Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Это позволяет рассматривать ее как фронт волны, расаугогтраняющейся в простуанстве конфигураций. В общем случае каждая поверхность 8 = сопзг изменяет свою форму при возрастании 1. Следовательно, скорость волны, т. е. скорость, с которой движется такая поверхность, будет в разных ее точках различной. Вычислим эту скорость в простейшем случае когда рассматриваемая система состоит всего из одной точки, 9 9.8) гвомвтгичвская ОптикА и волновАя мехАникА 881 В качестве обобгцвнных координат этой точки мы возьмйм ей декартовы координаты, и тогда пространство конфигураций будет тем трехмерным пространством, в котором движется точка. Скорость волны в некоторой точке поверхности Е = сопя( равна аа и=.— ей где П75 — расстояние, которое во.тна проходит за время Н в направлении, перпендикулярном к Е.
Но за время Ж фронт волны переходит от поверхности Йх к поверхности %'+ Л1т, где ЛР'= Е 5(5. Кроме того, 5ГЙХ связано с г(5 соотношением Ж1г = ! ЧВ'~ ~15. (9.80) Поэтому м5 е |й !ЧГЧ~ ' (9.8!) Лля вычисления ! ЧВ'1 следует обратиться к уравнению Гамильтона— Якоби, согласно которому — ~( — — ) +( — ) +( — )~+)'=Е, (9.82) или (9.
83) (Ч (Р)5=. 2т(Š— 15). Следовательно, скорость волны равна Е '$/2т (е — ь) (9.84) и так как разность Š— К равна кинетической энергии Т, то формулу (9.84) можно аапнсать в виде Е и =- — — =, ) 2яТ (9.85) Учитывая теперь, что рассматриваемая система состоит из одной точки, будем иметь: 2/л Т = лгг из = рз, н поэтому и— Е Е (9.85') р пш Равенство (9.85') показывает, что скорость поверхности Е = сопя( обратно пропорциональна скорости точки, движение которой описывается с помощью Е. Кроме того, легко показать, что траектория этой точки обязательно должна быть нормальной к поверхностям О = сопз1. Это следует из того, что направление траектории определяется направлением вектора и = Ачт>, Но согласно (9.21) р=Ч(уг, (9.86) ЗЗ2 (гл.
9 мвтод гамильтона в якови а вектор !7'йг" перпендикулярен к поверхности Ф"= сопз1, т. е. к поверхности Е = сопя!. Таким образом, семейство поверхностей Ю' =- сопя! определяет систему траекторий возможного движения, так как они нормальны к поверхностям этого семейства. Когда точка движется вдоль одной из возможных траекторий, поверхности Я тоже движутся, но эти движения оказываются не «синхронными», так как при увеличении скорости и скорость и уменьшается и наоборот.
Проведенные рассуждения относились к системе, состоящей пз одной точки. Однако большая часть полученных яами результатов будет иметь место и аля системы, состоящей из многих точек, но метрику пространства конфигураций нужно будет определять тогда формулой г(рв = 2тна, где г(р — элемент длины [см. уравнение (7.42)]. Вместо истинной траектории точки мы будем рассматривать траекторию изображзющей точки в пространстве конфигураций, а скорость поверхности Я будет определяться равенством я) Е Е ) 2 (Š— 1') У 27 ' подобным раяепству (9,84). Следует напомнить, что скорость изображающей точки пропорциональна 1!7' (см.
8 7.5). Поэтому между скоростью волны и скоростью изображающей точки здесь будет иметь место соотношение, подобное ранее полученному, а возможные траектории изображающей точки будут, по-прежнему, нормальны к поверхностям Е= сопИ. Следовательно, переход к системам из многих точек не приносит каких-либо новых физических результатов, и для упрощения математической стороны вопроса мы и в дальней!пем будем рассматривать движение одной точки. Поверхности Я=сопя! мы рассматривали как последовательные состояния фронта волны и, исходя из этого представления, говорили о скорости ее распространения. Однако мы совершенно ие рассматривали вопроса о природе этих волн и поэтому ничего не можем сказать о таких важных понятиях, как частота или длина волны.
Чтобы пролить свет на эти вопросы, мы начнем с рассмотрения хорошо известного волнового процесса, а именно движения световых волн. Уравнение, описывающее распространение световой волны, имеет вид Яву — —,— 2 — — О, пз впв (9. 87) ь) Лвижекие поверхностей 8 в пространстве конфигураций рассмотрено в книге 1.. В г111о ч1п, 1.ез Тепзепгз еп Месап!Чпе е1 еп Е!азпспа, гл.
У!П. 5 9.8) гвометзичесьея ОптикА и ВОЛНОВАЯ мехАникА 333 где Ч вЂ” скалярная величина, такая, например, как скалярный электромагнитный потенциал. Величина с означает здесь скорость света в пустоте, а и†коэффициент преломления, равный отношению с к скорости света в данной среде.
В общем случае коэффициент и является некоторой функцией х, у, л. Если и постоянно, то одним из решений уравнения (9.87) является функция Ч = Ч еыа'" , =;о (9.88) описывающая распространение плоской волны. Волновое число й и частота ы связаны при этом соотношением 2к пм й = —. х с ' Направляя для простоты й вдоль оси л, будем иметь: 7 =7 е~л '" . =,о (9.90) где но†волновое число в пустоте. Пусть теперь п будет изменяться с изменением х, у, л. Тогда плоская волна (9.90) уже не будет удовлетворять уравнению (9.87), так как коэффициент преломления будет неодинаковым, что приведат к искажению формы этой волны.
Мы, однако, будем считать, что п не сильно изменяется от точки к точке, и решение уравнения (9.87) будем искать в виде — ел О1ч-1АО1л 1ю — ей (9.91) подобном (9.90). Величины Л и 7. являются здесь вещественными функциями г, подлежащими определению. Первая из них характеризует амплитуду волны. Если бы и было постоянно, то 7, равнялось бы пз и называлось бы оптической длиной траектории или фазой волны.
Часто ей называют еща эйконало.и. Вычисляя теперь ЧЧ и Ч'Ч, будем иметь: ЧЧ= 7(А+сйз(.) ЧЯЧ = ЯЧЯ(АЗ(- Сй07) +- (7 (А+ сйо7.)(а) или 7 Ч = Ч (Ч Л+ИАЧ 7+(ЧА) — йо(77)'+ 21йоЧА ° ЧЦ, и волновое уравнение примет вид йз(27А 77+7 Ц 7+(ЧА+(7Л)а — 7зо(ЧЕ) +п йо) 7=0 (9 92) Но так как А и С являются вещественными, то для выполнения этого равенства необходимо, чтобы каждая из квадратных скобок МЕТОД ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ (гл. 9 была равна нулю. Таким образом, мы приходим к двум следующим уравнениям: р А + ( рл ) + ВЛ 22 — (рЕ)'-') = — О, (9.93а) 72Е+ 27Л ЧЕ = О.
(9.93Ь) Так как мы не делали еще никаких приближений, то эти уравнения являются точными. Теперь мы сделаем предположение, что коэффициент и столь медленно изменяется с расстоянием, что на расстояниях порядка длины волны этим изменением можно пренебречь. Иначе говоря, это означает, что длина волны мала по сравнению с величиной расстояния, на котором проявляется неоднородность среды. Как известно, это предположение составляет основу геометрической оптики. Если принять указанное предположение, то член, 2 2> содержащий йь —— 4г >>).ь будет доминирующим членом уравнения (9.93а), и это уравнение примет следующий простой вид: (ТЕ)2 =- п'.
(9. 94) Полученное нами уравнение известно в геометрической оптике как уравнение эйконала. Определяемые им поверхности Е =- сопз1 являются поверхностями постоянной фазы и, следовательно, определяют фронт волны. Все световые лучи будут перпендикулярны к этим поверхностям и, следовательно, то>хе будут определяться уравнением (9.94). дальше нам нет необходимости углубляться в подробности геометрической оптики, так как мы видим, что уравнение (9.94) подобно уравнению (9.83), являющемуся уравнением Гамильтона — Якоби для характеристической функции 1Е'. Таким образом, мы имеем аналоги>о, в которой Ю' играет роль эйконала Е, а (2т(Š— И)) ~" — коэффициента преломления и.
Поэтому классическую механшсу можно рассматривать как аналог геометрической оптики, в котором роль поверхностей движущейся волны и ортогональных к ним световых лучей играют поверхности 8 = сопз1 и ортогональные к ним траектории движения. Отсюда ясно, почему волновая теория Гюйгенса и корпускулярная теория Ньютона одинаково хорошо объясняли явления отражения и преломления: в рамках геометрической оптики между этими теориями имеется формальная зналогия.
Мы уже отмеча.чи, что принцип наименьшего действия имеет сходство с принципом Ферма в геометрической оптике. Теперь это сходство становится понятным. Согласно (7.40) принцип наименьшего действия можно записать в виде Л ~ у' 2 т Г а>е = О, а мы знаем, что корень |у'2пь'Г пропорционален коэффициенту преломления или обратно пропорционален скорости волны в соответ- 9 9.8) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА И ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА ствующем волновом движении.
Следовательно, анзлог принципа наименьшего действия должен иметь вид й ~ лг(л=б ~ — =О, (9. 95) й„(1.— г1) = 2я ( — — ~) Йо (см. равенство (9.91)). Следовательно, энергия Е и частота ч должны быть пропорциональны, и поэтому можно написать Е= йм (9.96) Но длина волны связана с частотой соотношением лАч — и, откуда с учетом (9.85') получаем >,=— р'л т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
