Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Так, в однородном поле, направленном вдоль оси г, сохраняются компоненты импульса вдоль осей х и д. Исходное равенство (7,1) имеет простой физический смысл, д» дУ Производная — = — — есть сила Г„действующая на а-ю дга дга частицу. Таким образом, равенство (7,1) означает, что сумма сил, действующих на все частицы замкнутой системы, равна нулю: ХГ =О. (7,4) В частности, в случае системы, состоящей всего из двух материальных точек, Г! + Г, = Рл сила, действующая на первую частицу со стороны второй, равна по величине, но противоположна по направлению силе, действующей на вторую частицу со стороны первой. Это утверждение известно под названием закона равенства действия и противодействия.
Если движение описывается обобщенными координатами 7» то производные лагранжевой функции по обобщенным '1 Устаревшее вааваиве — количество движения. !гл. гв ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ скоростям Р! = дп (7,5) дЧ! называются обоби(енньсми импульсами, а производные д!. дч! называются обобц!енными силами, В этих обозначениях уравнения Лагранжа имеют вид рг= рг, (7,7) В декартовых координатах обобщенные импульсы совпадают с компонентами векторов р,. В общем же случае величины р! являются линейными однородными функциями обобщенных скоростей Оь отнюдь не сводящимися к произведениям массы на скорость.
(7,6) Задача Частица с массой пг, движу!пекся со скоростью чь переходит из полу- пространства, в котором ее потенциальивя энергия постоянна и равна Уь в полупрострзнсгво, где этв энергия тоже постоянна, но равна т!з. Определить изменение направления движения чзстицы. Решение. Потенциальная энергия не зависит от координат вдоль осей. параллельных плоскости раздела между полупространстввми.
Поэтому сохрвняется проекция импульса частицы нв эту плоскость. Обозначив посредством О~ и Оз углы между нармэлью к плоскости раздела н скоростями чг и ч, частицы до и после перехода, получим: и, з!пО1 - о,зги Оь Связь же между о~ и пз дается законом сохранения энергии, и в результате находим; — = Чу!+ — (и,— и,). ми в, I а з!п Оз ~~/,„ез ! или Р = Р'+ Ч 2 гл,. а (8,1) В частности, всегда существует такая система отсчета К; в которой полный импульс обращается в нуль, Положив в (8,1) 5 8. Центр инерции Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным (инерциальным) системам отсчета.
Если система отсчета К' движется относительно системы отсчета К со скоростью Ч, то скорости тй и чг, частиц по отношению к этим системам связаны соотношением тг, =чг, '+ Ч. Поэтому связь между значениями Р и Р' импульса в этих системах дается формулой Р = Е т.т. = Х т.т. '+ Ч Х т., центР ИнеРции Р'=О, найдем, что скорость этой системы отсчета равна (8,2) Если полный импульс механической системы равен нулю, то говорят, что она покоится относительно соответствующей системы отсчета. Это является вполне естественным обобщением понятия покоя отдельной материальной точки.
Соответственно скорость У, даваемая формулой (8,2), приобретает смысл скорости «движения как целого» механической системы с отличным от нуля импульсом. Мы видим, таким образом, что закон сохранения импульса позволяет естественным образом сформулировать понятия покоя и скорости механической системы каи целого.
Формула (8,2) показывает, что связь между импульсом Р н скоростью Ч системы как целого такая же, какая была бы между импульсом и скоростью одной материальной точки с массой р= ~ т„равной сумме масс всех частиц в системе. Это обстоятельство можно сформулировать как утверждение об аддитивности масс»и Правая сторона формулы (8,2) может быть представлена как полная производная по времени от выражения т„т„ й= (8,3) Можно сказать, что скорость системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой (8,3).
Такую точку называют центром инерции системы. Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. В таком виде это есть обобщение закона инерции, который был выведен в $ 3 для одной свободной материальной точки, «центр инерции» которой совпадает с пей самой. При изучении механических свойств замкнутой системы естественно пользоваться той системой отсчета, в которой ее центр инерции покоится. Тем самым исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого. Энергию покоящейся как целое механической системы обычно называют ее внутренней энергией Е„. Она включает в себя кинетическую энергию относительного движения частиц в си-.
стеме и потенциальную энергию их взаимодействия, Полная же ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЗО 1гл, гв энергия системы, движущейся как целое со скоростью )г', может быть представлена в виде: (8,4) Хотя эта формула довольно очевидна, дадим ее прямой вывод. Энергии Е и Е' механической системы в двух системах отсчета К и К' связаны соотношением Е=ф" р'.+(у= —,' ' .(.'+ч)'+и= е и 1гз о~2 '~~~ "'а а + (у или Е = Е' + Ч Р' + ~ (8,Б) Этой формулой определяется заков преобразования энергии при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому как для импульса этот закон дается формулой (8,1).
Если в системе К' центр инерции покоится, то Р' = О, Е' = Е,„, и мы возвращаемся к формуле (8,4). Задача Найти закон преобразования действия при переходе от одной ннерцнальной системы отсчета к другой. Р е ш е н не. Функция Лагранжа, равная разности кинетической н потенциальной знергий, очевидно, преобразуется согласно Формуле, аналогичной (8,5) г ь = Ь' + ЧР' + '/зррт. Интегрируя зто равенство по времени, найдем искомый закон преобразования действия: З- З'+ мУЦ'+ 2!2ИУ'й где и' — радиус.
вектор центра инерции в системе А". 5 9. Момент импульса Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства. Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом ие изменилась. Введем вектор БФ бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу бгр поворота, а направление сов- момент импулъсА падает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению бф).
Найдем, прежде всего, чему равно прн таком повороте приращение радиус-вектора, проведенного нз общего начала координат (расположенного иа оси вращения) к какой-либо пз материальных точек поворачиваемой системы. Линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом соотношением ] бг]= г з!п О бф (рис. 5)'. Направление же вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через г и бф. Поэтому ясно, что бг = [бф ° г].
о При повороте системы меняется направление ие только радиус-векторов, ио и скоростей всех ча- р„, б стиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат бч = [бф ° ч].
(9,2) Подставив эти выражения в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте И,=~Ч~ ~ — бг, + — бт;) =О, О заменяем производные дЦдч, = р, дЦдг, =р,: ~ (р, [бф ° г,] + р„[бф ° ч,]) = О, или, производя циклическую перестановку множителей и вынося бф за знак суммы: бф~Ч',([г.р ]+ [ч.р.]) =бф — „, ~~ [г,р.]=О. Я а Ввиду произвольности бф отсюда следует, что — ~ [г,р„] = О, й т.
е. мы приходим к выводу, что при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина м= Х [.Р.], (9,3) называемая моментом импульса (или просто иомаигом) снеге. ЗАКОНЫ СОХРАНВПИЯ ьгл !а мы'). Аддитивность этой величины очевидна, причем, как и у импульса, она не зависит от наличия или отсутствия взаимодействия между частицами. Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения.
Таким образом, всякая замкнутая система имеет всего семь таких интегралов: энергия и по три компоненты векторов импульса н момента. Поскольку в определение момента входят радиус-векторы частиц, то его значение, вообще говоря, зависит от выбора начала координат. Радиус-векторы г, и г' одной и той же точки по отношению к началам координат, смещенным на вектор а, связаны соотношением г,=ге+а. Поэтому имеем: М = Е [г рь] = Е [г'Р.] + [а Х рв~ или М =М'+ [аР].
Из этой формулы видно, что только в том случае, когда система как целое покоится (т. е. Р = 0), ее момент не зависит от выбора начала координат. На законе сохранения момента эта неопределенность его значения, разумеется, не сказывается, так как у замкнутой системы импульс тоже сохраняется. Выведем также формулу, связывающую значения момента импульса в двух различных инерциальных системах отсчета К и К', из которых вторая движется относительно первой со скоростью У. Будем считать, что начала координат в системах (А и К' в данный момент времени совпадают. Тогда радиус-векторы частиц в обеих системах одинаковы, скорости же связаны посредством ч,=ч,'+Ч.
Поэтому имеем: М = ~ т„[г,та] = ~ тп. [г,ч,']+ ~ лт, [г,У]. в и в Первая сумма в правой стороне равенства есть момент М' в системе К', введя во вторую сумму радиус-вектор центра инерции согласно (8,3), получаем: М =М'+ р [атУ]. (9,5) Эта формула определяет закон преобразования момента импульса при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому, как для импульса и энергии аналогичные законы даются формулами (8,1) и (8,5). Если система Отсчета К' есть та, в которой данная механическая система покоится как целое, то Ч есть скорость центра инерции последней, а ртЧ вЂ” ее полный импульс Р (относительно К). 4) Употребляются также иааиаиия вращательный момент или угловой момент, МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Тогда М = М'+ ((Ц ).
(9,6) Другими словами, момент импульса М механической системы складывается из ее «собственного момента» относительно системы отсчета, в которой она покоится, и момента [КР], связанного с ее движением как целого. Хотя закон сохранения всех трех компонент момента (относительно произвольного начала координат) имеет место только для замкнутой системы, в более ограниченном виде этот закон может иметь место и для систем, находящихся во внешнем поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
