Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 72
Текст из файла (страница 72)
равенство (4.36)[, хотя и отличается от него присутствием матрицы Т. Мы сейчас покажем, что равенство (!0.21') тоже выражает условие ортогональности, но только не в декартовой системе координат. Обычные условия ортогональности требуют, чтобы 1) каждый из векторов ал был единичным: а„. а„=~~ а.,=1: 2 72 2) два любых вектора аг и ан были взаимно перпендикулярны: а, сг,='~а,гау„=о ([~й). Рассмотрим теперь некоторую косоугольную систему координат, и пусть метрический тензор определяемого им пространства будет равен Т. Элементы этого тензора будут величинами постоянными, и поэтому длина какого-либо вектора ав будет в этом рространстве равна а„.
а„= ~~, "7[уагвагя [см. уравнение (7.42)1. Аналогично, скалярное произведение векторов аг и ал будет злесь равно а, ан= ',~ 7'цаг!ар Сравнивая теперь эти равенства с равенствами (10.20), видим, что каждый вектор ав является единичным [равенство (10.20Ь)[ и что при ! Фй векторы а, н Сга взаимно перпендикулярны [равенство (10 20а)[. Следовательно, условие (10.21') является условиеж ортогональности матрицы А в пространстве конфигураций с гзетрически.я тензоролг Т. В декартовом пространстве таким метрическим тепзором является единичный тензор 1, и поэтому условие (10.21') сводится здесь к обычным условиям ортогональности.
10.2! сои.шюиве:щл ошш н нш оьтлзоьлшп: ~ алены . юья н10 В главе 4 мы рассматривали подобное преобразование матр|щы С с помощью матрицы В, определяя его равенством С'=ВСВ ' [см. равенство (4.41)). Теперь мы введем понятие конгрузнтного преобразования матрицы, понимая под ним преобразование С' == АСА (10.23) где С вЂ” преобразуемая матрица, а А — преооразующая. (Если матрица А ортогональна, то А = — А т, и между этими преобразованиями пет разницы, что становится ясным, если обозначить А г через В.) Поэтому равенство (10.21') можно рассматривать как выражение того факта, ло конгруэнтное преобразование матрицы Т с помощью матрицы А превращает ее в единичную матрицу.
Если ввести диагональную матрицу Л с элементами Лп,—— )льш, то уравнения (10.15) моькно будет записать в виде .~~ К агь — — 1 Тг ар)гл, что эквивалентно матричному уравнению ЧА = ТАЛ. (10. 24) Умножая его слева на А, получаем: АЧА = АТАЛ или, учитывая (10.21'): АЧА =Л. (10.25) Полученное равенство показывает, что конгруэнтное преобразование матрицы Ч с помощью матрицы А превращает ев в диагональную матрицу Л, элементами которой являются собственные значения )ь. Таким образом, матрица А диагонализирует и Т и Ч.
Возвращаясь теперь к интерпретации Т как метрического тензора пространства конфигураций, мы можем дать следующее истолкование процессу диагонализации: 1) Матрица А есть матрица линейного преобразования, осуществляющего переход от косоугольной системы координат к прямоугольной. (Это видно из того факта, что матрица преобразованного метрического тензора равна 1.) 2) Оси новой системы координат являются главными осями Ч, т. е. матрица Ч является в них диагональной.
Следовательно, процесс получения основных частот малых колебаний сводится к некоторому преобразованию главных осей, подобному тому, которое рассматривалось в главе 5. Остайтся рассмотреть случай кратных корней векового уравнения, что интересно не столько в практическом отношении, гй н (гл.
10 члаыв ко|галина сколько в математическом. Легко видеть, что уравнения (10,!5) не определят тогда даже отношения составляющих ауь. Пусть, например, собственное значение )ь является двукратным, Тогда две любые составляющие алл можно выбрать совершенно произвольно, а остальные определятся уравнениями (10,15). В качестве иллюстрации рассмотрим систему с двумя степенями свободы. Вековое уравнение ее оудет иметь внд ~ Чы — !.Ты Угз--',Тш ~ =О, \',,— ЬТв Уээ--)Тз или (Г, — лТг)з.— (Ъ'н — -),Т„)(Ъ'а,— лТ,) = — О.
Пре;шоложнч теперь, что матрицы Т н Ч таковы, по ы н т,, тц т„ (! 0.26) Тогда это уравнение можно будет записать в виде (Т1а — ТыТж)(>з — 1) =0 показывающем, что ле является его двукратным корнем. Уравнения (!О.!0) будут здесь иметь внл: (Ъ'ы — коТ„) а, + (Ъ'„— — >.„7',з) аз -— ..
О, (Р ш — 7пты) и, + (агав --) о Тая) аз = О, У / а, = с,аь+ с,аг (10. 27) и согласно (!0.26) все нх коэффициенты равны нулю. Следовательно, любые числа а, н ав будут удовлетворять этим уравнениям. Поэтому даже при нормнрующем требовании (10.20Ь) здесь все же будет бесконечно много собственных векторов. Вообще ясно, что при двукратном корне ).
число этих векторов будет ~равно сю, при трехкратном будет равно соз и т. д. В случае кратных корней произвольно выбранная пара собственных векторов не будет, конечно, ортогональной. Тем не менее, пару таких векторов всегда можно образовать, и ее всегда можно использовать для получения ортогональной матрицы А, Рассмотрим для простоты процедуру, которой нужно здесь следовать в случае двукратного корня ь. Пусть, например, а' и а,' два произвольных собственных вектора, соответствующих двукратному корню причем а,', удовлетворяет условию (10.20Ь).
Очевидно, любая линейная комбинация этих векторов также будет собственным вектором, соответствующим корню !. Поэтому мы образуем вектор 10,' 1 соьстввнныв значения и пееогглзовхния Главны! осей 10! и постараемся так выбрать коэффициенты с, и с, чтобы а~ было ортогонально а'. Переходя для этого от векторов к их составляющим, запишем (10.27) в виде (10.27') Р ап — — саг +сап, Умножая теперь (10.27') иа Т, и'л и производя суммирование по 1 и У, получаем: Но, чтобы удовлетворить условию ортогональности (10,20а), левая часть этого равенства должна быть равна нулю. Поэтому коэффициенты с, и са должны удовлетворять условию — — Т а(а'. ы пзь' су Другое уравнение, связывающее коэффициенты с, и с„получается из условия, что а, должно удовлетворять нормирующему условию (10.20Ь).
Таким путам мы получим два уравнения, определяющих коэффициенты с, и с, а следовательно, и вектор аи Что касается собственных векторов, соответствующих другии >„ то как ап так н гх †=' будут, конечно, им ортогональны, так как теперь будет справедлива аргументация, которой мы пользовались в равенстве (10.17'), Следовательно, таким способом можно получить п собственных векторов гхь составлаошне которых будут образовывать матрицу А, удовлетворяющую условию (10.21').
Аналогичную процедуру можно применить и в случае корня более высокой кратности. Пусть, например, х будет лг-кратным корнем векового уравнения. В этом случае нам нужно будет получить ш ортогональных и нормированных собственных векторов аы ...,а,„. Для этого достаточно взять лг любых собственных векторов а',,..., ам и образовать из них соответствующие линейные комбинации. Вектор сг, можно получить тогда, умножая а, 'на соответствующий коэффициент. После этого можно образовать вектор аа, составляя линейную комбинацию векторов гх,' и гт,,', и т. д. Число постоянных, подлежащих при этом определению, будет равно сумме лг первых целых 1 чисел, т. е.
— лг(т+1). Но так как зти постоянные должны удо- 2 1 влетворять лг условиям нормирования и — т(гв — 1) условиям орто- 2 гональности, то в общей сложности у нас получится ровно столько условий, сколько нужно иметь для определения всех этих постоянных. Этот процесс ортогонализацни собственных векторов, соответствующих кратному корню )., такой же, как процесс ортогонали- 1гл. млл~ щ ~ плавания ф 10.3. Собственные частоты и главные координаты. В предыдушем параграфе мы видели, что решения аида (10.9) удовлетворяют уравнениям движения не при одном значении частоты в, а в общем случае при п различных значениях. Поэтому решение уравнений движения представляет суперпозицию несколысих колебаний с частотами м,...,а„.
Эти частоты, являющиеся решениями векового уравнения, называют частотами свободного нолебанин или собственными частотами системы. Общее решение уравнений движения можно теперь записать в виде -! ус тн ъ Сьагле л (10.28) где Св — комплексный масштабный коэффициент, соответствующий данной собственной частоте. Здесь, однако, можно сделать возражение, состоящее в следующем.
Так как >.а=ел, то каждому ре- 2 шеиню векового уравнения соответствуют две собственные частоты: +ы„и — ыл. И хотя собственный вектор ал будет для них одним и тем же, однако масштабные коэффициенты С~с н Сь могут иметь при этом любые различные значения. Поэтому решение рассматриваемых уравнений должно описываться пе формулой (10.28), а формулой ти=,~'„асл(Сле ! ь~+Сье г л ). л (10. 29) Ответом на это возражение служит то, что интересующее нас движение описывается не комплексным решением, а лишь его вещественной частью, которая в формулах (!0.28) и (!0.29) имеет вид ти = ~~~~ Улагь сов(ылЕ+ 8л), (10. 30) зации произвольной системы функций.
Он также подобен процессу, которым мы пользовались в главе 5 в случае кратных собственных значений тензора инерции. Поэтому неопределенность, вносимую в выбор векторов а двукратным корнем ),, можно об.ьяснпть тем, что все векторы некоторой плоскости оказываются при этом собственными. В этом случае мы просто выбираем в этой плоскости два любых перпендикулярных направления и принимаем их за новые главные оси. Собственные векторы матрицы А будут тогда ортами этих осей.
Частоты, относящиеся к кратным корням векового уравнения, часто называют вырождающимися. Следует, однако, заметить, что этот термин имеет здесь не тот смысл, какой придавался ему в предыдущей главе. так как там мы считали частоты вырождающимися даже в том случае, когда онн различны, лишь бы только опи были соизмеримы. 10.3! 77ое7,'тэенные 1!Астоты и 1'7!Анные кООРдинАты 353 где амплитуда 7А и фаза Ь» определяются начальными условиями. Поэтому мы можем пользоваться как формулой (10.28), так и формулой (10.29), однако первая из них является, конечно, более удобной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
