Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Из приведенного выше вывода очевидно, что всегда сохраняется проекция момента на такую ось, относительно которой данное поле симметрично, и потому механические свойства системы не меняются при любом повороте вокруг этой оси; при этом, конечно, момент должен быть определен относительно какой-нибудь точки (начала координат), лежащей на этой же оси. Наиболее важным случаем такого рода является поле с центральной симметрией, т.
е. поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до некоторой определен. ной точки (центра) в пространстве. Очевидно, что при движении в таком поле сохраняется проекция момента на любую ось, проходящую через центр. Другими словами, сохраняется вектор М момента, но определенного не относительно произвольной точки пространства,'а относительно центра поля. Другой пример: однородное поле вдоль оси г, в котором сохраняется проекция М, момента, причем начало координат может быть выбрано произвольным образом. Отметим, что проекция момента на какую-либо ось (назовем ее е) может быть найдена дифференцированием функции Лагранжа по формуле (9,7) а где координата ф есть угол поворота вокруг оси е. Это ясно уже из характера изложенного выше вывода закона сохранения момента, но в том же можно убедиться и прямым вычислением.
В цилиндрических координатах г, ф, г имеем (подставляя Ха = Га СОз фа, уа = га ЫП фа): М,=,», т,(хау, — у,х,) = Х т г,'ф, (9,8) а а С другой стороны, функция Лагранжа в этих переменных имеет вид =-'Е .(':+ 'ф'+ ')- а и ее подстановка в (9,7) приводит к тому же выражению '(9,8), (гл. а законы сохрлйиния Задачи ). Найти выражения для декартовых компонент и абсолютной величины момента импульса частицы в цилиндрических коордвнатах г, ЧЬ я, От ьет: Ма и мп Е (га — хГ) — «и гф соз Е, Ма т соз е (аг — гй) — «згяф з!и е, Мз шгзф, Мз „шзгзфз( з.( з).(„з( й г)з 2. То же в сферических координатах г, 6, Чь Ответ: М„-шг' (6 а(в ю + ф з!п 6 соз 6 соз в), М„- .*(й .р-фмпЕ звзрле), м з мпзй.ф, Мзч яззг4 (й'+ згпз9 ° фз).
3. Какие компоненты вмпульса Р л момента М сохраняются прн движе ннв в следующих полях: а) поле бесконечной однородной плоскости, От в ею Р*, Р„, М (бесконечная плоскость плоскость я, р)'. б) Поле бесконечного однородного цвлнндра. О т в е т: М„Р (ось цилиндра — ось а), в) Поле бесконечной однородной призмы. О т в е т: Р. (ребра призмы параллельны осн н), г) Поле двух точек. От а ат: Мз (точки находятся иа оси г).
д) Поле бесноие шой однородной повуплоскостн. Ответ: Р„(бесконечная полуплоскость — часть плоскости х, р, ограни- ченная осью р), е) Поле одвородногб конуса. Ответ: Мз (ось конуса-ось а), ж) Поле однородного кругового тора. Ответ: М, (ось тора — ось л). в) Поле бесконечной однородной пнлиндрической винтовой лавин. Решена е. Функция Лагранжа не меняется при повороте вокруг оси винта (ось х] на угол ЬФ и одновременвом переносе вдоль этой оси на расз стояние — Ь<р (Ь-ша винта). Поэтому Ь 2п ЬЬ-* — Ьи+ — ЬФ-(ря — +Мз) ЬЧ-О, дЬ ЬЬ г Ь дх де 'ч 2п откуда Мз + — Ря сопзь Ь йп й 19.
ййеханвчесвое подобие Умножение функции Лагранжа на любой постоянный множитель очевидным образом не меняет уравнений движения. Это обстоятельство (отмеченное уже в $2) дает возможность в ряде важных случаев сделать некоторые существенные занлю. !гл. и ЗАКОНЫ СОХРАНЯННЯ Как мы увидим далее, в случае так называемых малых колебаний потенциальная энергия является квадратичной функ. цией координат (й = 2), Из (10,2) находим, что период таких колебаний не зависит от их амплитуды. В однородном силовом поле потенциальная энергия — линейная функция координат (см. (5,8)), т.
е. й =1. Из (10,2) имеем Отсюда следует, например, что прн падении в поле тяжести квадраты времени падения тел относятся, как их начальные высоты. При ньютоновском притяжении двух масс или кулоновском взаимодействии двух зарядов потенциальная энергия обратно пропорциональна расстоянию между частицами, т. е. является однородной функцией степени й = — 1.
В этих случаях р ~ р ~зтз и мы можем утверждать, например, что квадраты времен обращения по орбитам пропорциональны кубам их размеров (так называемый третий ваком Кеплера). Если движение системы, потенциальная энергия которой является однородной функцией координат, происходит в ограниченной области пространства, существует весьма простое соотношение между средними по времени значениями кинетической и потенциальной энергии; оно известно под названием вириальной теоремы. Поскольку кинетическая энергия Т является квадратичной функцией скоростей, то по теореме Эйлера об однородных функциях ~ — та =2Т, дТ дтд а дТ или; вводя импульсы — =р,: дта 2т=~~' Рдтд= а (~~' Рдгд~ — ~~~гдРд, (10,4) а ~ а / а Усредннм это равенство по времени.
Средним значением каа кой-либо функции времени 1(1) называется величина 1 = Пгп — ~ 1' (1) й1. а-+ 0 о МЕХАНИЧЕСКОЕ ПОДОБИЯ зт $ ге1 'Легко видеть, что если 1( г) является производной по времени Т(г) = — от ограниченной (т. е. не принимающей бесконечггг (Г) ш ных значений) функции'Е((), то ее среднее значение обращается в нуль. Действительно, тз ш О Предположим, что система совершает движение в конечной области пространства и со скоростями, не обращающимися в бесконечность. Тогда величина ~ г,р, ограничена, и среднее значение первого члена в правой стороне равенства (10,4) обращается в нуль. Во втором же заменяем р, согласно уравнениям Ньютона на — — и получаем )".
зи ! . дгд а ('. 0,5) Если потенциальная энергия является однородной функцией й-й степени от' всех радиус-векторов г„то согласно теореме Эйлера равенство (10,5) переходит в искомое соотношение 2Т=ЙУ. (10,6) Поскольку Т+У=Е=Е, соотношение (10,6) можно пред. ставить в эквивалентных формах — й Т= — Е й+2 2 У= — Е й+2 (!0,7) выражающих У и Т через полную энергию системы. В частности, для малых колебаний (й = 2) имеем: т=й, т.
е. средние значения кинетической и потенциальной энергий совпадают. Для ньютоновского взаимодействия (й = — 1) 2Т = — У. При этом Е = — Т в соответствии с тем, что при таком взаи- модействии движение происходит в конечной области простран- ства лишь при отрицательной полной энергии (см. $15), ') Выравгение в правой стороне равенства (10,5) иногда называют ви. риалом системы, ЗАКОНЫ СОХРАНЙННЯ 38 Задачи !. Кан относятся времена движения по одинаковым траекторивм точек е различными массами прн одинаковой потенциальной энергнир Ответ: 2. Как изменяются нремена движения по одинаковым траекториям прк изменении потенциальной энергии на постоянный множитель? Ответ: ГЛАВА Ш ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ и 11. Одномерное движение Одномерным называют движение системы с одной степенью свободы.
Наиболее общий вид лагранжевой функции такой системы, находящейся в постоянных внешних условиях, есть Е = — а (д) да — у (д), (11,1) где а (д) — некоторая функция обобщенной координаты о. В частности, если д есть декартова координата (назовем ее х), та~ Ь = — — У(х). а»' + У(х) ~, Это есть дифференциальное уравнение первого порядка, инте- грирующееся путем разделения переменных, Имеем: — „, = ~~(~-У(х)), Ых !2 откуда =м'-~ !лт г лх + сопз1. Мз Зч/и — и(> (1 1,3) Роль двух произвольных постоянных в решении уравнения движения играют здесь полная энергия Е и постоянная интегрирования сопз1.
Поскольку кинетическая энергия — величина существенно положительная, то при движении полная энергия всегда больше потенциальной, т. е. движение может происходить только в тев областях пространства, где У(х) ~ Е. Соответствующие этим лагранжевым функциям уравнения движения интегрируются в общем виде. При этом нет даже необходимости выписывать самое уравнение движения, а следует исходить сразу нз его первого интеграла — уравнения, выражающего закон сохранения энергии. Так, для функции Лагранжа (11,2) имеем: интегРиРВВАние уРАВнении дВижения ггл.
Нт 4О Пусть, например, зависимость У(х) имеет вид, изображенный на рис. 6. Проведя на этом же графике горизонтальную прямую, соответствующую заданному значению полной знергии, мы сразу же выясним возможные области движения. Там в изображенном на рис. 6 случае движение может происходить лишь в области АВ или в области справа от С, РВЕ. 6 Точки, в которых потенциальная энергия равна полной У(х) =Е, (1 1,4) м(В Т(Е) = 1/2ги „ИЮ Ч/и- и<У) (11,5) причем пределы х1 и ху являются корнями уравнения (11,411 при данном значении Е.
Эта формула определяет период дви- жения в зависимости от полной энергии частицы, определяют границы движения. Они являются точками остановки, поскольку в них.скорость обращается в нуль. Если область движения ограничена двумя такими точками, то движение происходит в ограниченной области пространства; оно является, как говорят, финигиым. Если же область движения ие ограничена или ограничена лишь с одной стороны, †движен инфинигно, частица уходит на бесконечность. Одномерное финитиое движение является колебательным— частица совершает периодически повторяющееся движение меакду двумя границами (на рис.
6 в потенциальной лме АВ меВкду точками х1 и хг). При этом согласно общему свойству обратимости (стр. 18) время движения от х1 до хь равно времени обратного движения от хз до хь Поэтому период колебаний Т„ т. е. время, за которое точка пройдет от х~ до хз и обратно, равен удвоенному времени прохождения отрезка х,хз или согласно (11,3) й т11 ОДНОМЕРНОЕ ДИИЖЕНИП Задачи 1. Оиределвть период колебаний плоского математического маятника (точка т на конце нити длиной ! в поле тяжести) н зависимости от их амплитуаы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
