Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 8
Текст из файла (страница 8)
уравнение траектории. Формула же (14,6) определяет в неявном виде расстояние г движущейся точки от центра как функцию времени. Отметим, что угол ф всегда меняется со временем монотонным образом — из (14,2) видно, что ф никогда не меняет знака. Выражение (14,4) показывает, что радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией У ее — — У (г) + ЬР~2тгз, (14,8) Величину Ма/2тга называют центробежной энергией.
Значения т, при которых У(г)+ М'/2тг»=Е, (14 9) определяют границы области движении но расстоянию от цент. ра. При вынолиении равенства (14,9) радиальная скорость г обращается в нуль. Это не означает остановки частицы (иим при истинном одномерном движении), так как угловая скорость ф не обращается в нуль. Равенство у = 6 ознечвет еточиу поворота» траектории, в которой функции г(1) переходит от рвиа личення к уменьшению илн наоборот. интегРНРоВАние уРАВнения дВижения 1гл. НВ Яв Рис.
9 Если область допустимого изменения г ограничена лишь одним условием г) г иь то движение частицы инфинитно — ее траектория приходит из бесконечности и уходит на бесконеч.. ность. Если область изменения г имеет две границы г,„и г„,„, то движение является финптным и траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного окружностями г = г,„и г = г м Это, однако, не означает, что траектория непременно является замкнутой кривой. За время, В течение которого г изменяется от г',к до г ис и затем до г ,Р, радиус-вектор повернется иа угол Л~р, равный согласно (14,7) П3 ЗХ М Ь~=2 (!4,10) г А !2гп (Š— У) —— псс г' Условие замкнутости траектории заключается в том, чтобы втот угол был равен рациональной части от 2и, т.
е. имел вид Ь<р = 2пт/и, где и, и— целые числа. Тогда через и повторений этого периода времени радиус- вектор точки, сделав и полных оборотов, совпадет со своим первоначальным значением, т. е. траектория замкнется. чбп Однако такие случаи исключительны, и при произвольном виде (7(г) угол Ьср не является рациональной частью от 2И. Поэтому в общем случае траектория финитиого движения не замкнута. ВР Она бесчисленное число раз проходит через минимальное и максимальное расстояние (как, например, на рис. 9) и за бесконечное время заполняет все кольцо между двумя граничными окружностями, Существуют лишь два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты.
Это поля, в которых потенциальная энергия частицы пропорциональна 1/г илн г'. Первый из этих случаев рассмотрен в следующем параграфе, а второй соответствует так называемому простран. ственному осциллятору (см, задачу 3 $23), движение в ццнтпалъном пОле В точке поворота квадратный корень (14,5) (а вместе с ним и подынтегральные выражения в (14,б) и (14,7)) меняет знак. Если отсчитывать угол сз от направления радиус-вектора, проведенного в точку поворота, то примыкающие с двух сторон к этой точке отрезки, траектории будут отличаться лишь знаком ~р при каждых одинаковых значениях г; это значит, что траектория симметрична относительно указанного направления. Начав, скажем, от какой-либо из точек г = г „, мы пройдем отрезок траектории до точки с г = г нп затем будем иметь симметрично расположенный такой же отрезок до следующей точки с г = г ,„ и т.
д., т. е. вся траектория получается повторением в прямом и обратном направлениях одинаковых отрезков. Это относится н к ннфинитным траекториям, состоящим из двух симметричных ветвей, простирающихся от точки поворота г ы до бесконечности. Наличие центробежной энергии (при движении с л4~0), обращающейся при г- О в бесконечность, как 1/г', приводит обычно к невозможности проникновения движущихся частиц к центру поля, даже если последнее само по себе имеет характер притяжения. «Падение» частицы в центр возможно лишь, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится к — оо при г-»О.
Из неравенства щгз М' — = Š— 0 (г) — — з. > О 2 2лзг или М' "и(г)+ —,„< Е' следует, что г может принимать сколь угодно малые значения лишь при условии зи(г)1,,,< — М, (14,11) т, е. 0(г) должно стремиться к — оо либо как — гх/гз с и) ) Мз/йгп, либо пропорционально — 1/г" с л ) 2. Задачи 1. Проинтегрировать уравнения движения сферического маятника — материальной точки щ, движущейся по поверхности сферы радиуса ! в поле тяжести. Р е ш е н и е. В сферических координатах с началом в центре сферы н полярной осью, направленной вертикально вниз, функция Лагранжа маятника !з Ь = — (6'+ з!и' й ф') + пзд! соз О.
2 Координата ф — циклическая, поэтому сохраняется обобщенный импульс р, совпадающий с а-компонентой момента:. Ф' щ!' з1ц'0 ф Мз = сонм. (11 !гнтВГРНРОВАние уРАВнений движения 50 !ГЛ !Ш Энергия г ° г 'е !гфг М.' Е= — (Вг+ з!пгй ° ерг) — тя! соей е* — + — 1-;-у~~ — тя! сох 9. 2 2 2еп! з!п и (2) Определяя отсюда В в разделяя переменные, получим: ! 1 ав где введена чзффектнвиая потепцкальная энергняэ Мг Цэфа (В) ~2!г . В тй! соз В. (4) Координата ф — цаклическая, так что снова сохраняется Ми тгг зигг а.
ф Энергия тРз Мг е е е,,',„,е е" Тем же способом, что н в задаче 1. находим — (Е- и,фф(г)) Мз егг е" ЛЬ 1 'ее — Ой Н Мг Ц ~ф(г) г, +тягсоза. йтг' з!п' а Условие Е = (Р,ее(г) представляет собой (прн М, Ф О) кубическое уравнение для г, имеюшее два положительных корня; ями определяется положе. Еля угла ер, используя (1), найдем Мэ егй е./Ы ! е е~к='е,еее' Интегралы (3) и (4) приводятся к эллиптическим интегралам соответственно вервого н третьего рода. Область движения ио углу В определяется условием Е ° (Р.ее, а ее границы — ураввением Е ' Ееее. Последнее представляет собой кубическое уравнение для сов В, имевшее в промежутке от -1 до +1 два корня, определяющих положение двух параллельных окружностей аа сфере, между которыми заключена зся траектория.
2. Провнтегрировать уравнення движения материальной точки, движущей. ся по поверхности конуса (с углом 2сг при вершине), расположенного вертикально, вершиной вниз, в поле тяжести. Решение. В сферических координатах с началом в вершине конуса и полярной осью, направленной вертикально вверх, функция Лагранжа Š— (Рг + г' и!пг а ° ф') — тйг соз а. 2 КИПЛЕРОИА ЗАДАЧА б) $ гщ иие двух горизонтальных охружиостей на поверхности конуса, между кото. рымя заключена траектория. 3 Проинтегрировать уравнения движения плоского маятника, точка подвеса которого (с массой т~ в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении (см. рис.
2). Решение. В найденной в задаче 2 $ б функции Лагранжа координата х — циклическая. Поэтому сохраняется обобшеиный импульс Р., совпадаюший с горизонтальной компонентой полного импульса системы: Р» (лц + шз) л+ шз(ф сов ф соп55. (!) Всегда можно считать систему, как целое, покоящейся; тогда сопз( О, н интегрирование уравнения (() дает соотношение (ш! + глз) х+ шз( 5!и ф соп55 (2) выражающее собой неподвижность центра инерции системы в горизонтальном направлении. Используя ()), получим энергию в виде гл»(»фз Г тэ соз ф) ш»у( со5 ф. (3) 2 (.
лг,+ т» ~ /т,+глззшзф аф. 2 (ш, + шз),> И Е+ шзу( соз ф =(,~/ ~ / Выразив ноординаты хз» х+!5(пф, уз=)созф частицы тз о по. мощью (2) через ф, найдем, что траектория этой частицы представляет собой отрезок эллипса с горизонтальной полуосью )шг((и~+ т,) и вертикальной й При т,-ьее мы возвращаемся к обычному математическому маятнику, качающемуся по дуге окружности.
й 15. Кеплерова задача Важнейшим случаем центральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональна г н соответственно силы обратно пропорциональны гз. Сюда относятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электростатические поля; первые, как известно, имеют характер притяжения, а вторые могут быть как полями притяжения, так и отталкивания. Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором и У= —— с с положительной постоянной а. График «эффективной» потенциальной энергии и Мз + г (15,2) имеет вид, изображенный на рис. 10.
При г-».0 она обращается в +со, а при г-ьоо стремится к нулю со стороны отрицательных значений; при г = Мз/гхлт она имеет минимум, равный (У,(ф) н„— — — пзгл)2М~. (10,3) ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛВИЖЕНИЯ 1гл. НВ 52 М / ЕЕМВ р= —, е= х/1+ — ' та ' ма (15,4) перепишем формулу для траектории в виде р/Г = 1 + е соз ~р. (15,5) Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат; р и е — так называемые параметр и элсценгриеитет орбиты. Сделанный нами выбор начала отсчета Гр заключается, как видно из (15,5), в том, что точка с <р О является ближайшей к центру (так называемый перигелий орбиты). Рес. 10 Рнс. 11 В эквивалентной задаче двух тел, взаимодействующих по закону (15,1), орбита каждой из частиц тоже представляет собой коническое сечение с фокусом в их общем центре инерции, Из (15,4) видно„что при Е ( О эксцентрнситет е (1, т.
е, орбита является эллипсом (рис, 11) и движение финитно в со. ответствии со сказанным в начале параграфа. Согласно известным формулам аналитической геометрии большая н малая полуоси эллипса а= — '= — ', б= = м . (155) 1 — вв 21Е1- Т/1 — вв „/Ещ1Е( Из этого графика сразу очевидно, что прн Е ) О движение частицы будет ннфинитным, а прн Е =. Π— фнннтным. Форма траектории получается с помогцью общей формулы (14,7). Подставляя в нее (/ = — а/Г и производя элементарное интегрирование, получим: М та Г М Ф= Е+ Ъ(М Выбирая начало отсчета угла <р так, чтобы сопз( =О, и вводя обозначения КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА Наименьшее допустимое значение энергии совпадает с (15,3), при этом а = О, т, е.
эллипс обращается в окружность. Отметим, что большая полуось эллипса зависит только от энергии '(но не от момента) частицы. Наименьшее и наибольшее расстояния до центра поля (фокуса эллипса) равны гппп= 1 =ц(1 е) геах= 1 — — а(1+е). (15,7) Эти выражения (с а и е из (15,6) и (15,4)) можно было бы, конечно, получить н непосредственно как корни уравнения У,ее(г) = Е. Время обращения по эллиптической орбите, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
