Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Преобразуя столбцы этого детерминанта, покажите, что он имеет трйхкратный корень м = О, н найдите остальные его корни. 5. Пусть молекула, указанная в залаче 4, совершает одно из следующих движений: а) равномерное поступательное движение в направлении осн х, Ь) равномерное поступательное дви ение в направлении осн у, с) равномерное вращение вокруг оси ж Покажите, что в каждом из этих случаев удовлетворяются уравнения ед движения. 6.
Покажите, что если возмущающие силы Ог не являются синусоидаль. ными н демпфирование отсутствует, то главные колебания определяются (гл. 10) МАЛЫВ КОЛПБАНИЯ формуламн = ) я ам, 1 ( Ог (««) 2п .~ м! — «« где Ог(м) связано с Ог преобразованием Фурье Ог(!) = — ~ О (м)е ' 'б . Т 2я Покажнте также, что если дисснпативная функцня диагоналнзируется одновременно с Т н )г, то вынужденные колебания определяются форччлой с 2 Ог (м) (из — ««+ 1««$!) ~' 2я .! (м, — ««э)з+ мт$з (Знаменатель написанной дроби имеет типичную «резонансную форму«. Эп! формулы могут служить иллюстрациен эффектнвностн операторного исчисления прн научении переходных процессов в линейных системах.) 7.
Точка двяжется по круговой орбите под действием силы, направленной к центру этого круга. Исследуйте движеняе этой точки после небольшого начального возмущения, введя для этого разностные координаты р =г — г« н Т = 0 — мй где га†радиус круговой орбиты, а «« — углоная скорость установившегося движения. Выразите Т и (г в этих координатах, пренебрегая членами выше второго порядка малости относительно р и в.
Получнте таким способом уравнения движения н выведите условия устойчивости первоначального движения. Покажите, что еслп 1г пропорционально г-мэг, то оно будет устойчивым лншь пря пс, 3. Покажнте также, что одяа нз частот полученного возмущйнного движения равна нулю (что соответствует переходу на новую круговую орбиту). Рекомендуемая литература Н. Маг не п а н апд О.
М. М и гр Ь у, Тпе Ыарпешзпсз о! РЬуз!сз зпб СЬеш!э!ту. Глава 9 этой книги содержит краткое введение в теорию малых колебаний, а глава 1Π— математическае основы матричной алгебры. Метод изложения несколько отличается от нашего, но так же широко применяется матричная алгебра. Л. О. 1ЧеЬз!ег, Рупап!!сз. Глава ч' втой книги содержит немного устаревший метод нзложення теории колебаний, однако она может оказаться полезной при изучении систем с рассеиванием энергии.
Кроме того, здесь хорошо изложены вынужденные колебания и вопросы перехода к непрерывным спстемам. Наиболее ценными являются сведения, изложенные в конце книги, где коротко рассматриваются квадратичные формы н преобразования к главным осям. При изложения вопроса об одновременной диагонализацип матриц Т н 1г автор не пользуется матричной алгеброй, но успешно преодолевает трудности, связанные с наличием кратных корней. Е. Т. %'Ь 1 1 !ай ег, Апа!уйса! Оупаш!сэ. Глава Н!! этой книгп посвящена теорнн колебаний, н здесь дайтся чйткое доказательство того, что матрнцы Т и У могут быть днагоналнзированы одновременно.
Этот вопрос изложен здесь значительно яснее, чем в книге Риком вид>'вь>ля д!>твглт> Рл 369 Вебстера. Наиболее цепными являются последние параграфы этой главы посвященные влиянию связей и колебаниям вблизи режима установившегося движения. Г> 94 главы У1Н посвящен колебаниям прн наличии диссипативных снл и содерж>ж изложение этого вопроса лишь для систем с двумя степенямн свободы, Л1.
Во с Ь е г, !пцобпсйоп !о Н!ййег Л!яеЬга. Глава ХП1 этого курса посвящена диагоналпзацни квадратичных форм с помощью метода, подобного изложенному у Вебстера и Уитте>сера. Представляют также шперес первые главы этой книги, где излагается вопрос о решении систем линейных уравнений. Э. Т! и> оэ Ь си К о апб Э. Н. Т о вид, Лбчапсеб 1>упав>!сз.
Эта книга является инженерным учебником, и общая теория пззо.кена в ней довольно элементарно. Однако колебания систем с двумя и тремя степенями свободы изложены подробно, и многие нз рассмотренных примеров полностью решены. Эти сравнительно простые системы дают ясное представление о таких понятиях, как главные колебания, резонанс н т. д., что часто остабтся менее ясным при абстрактном изложении.
В книге рассмотрены также некоторые специальные вопросы, такие, ьак приближенное решение векового уравнения, илп теория малых колебишй системы вблизи установившегося режима движения. Ьогб й а у1е!д Ь, ТЬеогу о1 Яоппс1. Эта монография является одной из классических книг по физике. В ней содерж>итси много теорем н различных примеров по всем вопросам теории колебаний, ббльшая часть которой была развита самим Рэлеем (в частности, введение диссипатнвной функции). Изложение ведбгся последовательно и ясно и, кроме того, излагаются некоторые редко рассматриваемые вопросы, такие, например, как влияние связей и некоторые свойства собственных *щстот.
Как н Вебстер, Рзлей опирается на работу Рауса, который в трудах адбашз Р>1зе Ешау,э 1877, и э!!!д!б Пупаш!сзэ впервые дал снстенаткческое язложение теории малых колебаний. Е. А. 0 н >1!е и> ! п, ТЬе Ма1Ьеша!1сз о1 С!гоп!! Апа1уэ!з. Эта книга убедительно доказывает важность теории малых колебаний в современной электротехнике.
Значительное внимание уделяется в ней квадратичным формам и преобразованиям к главным осям. Изложение вопросов, связанных с использованием матричной алгебры, проводятся на высоком уровне и отличается изяществом. О, Негз Ь е г я, !пйагеб зпб !!ашап прес!га о1 Ро!уа!ош!с Мо!есп1ез. В книге имеется много примеров применения классической теории малых колебаний к вопросам строения молекулы.
В ней подробно рассмотрены вопросы об использовании констант дни>кения и свойств симметрии пря решении задачи о колебании систем с большим числом степеней свободы, что уменьшает трудносп>, связанные с решением векового уравнения в этом случае, В книге рассматриваются многие модели молекул н да>отса соответствующие решения, иллюстрируемые кривыми различных главных колебаний. ГЛАВА 11 МЕТОДЫ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ И ПОЛЕЙ Все рассмотренные методы механики справедливы лишь для систем с конечным или счвтным числои степеней свободы. Однако известны механические задачи, связанные с исследованием непрерывных систем, например задача о колебании упругого тела. Здесь мы имеем дело с непрерывной системой, каждая точка которой принимает участие в колебаниях.
Поэтому движение этого тела может быть описано только посредством задания координат всех его точек как функций времени. Развитые нами ранее методы нетрудно модифицировать так, чтобы распространить их и на эти задачи. Наиболее прямой метод такого распространения состоит в аппроксимации непрерывной системы дискретной и последующем переходе к пределу в уравнениях движения. ф 11.1. Переход от дискретной системы к непрерывной. В качестве примера применения такой процедуры рассмотрим задачу о продольных колебаниях бесконечно длинного упругого стержня. Дискретная система, аппроксимирующая этот стержень, состоит из бесконечного числа точек равной массы, отстоящих друг от дру~а на расстоянии а и связанных между собой невесомыми пру>кипами с жесткостью >е (рис. 71).
Мы будем предполагать, что эти точки могут двигаться только вдоль прямой, на которой они лежат. Эту дискретную систему можно рассматривать как обобщение линейной трвхатомной молекулы, исследованной в предыдущей главе. Поэтому мы можем воспользоваться обычным методом изучения малых колебаний. Обозначая отклонение 1-й точки от положения равновесия через т>г, получаем выражение для кинетической энергии Т= — й ~т т>)>ч (1 1.1) где т †мас каждой точки. Аналогично, потенциальная энергия этой системы будет равна сумме потенциальных энергий отдельных пружин.
Поэтому 1 1/ ь(~. ~ )2 (1 1.2) $11.1) пвгяход от дискгатной системы к нвпгвгывной 371 (см. $10.4). Убелиться в том, что формула (11.2) выражает потенциальную энергию этой системы, можно и непосредственно, вычисляя силу, действующук> на 1-к> точку, и сравнивая еа с силой, полученной из выра>кения (11.2). Сила, действующая на 1-ю точку Писжеиа е ,еаеесеесии /е — / сис.ееееа еиеее>ееи ие еаееаеесие Рис. 71. Лисяретная свете ее точек равной массы, связанных пружянамн. Эта система юштир>'ет непрерыеньш упругий сгержень.
со стороны правой пру>вины, равна 1з(й;„ — тн), а сила со стороны левой пружины равна в й(тп †-гп ,). Поэтому сч равно 7'" = Д(г>г- — ти) — Д(,"и — >- ) д>с по совпадает с производной — —, получаемой из формулы (11. 2). Из выражений (11.1) и (11.2) следует, что лагранжиан данной системы равен б — Т вЂ” 1г — — ъ [>и>>, — 7г (тп. — сп)з) 1 у '2 е'ы > что можно записать также в виде Следовательно, уравнение Лагранжа для 1-й координаты будет иметь вид — >> — нп ~~' ' п~>+'нп(~' 1' >)=О.
(11,5) Та специальная форма, в которой записаны выражения (11.4) и (1!.5), выбрана нами для удобства предельного перехода к случаю непрерывного стержня, т. е. к случаю, когда а =- О. Рассмотрим сначала отношение т/а. Ясно, что при а-+О оно стремится к линейной плотности р, т. е. к массе единицы длины стержня. Что касается величины 7за, то ее предельное значение не столь очевидно. Так как упругий стержень подчиняется закону Гука, то его относиглельное удлинение прямо пропорционально растягнвающей силе, и поэтому можно написать: 372 методы ллгглнжл и гамильтона для непгегывных систем [гл. 1! где Š— относительное удлинение, т. е.
увеличение единицы длины стержня, а 1' — модуль Юнга. Но относительное удлинение отрезка а равно в =(ти., — тн)1а. а необходимая для этого сила равна ~ = )е (тн ы тн) = Йа ( — ") а Следовательно, произведение !еа должно соответствовать модулю Юнга непрерывного стержня. Далее ясно, что индекс 1, характеризуюгций номер материальной точки, должен при переходе к непрерывному стержню превратиться в непрерывную координату х.
Поэтому вместо переменной тн будем теперь иметь переменную "г(х), а фигурирующая в Е; величина — ч (х + а) — ч (х) а а перейдет, очевидно, в так как мы стремим а к нулю. Что касается самой величины а, то еЕ нужно заменить теперь на с(х, а суммирование по ! ааменнть интегралом по х. Тогда лагранжиан (11.4) примет вид ) 1 ~ ~рте — г'(«ч) ~ Перейдем теперь к уравнениям движения. !(огда а стремится к нулю, дза последних члена в уравнении (11.5) принимают вид то что, очевидно, равно в У вЂ ,' . Следовательно, колебания непрерыв- Мхз ного упругого стержня будут описываться уравнением лз» «'зв р — — у — =о. вт Лха Этот простой пример хорошо иллюстрирует метод перехода от дискретной системы к непрерывной. Особенно важно правильно понять здесь роль координаты х, которая не являевгся обобщвнной координатой, а представляет «непрерывный номер» частицы, аналогичный «дискретному номеру» !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
