Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 74
Текст из файла (страница 74)
В любой подобной системе с и степенями свободы всегда будет шесть частот, обращающихся в нуль, и только и — 6 частот, отличных ог пула. Уменьшение числа степеней свободы здесь можно получить заранее, налагая на координаты требования о сохранении количества движения и кинетического момента. Нулевые собственные частоты могут встретиться не только тогда, когда система имеет возможность перемешаться как твйрдое тело. Они имеют место и тогда, когда потенциал Ъ' таков, что в положении равновесия обращаются в нуль как первые, так и вторые его производные. Малые колебания возможны при этом тогда, когда четвертые производные от У не обращаются в положении равновесия в нуль (третьи производные должны быть равны нулю для устойчивости равновесия). Однако колебания системы не будут ") Равновесие, которое не нарушается прн отклонении системы от равно.
ясского положения, называют безразличным. 10.4) свОБОдные кОлеБАниЯ ТРВХАтомной молекулы 359 и нормирующим условием т(агг+ааг)+ Ма„= 1. г г г (10. 55) Пусть г'= 1. Тогда ву= ы, =О, и на основании первого и третьего уравнений (10.54) заключаем, что а„= а„= агы Этот результат следовало, конечно, ожидать, так как рассматриваемое движение является поступательным (рис. 69, а). Согласно условию (10.55) величина каждого из этих коэффициентов будет равна: 1 а„= 1' 2т+ М а„=, у (10.56а) )'2т+М' ~ 1 а|г гя )/2т+ М 1 Рпс. 69. Продольные главные колебания симметричной трвхатомной молекулы. Пусть теперь у = 2.
Тогда разность (й — ыгт)=(а — в,';т) обращается в нуль, и из уравнений (10.54) видно, что а„=О (как мы и предполагали), а агг — — — ааг. Учтя затем нормирующее условие (10.55), получим: 1 1 аы — — —, аг, = О, аг, = — =. (10.56Ь) Таким образом, средний атом остазтся при этом колебании в покое, а два крайних колеблются в строго противоположных фазах, как показано на рнс, 69, Ь. (Это связано с тем, что они должны сохранять постоянное количество движения.) Рассмотрим теперь третье главное колебание, т. е.
положим шу = та, Так как вычисления оказываются здесь не столь простыми, в этом случае гармоническими, и поэтому здесь нельзя пользоваться обычным методом малых колебаний. К счастью, колебания такого рода встречаются редко. Вернймся теперь к исследованию собственных частот рассматриваемой молекулы. Мы видим, что ыг можно рассматривать как частоту колебания массы т, подвешенной к пружине с жвсткостью й. Поэтому мы можем ожидать, что в колебании с этой частотой участвуют только крайние атомы молекулы, а средний атом остается при этом неподвижным.
Это предположение подтверждается исследованием собственных векторов каждого из главных колебаний. Составляющие а0 определяются уравнениями (й — оуи) а, . — йагу =О, 1 г ! — йац+ (2)г — ы;М) а, — йаа — — О, (10. 54) — Йагу+ (й — т'„т) агу — — 0 Збб (гл. 10 мллыв колвзания как в предыдущих случаях, то мы приведйм лишь конечные результаты этих вычислений. Коэффициенты а11 имеют здесь следующие значения: 1у< 2т ~1 + — ) ~<Г2М (2+ — ) ~/ 2л< (1 ) — ~) (! 0.56с) Крайние атомы имеют здесь одинаковые амплитуды и фазы колебания, а средний — другую амплитуду н строго противоположную фазу (см.
Рис. б9, с). Любое продольное колебание молекулы (не содержащее поступательного движения) будет линейной комбинацией главных колебаний с частотами ы, и ыз. Амплитуды н фазы этих колебаний определяются, конечно, начальными условиями. До сих пор мы говорили только о продольных колебаниях молекулы, хотя реальная молекула будет колебаться и в направлениях, перпендикуРис.
70. Поперечные колебания лярных к еЕ оси. Получить полную симметричной трвхатомной мо- систему главных колебаний в этом слулекулы. чае, конечно, труднее, так как моле- кула будет иметь девять степеней свободы. Принципиально здесь, конечно, нет никаких трудностей, но алгебраическая сторона этого исследования оказывается очень сложной, и поэтому мы не имеем возможности подробно проводить его. Однако эти результаты мох<но получить на основе общих качественных соображений. В случае самого общего движения рассматриваемой молекулы число еЕ нулевых частот будет равно пяти, так как здесь будут три степени свободы для поступательного движения и только две для вращательного. (Вращение молекулы вокруг еЕ оси, очевидно, не имеет смысла и поэтому не давт нового типа движения.) Следовательно, эта молекула будет иметь четыре нетривиальных главных колебания.
Но так как два из них являются продольными и были уже нами рассмотрены, то оставтся рассмотреть лишь два поперечных колебания. )(альнейшие упрощения можно получить, исходя из соображений симметрии. Из осевой симметрии молекулы следует, что частоты двух еЕ поперечных колебаний должны быть одинаковыми, так как оси у и я являются совершенно равноправными. Поэтому поперечное колебание каждого крайнего атома будет вырождающимся, причйм осями у и я здесь могут служить дзе любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси молекулы. Суммарное поперечное движение атомов определяется амплитудами колебаний вдоль осей у и г и их фазами, $10.5) вынхждвнныг колввлния и диссип*тивныв силы 361 Если имеют место эти колебания и если они совпадают по фазе, то каждый атом будет двигаться по прямой, проходящей через положение его равновесия.
Но если фазы этих колебаний не совпадают, то суммарное движение будет происходить по эллипсу Лиссажу (так же, как в двумерном изотропном осцилляторе). Из симметрии молекулы с очевидностью следует, что амплитуды крайних атомов должны быть одинаковыми. Кроме того, подробный расчет показывает, что крайние атомы должны двигаться вдоль фигуры Лисса>ну в одинаковом направлении. Отсюда следует, что центральный атом должен при этом двигаться в противоположном направлении, так как кинетический момент молекулы должен оставаться постоянным. Рис. 70 иллюстрирует это движение для случая, когда разность фаз основных колебаний равна 90'. $10.5. Вынужденные колебания и диссипативные силы.
Свободные колебания возникают в том случае, когда систему выводят из положения равновесия и затем предоставляют самой себе. Однако часто наблюдаются такие колебания, при которых внешние силы действуют на систему не только в момент г=О, но и в дальнейшем. Частота такого вынужденного колебания определяется тогда не собственными частотами системы, а частотой возмущающей силы. ь1то же касается вычисления амплитуд таких колебаний, то эта задача сильно упрощается, если пользоваться главными координатами, полученными прн исследовании свободных колебаний.
Обозначим через Р~ обобщенную силу, соответствующую координате т1 . Тогда согласно (1.46) обобщанная сила Оо соответствующая главной координате ".и будет равна Ог =,~~ а; Г~. (10.57) В главных координатах уравнения движения системы будут иметь внд (10.58) т. е. будут представлягь систему, состоящую из а неоднородных дифференциальных уравнений. зная функции ггг(1), мы можем решить ев, и хотя это решение будет сложнее, чем в случае свободных колебаний, однако преимущество главных координат сохраняется н здесь, так как каждое из уравнений (10.58) содержит лишь одну координату.
Изменение возмущающей силы со временем часто совершается по синусондальному закону. Примером может служить возмущающая сила в виде давления звуковой волны, действующей на систему, так как Ог будет иметь тогда ту же частоту, что и звуковая волна, Другой пример дает нам многоатомная молекула, на которую падает пучок мопохроматического света. В этом случае на каждый атом 362 [гл. 10 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ молекулы будет действовать возмущающая электрическая сила, изменяющаяся по синусоидальному закону с частотой падающего света. Во всех таких слУчаЯх сила Сзг может быть записана в виде Яг = Оь,сов(юг+ 3;), (10. 59) а уравнения (10.58) в виде ".„+ ~Г(Ь = 1',1Ы СОЗ (ьт+ 3;), (10.60) где ю — круговая частота возмущающей силы.
Общее решение каждого уравнения (10.60) состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения (свободное колебание) плюс частное решение данного неоднородного уравнения. Однако при соответствующих начальных условиях первое из ннх обращается в нуль ь). Поэтому мы сосредоточим свой внимание на частных решениях уравнений (10.60), которые будут иметь вид (г = Вг соя(юу+ Ег).
(10.61) Амплитуды Вь определяются здесь посредством подстановки частных решений (10.61) в уравнения (10.60): Оь откуда юд арам сов (юг + Ь,) тн = ауггг = 7~ =1 "=Х 4 ь (10.63) ь) Свободные колебания являются, в сущности, временными. Если к системе, находящейся з равновесии, приложить возмущающие силы, медленно изменяющиеся от нуля, то свободные колебания вообще пе возникнут.
Другим аргументом в пользу игнорирования свободных колебаний является наличие диссипативных сил (см. следующий параграф), которые уменьшают амплитуду свободных колебаний до пуля, Таким образом, полное колебание будет здесь тоже линейной комбинапией главных колебаний, но каждое главное колебание будет иметь теперь одну и ту же частоту, равную частоте возмущающей силы. Амплитуда каждого колебания определяется двумя факторами.
Первый из них — это амплитуда возмушаюшей силы, т. е. Если сила, действующая на точку, не имеет составляющей в направлении некоторого главного колебания, то, очевидно, соответствующая обобщенная сила будет равна нулю и О„ обратится в нуль. Другими словами, внешняя сила может возбудить главное колебание только в том случае, если она стремится двизать точку в направлении этого колебания. Вторым фактором является близость частот возмущающей силы и свободного колебания.
Как видно из формулы (10.62), амп.читуда 3 10.5) выняжденныя колявлния и диссиплтивныв силы 363 В» будет по сравнению с другими амплитудами тем больше, чем ближе »е к мп Формально мы получаем при »е = »е» даже бесконечно большую амплитуду, что представляет хорошо известное явление резонанса. В действительности, конечно, формула (10.62) справедлива только при малых отклонениях от равновесия. В дальнейшем увидим, что в реальных колебаниях амплитуда остабтся конечной и при резонансе. Заметим, что фаза вынужденного колебания совпадает с фазой возмуп»ающеИ силы только при»е ..
ь»», а при ы ) ы» эти фазы отличаются на -. Все наши рассуждения были до сих пор не вполне реальными, так как мы не учитывали диссипативных сил (сил трения). В большинстве физических систем эти силы пропорциональны скоростям движущихся точек и поэтому могут быть получены с помощью диссипативной функции б (см. Э 1.5). Рассмотрим сейчас влияние этих сил на свободные колебания. По определению $ представляет собой однородную квадратичную функцию скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
