Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Ортогональность матрицы 71! сильно облегчает определение коэффициентов СА по заданным начальным условиям. При г = 0 веще. ственная часть выран<ения (10,28) будет равна тн(0) = ~~', ()те С„) аы, 7' (10. 31) где символ КеСА означает вещественную часть СА Аналогично будем иметь ;! (0) = — Х (!ш С„) а!АР!!и (10.
32) где !И!С„обозначает мнимую часть СА. Из этих 2л уравнений можно определить вещественные и мнимые части всех и констант СА. Чтобы решить, например, уравнения (10.31), их можно умножить на Тг!п1! и просуммировать по 1 и у, Тогда согласно (10.21) будем иметь ~~", Тйт7г(0) а7! — — ~~„' (7Ае Са) Тйад,.пу! = ~У (Ке СА) 3А7, илн, выполнив суммирование по !7! ке С! — — ~~' Тбт7! (О) а и «0.33) 7,у Аналогичным путам можно получить формулу и для мнимых частей коэффициентов СА, которая будет иметь вид 1ш С, = — — ~~~ Т! тн (О) а,! ! т (!0.34) И! Таким образом, формулы (10.33) н (10.34) позволяют с помощью матриц Т и Д вычислять комплексные коэффициенты С! Непосредственно по начальным условиям.
Движение, описываемое уравнением (10.28), может служить примером много-периодического движения, рассмотренного в главе 9. Правда, оно является особенно простым движением этого типа, так как состоит только нз основных частот и совершенно не содержит их линейных комбинаций. Однако, несмотря на это, рассматриваемое движение не является строго периодическим, так как при несоизмеримости собственных частот координаты ти никогда не примут своих начальных значений.
Следовательно, координаты тй не будут в общем случае разделяющимися координатами, изменяющимися по строго периодическому закону. Однако мы сейчас увидим, что такие координаты можно получить с помощью точечного преобразования координат 71!. 364 малые колввлння 1гл. ! 0 Новые координаты ~г мы определим с помощью следующих уравнений, связывающих их с первоначальными координатами т!!. хи=~~' а;Д. (10.36) Если тн и "; РассматРивать как элементы матРиц 4 и Ь, состоЯщих из одного столбца, то эти уравнения будут иметь вид (10.36) Выведем теперь выражения для потенциальной н кинетической энергий системы в новых координатах. Согласно (10.4) потенциальная энергия У равна 1 Кч 2 а~а !' су что в матричной форме может быть записано в виде произведения Ъ' = — 'бает).
(10.37) Точно так же кинетическую энергию (10.6) можно записать в виде следующего матричного произведения: Т = — '4Тт). 1 Но транспонированная матрица т) (состоящая из одной строки) свя- вана с ь соотношением (см, задачу 2 гл. 4). Поэтому будем иметь: Р'= 2 ЯЧА~, или, учитывая (10.26): (1О. 39) т. е. (10.40) Что касается кинетической энергии, то она в новых координатах выражается еще проще. Так как скорости преобразуются так же, как координаты, то Т можно записать в виде Т = — сАТА!",. 1 2 10.3! Оозстввнные чАстоты и ГлАзныв кооглинАты 353 Но так как матрица А является «ортогональной» [см.
(10.21')К то это выражение принимает вид (10.41) или (10.42) Формулы (10.40) и (10.42) показывают, что Т и Р' в новых координатах являются суммами квадратов и не содержат каких-либо смешанных членов. Конечно, этот результат есть всего лишь новое выражение того факта, что матрица А осуществляет преобразование к главным осям. Аналогичное преобразование мы делали ранее и для тензора инерции, желая привести момент инерции к сумме квадратов. (Новые оси были при этом главными осями эллнпсоида инерции.) Здесь мы имеем аналогичную картину, так как кинетическая и потенциальная энергии также являются теперь суммами квадратов (как и момент инерции), причЕм обе они диагоиализируются матрицей А. Таким образом, применяемое вдесь преобразование осей является частным случаем известного алгебраического процесса одновременного приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов.
Уравнения движения в новых координатах тоже становятся более простыми. Лагранжиан системы будет теперь равен (! 0.43) А н поэтому уравнения Лагранжа примут вид (10.44) ".ь+ ыьча = 0 Решая эти уравнения, будем иметь '=А=ОАе ' (10.48) что можно, конечно, получить и непосредственно нз равенств(10.28). Следовательно, каждая из новых координат является строго периодической функцией с частотой, равной одной из собственных частот. Поэтому координаты ч обычно называют главными координатами системы.
Очевидно, они являются также разделяющимися координатами, а величины ыег(2п представляют собой угловые переменные. Как показывают равенства (10.35), каждой главной координате соответствует колебание системы с определенной частотой. Каждое из таких колебаний называется главным.
При любом таком колебании все координаты ч1! изменюотся с одной частотой и имеют в каждый 1гл. 1О палые колеваппз момент одинаковые фазы '); относительные амплитуды этих координат определяются матричными элементами аки Полное движение системы получается при этом в результате суперпозиции главных колебаний с учетом их амплитуд и фаз, определяемых коэффициентами С„. Из изложенного видно, что полное колебание системы не содержит частот, кратных основным. Причина этого заключается в том, что л~ы считали колебания малыми. Именно поэтому мы могли потенциал системы представить в виде квадратичной формы, что характерно для гармонического движения. Кроме того, переходя к нормальным координатам, мы получили вследствие этого лагранжиан (10.43) з виде суммы лагранжианов нескольких гармонических осцилляторов (с частотами ва).
Таким образом, малые колебания системы можно рассматривать как результат возбуждения различных гармонических осцилляторов, колеблющихся с различными амплитудами и фазами зз) й 10.4. Свободные колебания трехатомной молекулы. Чтобы проиллюстрировать изложенные методы, рассмотрим подробно задачу о свободных колебаниях симметричв Ф ж ной трехатомной молекулы (рис. б8). Пусть крайние атомы этой молекулы имеют массы лг, а средний— массу Л4 и пусть в состоянии равнозеспя расстояние между крайними атомами будет равно 2д. Для простоты мы рассмотрим только колебания атомов вдоль линии, на которой они располозкены, причбм связь между ними будем представлять себе в виде двух пружин, соединяющих эти атомы.
)Кесткость каждой такой пружины будем считать равной к. В качестве координат, определяющих положение этих атомов, возьмйм их абсциссы. Тогда потенциальная энергия Ъ' будет равна 1 = = ---(хз — х, — -й) + — (хз — хз — д)-'. А з л 2 "" ' 2 Введем теперь координаты тн = .т1 — хы определяющие смещение атомов относительно положений равновесия. Тогда булеи иметгп хез хщ = б = хоз хоз з) Если козффицвенты а имеют протввоположные знаки, то зги фазы могут быть строго противоположными.
з") Подобнзл картава имеет место в квантовой теории электромагнит. ного поля. Частотам гармонических осцилляторов здесь соответствуют частоты излучения, а аплнтуды возбуждения получают здесь дискретные значения, представляющие число фотонов каждой частоты. своводныа колввания тгвхатомной молвкглы 357 й 1ОА! !7 = — (тй — 'гп)а+ — (т1.. — ч ) л .
л или ! ' =- —, (те+ 2«1«+ т,"„- — 2ч,т! — 2т!р,). л (10.46) Следовательно, матрица Ч будет иметь впд: (10.47) Кинетическая энергия этой системы выражается еще более просто: и? l'2 'я\ Л4 '3 7'.= — (Ч, -ь- г,)+ — -г,з. 2! ' '7 2 (1ОА8) Следовательно, матрица Т является диагональной и имеет вид: ~~т 0 0~1 Т=. 0 Л! 0'!. ,'~0 0 лг! (! 0.49) Поэтому вековое уравнение этой системы запишется в виде 1)7 — «РТ~ = 2й — «Р'И вЂ” Ф, (10 50) -- й й — вел или Рф — ыгт)(й(М+2ш)--«РЛ1лг1==0. (10.51) !'ешив это кубическое уравнение, получим: е, = — О, «~а ==- ~!/ —, ы, =-- ~/ — (1 + — ).
(10.52) характерным не для колебания, а для равномерного движения, Однако именно в этом н заключается ответ на возникающий вопрос, так как ясно, что молекула может, не изменяя своей потенциальной Первое из этих значений может показаться странным и даже вызвать сомнение в правильности полученного результата. Дело в том, что оно не согласуется с представлением о колебательном движении, так как при а, = 0 изменение соответствующей главной координаты будет описываться уравнением ~,=0, [гл. 10 358 малые колевлния энергии, перемещаться вдоль оси х как твердое тело *). Поэтому «частота» такого движения должна обращаться в нуль, ибо при этом не появляются силы, противодействующие ему. Таким образом, из трйх степеней свободы одна степень соответствует перемещению молекулы как твердого тела. В связи с нулевыми собственными частотами можно сделать следующее общее замечание.
Из равенства (10.19) видно, что нулевое значение а может иметь место только з том случае, когда потенциальная энергии не является определйпно положительной (т. е. когда она может обращаться в нуль, даже если не все тн равны нулю). Именно такой случай и имеет место в рассматриваемой системе, так как функция (10.46) обращается в нуль при т1, = т),= т1а (разномерное поступательное движение молекулы). Следовательно, энергия Г не является здесь определанно положительной. Так как частота в, = 0 не относится к числу интересуюших нас существенных частот колебания, то желательно поставить задачу так, чтобы с самого начала исключить корень ы, =О.
Проще всего сделать это, введя требование (связь), чтобы центр масс молекулы все время оставался в начале координат. Тогда будем иметь условие т (х, + хе) + Мха — — О, (10.53) позволяющее исключить из функций Ъ' и Т одну из трйх координат. Таким путем мы получим задачу с двумя степенями свободы (см. задачу 2 в конце этой главы). Движение молекулы вдоль своей оси является лишь одним из типов движения твердого тела. Однако если рассматривать задачу о колебаниях по всем трЕм направлениям, то у нас появится шесть степеней свободы, соответствующих движению молекулы как твердого тела. Тогда она сможет не только равномерно и поступательно двигаться вдоль трйх осей, но н равномерно вращаться вокруг них.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
