Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 69
Текст из файла (страница 69)
е. (9.97) что представляет два хорошо известных варианта принципа Ферма для пути светового луча. Мы еще не нашли тех величин, которые играют в классической механике роль частоты и длины волн. Единственное, что мы пока установили, это то, что искомая длина волны должна быть значительно меньше того расстояния, на котором становится заметной неоднородность силового поля. Лальше этого мы, естественно, не могли идти, так как, будучи аналогом геометрической оптики, классическая механика является той областью, в которой не встречаются эффекты, зависящие от длины волны (интерференция, диффракция и т.
п.). Поэтому, хоти двойственность «частица — волна» имеет место и в классической механике, однако волновой концепции здесь не предоставляется случая обнаружить свое преимущество перед корпускулярной. Тем не менее, можно попытаться написать золновое уравнение, для которого уравнение Гамильтона — Якоби является своего рода пределом прн А — Р О, Сходство между уравнениями (9.94) и (9.83) не означает, конечно, что величине Е должно соответствовать именно 1Р', так как оно может соответствовать величине, пропорциональной Е.
Мы увидим, что коэффициент пропорциональности является здесь мерой длины волны. Из соответствия между Л и 1Р' следует, что 8 = — %' — Ет должно быть пропорционально фазе колебания 336 ~гл. 9~ метод гамильтона — яковн Уравнение (9.87) можно записать в виде ! и'ат Ч'ф — —.,—,' =О, иа нгт где и — скорость световой волны в среде с показателем преломления и. Если заменить здесь р на суе-т"', то это уравнение примет вид 4иа 72ср+ —, ю = О, ха что представляет собой волновое уравнение, не содержащее времени. Величина р является здесь амплитудой колебзния, и в волновой механике ей должна соответствовать некоторая величина ф, удовлетворяющая уравнению такого же типа, как уравнение (9.98).
Но а равно теперь уг/р, где р =-'у'2т(Š— )г). Следовательно, волновое уравнение, для которого 1)т является эйконалом, должно иметь вид т тф + — ",—' " (Š— У) ф =- О. (9.99) е) Аналогичное положение имело место н в волновой теории света. Пока не были обнаружены явления интерференции и диффракции, волновая теория Гюйгенса не имела преимушеств по сравнению с корпускулярной теорией Ньютона. Равенство (9.99) вырамсает известное уравнение волновой механики — уравнение Шрбдингера. Из формулы (9.97) видно, что длина волны прямо пропорциональна коэффициенту л. Поэтому, чем меньше й, тем меньше длина волны и тем теснее связь с геометрической оптикой. Эквивалентность уравнений Гамильтона в Якоби и эйконала была установлена Гамильтоном в 1834 г., а соответствующее волновое уравнение было получено Дебройлем и Шрйдиигером в 1926 г. Иногда высказывают мнение, что если бы Гамильтон пошЕл немного дальше, то он получил бы уравнение Шрбдингера.
Это, однако, не так, ибо для такой экстраполяции он нуждался в достаточном экспериментальном материале. В то время, когда жил Гамильтон, классическая механика считалась абсолютно верной, и не было оснований для экспериментальной проверки еЕ с целью уточнения и создания более общей теории. вкругими словами, Гамильтон не имел основания считать, что Ь отлично от нуля.
Тот факт, что классическая механика является лишь приближением волновой механики и что это приближение представляет своего рода «геометрическую оптику», стал ясен значительно позже, когда были обнаружены эффекты, зависящие от длины волны частицы (например, в ивтерференционных опытах Дэвиссона (Рат1ззоп) и Гермера (Регшег)). Только после этого можно было приписать определбштый физический смысл неличине Ь, являющейся известной постоянной Планка "). '537 '!'еперь ны видим, что классическая механика содержит в себе зйрна квантовой механики и что уравнение Гамильтона †Яко особенно удобно для перехода от первой нз них ко второй.
Дальнейшее углубление в эти вопросы вывело бы нас за ршзки данной книги, которую с достаточныы основаниен можно назвать «Геометрической оптикой волновой механики». Злдлчп !. уравнение (9.3), опрелелюощее функцию Э, было получено пани с по- нощью канонического преобразования, осуществляющего переход от канонических координат (д, р) к настоянным (а, 6). Пока;ките, что верно и обратное, т.
е. если 5(до «о Г) есть любой полный интеграл уравнения (93), го определясные равенствами (9.6) и (9.7) переменные (4в рг) будут каноническими и, следовательно, будут удовлетворять уравнениян Ганильтона. 2. Решите задачу о двнжеикн материальной точки в однорочнон гравитационном ноле, пользуясь методом Гамильтона — Якоба. Нанднте также уравнение ев траектории. 3.
Рассмотрите задачу о тяже.тон симнетричнон волчке с одной неподвижной точкой, пользуясь методом Ганнлыопа — Якоби. Получяте для неб формальное решение (5,56). 4. Найдите собственные частоты гармонического осциллятора с тремя степеняни свободы, пользуясь перененныин действие — угол и считая, что коэффициенты сил, действующих вдоль каждой из осей, лвляются различными. 5. (а) Покажите, что при малой амплитуде колебаний энергия простого маятника равна Ь' = д ь (Ь) Рассмотрите маятник, сосгоя:ций из тялселой точки, подвешенной на нити, проходящей через отверстие.
Предпололшн, что нить втягивается через отверстие, вследствие чего длина наяюшка уненьшается, причбн зто происходит настолько медленно, что в кажлый момент времени ещб можно говорить об определеннон периоде колебания. Вычислите работу, которая затрачивается прн этои на преодоление натяжения нити, и найдите таким путбн изменение энергии маятника.
Покажите, что перецепила У=Е)9 будет при этом оставаться постоянной. Изменевие внешних параметров системы со скоростью, малой по сравнению с собственной частотой, называют адиабашическим изменением. Поэтому переменная е' в этом маятнике будет адиабатичееким инаариантом. Вообще, можно доказать, что если система не вырождается, то переменные У являются адиабатическннн инвариантамн, т. е, не язненяются под действием недлеиного изменения внешних условий. Заметим, что в квантовых процессах каждое состояние системы также является адиабатическнн ннвариантом, так как медленное изменение внешних паранетрол не приводит к переходу из одного состояния в другое.
Это дает еще одно указание на целесообразность пользования переменными 1« при опнслшп« квантования системы. 6. (а) Пусть гармонический осциллятор задачи 4 будет полностью вырождающимся, т. е. все его частоты будут одинаковыми (пзотропный осциллятор). Получите для него «истинные» переменные и выразите его энергию только через одну переменную Х (Ь) Решите задачу об изотропнон осцилляторе, пользуясь перененныни действие — угол (/,ш) и применяя сферические координаты. Получите «истинные» переменные (.У, ш) и сравните полученный результат с результатом задачи (а).
Будут лн эти две системы переменных одинаковыми? Каков их физический смысл? (Эта задача показывает, что в случае вырождающегося ЗЗК (гл. 9! и! ~ ) ! ~лмильгонл — якови дви,кення разделение переменных возчояшо более чем в одной системе обобщенных координат. В слу же нсвырождающегося осциллятора разделение переменных молшо произвести в декартовых координатах н нельзя произ.
вести в потярных.) 7. В случае вырождающегося плоского движения гармонического осциллятора разделение переменных возможно в любой декартовой системе координат. Получите соотношения меягду переменными дейстние — угол, соответствующими двум декартовым системам координат, образующим друг с другом угол 0. (Замепш, что рассматриваемое преобразование переменных (у, ш) як является ортогоналшгыч.) В. Вьпшслпте элемептарнымп методамп интеграл (9.бб) из задачи Кеплера, 9.
Интегрируя каждое пз уравнений Гамильтона — Якоби в задаче Кеплера, погбчпгг !Г и япле с) чмы трех интегралов. Из соотношений д !)" дl; полушпе затем интегральные выражения лля трех у~левых перемен~гых / т Покаткнте, что с точностью до аддитивной постоянной углы ш и ша имеют смысл азимута лпшш узлов и угла ме;кду линией узлов и радиусом-вектором перпгелня.
Прп шггерпретироваппп получаю цпхся интегралов удобно отно- /, шение У,,'У заменить па сов., где я — угол между плоскостью орбиты и полярной осью -. 19. Уравнение орбиты в задаче Кеплера моткно получить с помощью равенства (9.29Ь), выражая а =- Е и ач = — ) через У и Уз. (Обратите внимание па изменение смысла уг:щ 'З) Выполните необходимое интегрирование и получите уравнение орбиты, а также покажите, гто я= 1 — —, 4тдт/г (т? /з где а — главная полуось орбиты, а е — ее эксцентрисптет.
11. Рассмотритс релятивистскую задачу Кеплера, пользуясь переменными действие — угол п гампльтопиаиом (?.20). Покажите, в частности, что полная энергия линас?щейся точки (включая энергию покоя) определяется равенстпом Р, 1 шгс = ',г ада 1-- т ((У вЂ” Х,) с — , '~' Х са — 4пзйз)а (Заметиаг, по вырождение здесь частично тменьшается, так как орбита перестает быть замкнутой, хотя остаегся еще плоской.) Покажите, что при с- со мы приходим к равенству (9./5), Ретсомеидуемяя литература М. Воти, ТЬе атее!тап)сз о! гйе Л!ош. По сравнению с боя~ щей частью книг, на которые мы ссылались в про. дыдущей главе, книга Бориа выделяется обилием материала по применению метода Гамитштона — Якоби и переменных действие — угол. Много-периодические двилсепия и теория возмуптйнного движения изложены здесгь несомненно, полнее, чем в других книгах на эту тему, написанных на английском языке.
А. Б о ш н е г ! е ! б, Лгопйс Бггис!иге апб Брес!га! (янез. Метод Гамильтона — Якоби и перемешгые действие — угол изложены в втой книге зпачительг~о менее подробно, чем в книге Бориа. (Вероятно, е«коментуемля литкгагугл поэтому рассмшриваемые вопросы часто оказываются более лбгкими для чтения.) Особо следует отме~ить изложение вопроса о связи вырождающихся движений с разделением переменных. В приложении к втой книге производится вычисление интегралов из задачи Кеплера с помощью теории вычетов (что, впрочем, делается и в книге Бориа).
Н. тг а п Н(ес К, ОаапШш Рг!пс1р!ез а!тб 1Лпе Брег!га. В главе яМа!Ьешайса( Тесйп1йиею автор этой книги коротко рассматривает метод Гамильтона — Якоби и переменные действие — угол, а также основы теории возмущений. Бол~шая часть материала остальной части книги шпереспа лишь в историческом отношении. В. Г ц ез, Бгбгипйыес!тпипй, т. Н. НапбЬнск бег Рйуэйь Г!редшествующая статья этого тома, написанная,'!. Нордхеймом и Б, Фюзоч и озаглавленная тНаш!Воп — ЛасоЬысйе Тйеомеэ, касается теории Гамильтона — Якоби, в сущности, лишь н последних разделах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
