого преобразования скорости, непосредственно следует, что она удовлетворяет этому принципу и в случае конечной скорости У системы отсчета К относительно К'. Действительно, ~'= — О = 2 (Ч+У) — О+2 — ЧУ+ — Уз 2 2 2 илн Т.' = Е+ — „т (2 — гУ+ -~-(ггУ).
Второй член является полной производной и может быть опущен. Величина лт называется массой материальной точки. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы не- взаимодействующих точек имеем ') щ„г а 9 В качестве индекса, указывающего номер частицы, мы будем иользоватьск иервыми буквами латинского алфавита, а дли индексов, иумерующии коордииаты, используем буквы й А, й .., Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено в $2, всегда можно умножить функцию Лагранжа на любую постоянную; это не отражается на уравнениях движения.
Для функции (4,2) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы„отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный физический смысл, остаются при этом преобразовании неизменными, Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки ! пространства в точку 2 интеграл а 2 имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 7, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т.
е. не имел бы минимума '). Полезно заметить, что па=( — ) =— л1 а л1а (4,3) Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги г(1 в соответствующей системе координат. В декартовых координатах, например, тт«а = тухл + с«уа + ттга, поэтому ттт (ха „«„уа «„йа) В цилиндрических сЦа= с«га+ гатйра+ с«за, откуда Ь = — (га+ г'ф'+ г'). В сферических ГЛа = туга+ гас(ба+ га з1«пай тура и Ь = — (ге + гаОа + г' з1 па Офа). 2 (4,4) (4,5) (4,6) $5.
Функции Лагранжа системы материальных точек Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодействующих друг с другом; но ни с какими посторонними телами; такую систему называют замкнутой. Оказывается, что а) Сделаниаи в примечании на стр. 10 оговорка не мешает этому выводу, так как при т е. 0 интеграл не мог бы иметь минимума ни дли какого малого участка траектории, в а1 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 17 ЗРАВНЕИИЯ ДВИЖЕНИЯ 'ггл. 2 взаимодействие между материальнымя точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек (4,2) определенной (зависящей от характера взаимодействия) функции координат г), Обозначив эту функцию че.
рез — О, напишем: 2 т г «гаса (' (гн г2> ' ) а (5,1) (г †ради-вектор а-й точки). Это есть общий внд функции Лагранжа замкнутой системы. Сумму яг о2 и ') Это утвержлеггие относится к иялагаеиой в настоящей кинге классической — нерелятивистской — механике. называют кинетической энергией, а функцию 0 — лотенциальной энергией системы; смысл этих названий выяснится в Э б.
Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от расположения всех материальных точек в один и тот же момент времени, означает, что изменение положения одной из них мгновенно отражается на всех остальных; можно сказать, что взаимодействия «распространяются» мгновенно. Неизбежность такого характера взаимодействий в классической механике тесно связана с основными предпосылками последней — абсолютностью времени и принципом относительности Галилея. Если бы взаимодействие распространялось не мгновенно, т. е. с конечной скоростью, то эта скорость была бы различна в разных (движущихся друг относительно друга) системах отсчета, так как абсолютность времени автоматически означает применимость обычного правила сложения скоростей ко всем явлениям, Но тогда законы движения взаимодействующих тел были бы различны в разных (инерциальных) системах отсчета, что противоречило бы принципу относительности.
В $ 3 мы говорили только об однородности' времени. Вид функции Лагранжа (5,1) показывает, что время не только однородно, но и изотропно, т. е. его свойства одинаковы в обоих направлениях. В самом деле, замена 1 на — 1 оставляет функцию Лагранжа, а следовательно, и уравнения движения неизменными, Другими словами, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно н обратное движение, т.
е. такое, при котором система проходит те же состояния в обратном порядке. В этом смысле все движения, происходящие по ааконам классической механики, обратимы. аь1 етнкция льггьнжл систамы млтвгиьльных точвк 19 Зная функцию Лагранжа, мы можем составить уравнения движения (5,2) д дА дв ~й пдть дга Подставив сюда (5,1), получим: Ыт~ ' дгг Ль дг (5 3) Уравнения движения в этой форме называются уравнениями Ньютона и представляют собой основу механики системы взаимодействующих частиц. Вектор Г = — —, дтг (5,4) дгд Подставляя эти выражения в функцшо т'.= — ~ и (хз+ уз+ И) — с1 а получим искомую функцию Лагранжа, которая будет иметь вид 1. = — ~ аьь (Ч) Ч,ди — с1 (и), 1 (5,5) где аы — функции только от координат. Кинетическая энергия в обобщенных координатах по-прежнему является квадратич- ной функцией скоростей, но может зависеть также и от коор- динат, стоящий в правой стороне уравнений (5,3), называется силой, действующей на и-ю тачку.
Вместе с с1 она зависит лишь от координат всех частиц, но не от нх скоростей. Уравнения (5,3) показывают поэтому, что и векторы ускорения частиц являются функциями только от координат. Потенциальная энергия есть величина, определяемая лишь с точностью до прибавления к ней произвольной постоянной; такое прибавление не изменило бы уравнений движения (частный случай указанной в конце $ 2 неоднозначности функции Лагранжа). Наиболее естественный и обычно принятый способ выбора этой постоянной заключается в том, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояний между частицами.
Если для описания движения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты дь то для получения лагранжевой функции надо произвести соответствующее преобразование ха 1а(Ч1> чм Ь)~ ха Л д чь и т, д. т д~, ь ихвнвния движения игл. г До сих пор мы говорили только о замкнутых системах. Рассмотрим теперь незамкнутую систему А, взаимодействующую с другой системой В, совершающей заданное движение.
В таком случае говорят, что система А движется в заданном внешнем поле (создаваемом системой В). Поскольку уравнения движения получаются из принципа наименыпего действия путем независимого варьирования каждой из координат (т. е. как бы считая остальные известными), мы можем для нахождения функции Лагранжа Ез системы А воспользоваться лагранжевой функцией Е всей системы А + В, заменив в ней координа.
ты Чв заданными функциями времени. Предполагая систему А + В замкнутой, будем иметь: Е= ТА (ЧА* ЧА) + ТВ (ЧВ, ЧВ) — У (ЧА ЧВ)~ где первые два члена представляют собой кинетические энергии систем А и В, а третий член — их совместную потенциальную энергию. Подставив вместо Ча заданные функции времени и опустив член Т(ЧаЯ, Ча(г)), зависящий только от времени (и поэтому являющийся полной производной от некоторой другой функции времени), получим: ЕА = ТА (ЧА Чл) О (ЧА Чв (С)), Таким образом, движение системы во внешнем поле описывается функцией Лагранжа обычного типа с тем лишь отличием, что теперь потенциальная энергия может зависеть от времени явно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
