Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 71
Текст из файла (страница 71)
4 !0.2. Собственные значения и преобразование главных осей. Уравнения движения (10.8) являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В такой форме уравнения часто встречаются в теории электрических колебательных контуров. Поэтому решение пх мы будем искать в виде тн = — Са,е- ь'ч, (10.9) где Са; — комплексная амплитуда колебания, соо~вегс~вующая координате т1;; коэффициент С введен нами для удобства как некоторый масштабный коэффициент, одинаковый для всех координат. Действительному движению отвечают, конечно, вещественные части функций (10.9). Подставив выражения (10.9) в уравнения движения (10.8), мы получим следующие уравнения для коэффициентов ар (10.
10) Уравнения (10.10) образуют систему сс линейною однородных уравнений с п. неизвестными а; и, следовательно. будут иметь 344 1гл, 10 мллые колавлния нетривиальные решения лишь при выполнении условия 1ы Т11 1 гц "' "ят — тт „,туж 14„-- „,"- уэз Уравнение (10.11) является алгебраическим уравнением и-й степени относительно ая.
Корни его определяют те частоты, при которых функции (10.9) могут служить решениями уравнений (10.8). Амплитуды аг можно определить при этом из уравнений (10.10), которые при каждом из найденных значений ыя могут быть решены относительно а; (точнее, все амплитуды а; могут быть выражены через одну из них). Для того чтобы получить правильное математическое представле; ние, мы рассмотрим наиболее простой вариант общей задачи. Предположим, что обобщанные координаты системы являются декартовыми координатами ее точек. Тогда кинетическая энергия системы будет содержать лишь квадраты составляющих еЕ скоростей.
Взедйм теперь новые обобщЕнные координаты, для чего каждую из декартовых координат разделим на корень квадратный из массы соответствующей точки. Тогда кинетическая энергия Г будет равна (10.12) т. е. Т;у станет равным ьг . Поэтому однородные уравнения (10.10) упростятся н примут вид ~,1'я ат — — Лио (1О. 13) Ча= ха, подобного уравнению (4.74). Уравнение (10.11) будет тогда вековым уравнением, определяющим собственные значения Л. где Л =-ыз. Но эти уравнения подобны тем, которые встречались нам в главах 4 и 5 при решении задачи о собственных значениях [см. уравнения (5.22)1. Единственная разница состоит лишь в том, что сейчас мы имеем дело не с трвхмерным пространством, а с п-мерным. Поэтому числа 1Г;~ можно рассматривать как элементы матрицы Ч, состоящей из и строк и п столбцов, а числа аз — как составляющие и-мерного вектора а. Систему уравнений (10.13) можно представить в виде одного векторного уравнения Э 10.21 совствюшыг.
знзчюпщ и пгвовглзовлнив главных освй 545 ~Ч 1', аг =- Х ~ Тг а'и (10.10) Умиожим теперь равенство 110.15) на аул и просуммируем по /, а равенство 110.15) умножнм на а,.', и просуммируем по 1- Вычитая затем из первого результата второй, получаем 0 =- 1).„— >;,) Х тыаз,а',1г П0.17) 1!оложнм теперь ! ==. /з. 1'о~ да будем иметь 1„, 110.18) Так как матрица Ч симметрична и вещественна, то соответствующие собственные значения также будут вещественны 1см. й 5.4), Если образовать матрицу Д, составленную из а систем (а ), соответствующих и собственным значениям, то подобное преобразование, осуществляемое с помощью Д, должно диагонализировать Ч 1сьп й 4.6). Кроме того, а собственных векторов а будут ортогональными и, следовательно, диагонализирующая матрица Д также будет ортогональной.
Эти выводы справедливы не только в том частном случае, когда матрица из коэффициентов Т,у является диагональной; аналогичные результаты можно получить и в общем случае. Если числа Т,у рассматривать как элементы матрицы Т, то систему уравнений (10.10) можно будет записать в виде векторного уравнения Ча =)Та. 110.14) От обычного уравнения, определяющего собственные значения некоторой матрицы, оно отличается тем, что в правой части его стоит не )., а хТ.
Мы сейчас рассмотрим соответствующие ему собственные значения, т. е. те значения >, при которых это уравнение имеет нетривиальные решения. При этом покажем, что они будут вещественными !так как матрицы Т и Ч являются эрмитовскими), и, кроме того, они должны быть положительными. Помимо этого, докажем, что собственные векторы а являются в известном смысле ортогоиальными, а составленная из них матрица Д диагонализнрует как Т там и Ч, приводя Т к единичной матрице 1, а Ч вЂ” к матрице, по диагонали которой стоят собственные значения 7. Поступая так же, как и в й 5.4, мы ~-ю составляющую 7з-го собственного вектора обозначим через аул. Тогда при ).=)„каждое пз скалярных составляющих уравнения !10.14) будет иметь вид Х.ца,ь=).в~~ ?,уаув- (10.15) Составляя аналогичное уравнение для >. = )ч и заменяя в ням все члены на комплексно сопряженные, получаем 346 (гл. 10 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Покажем, что стоящая здесь сумма является вещественной и положительной.
Разобьйм для этого а л на вещественную и мнимую части, т. е. положим ага = х1И+ 1Ь. Тогда сумму (1О.!8) мом1но будет записать з виде где вследствие симметричности чисел Т;, последняя из написанных сумм обращается з нуль (так как при перемене местами индексов и у изменяется ее знак), Следовательно, сумма откуда '5', Ъ;уаглаул /.1. = ~ Т,,агла,л (10.19) Энаменатель этой дроби равен удвоенной кинетической энергии СИСТЕМЫ В СЛУЧаЕ, КОГДа т)1= а1ЧИ И таК КаК СОСтаЗЛЯЮЩИЕ а1Ь ВЕЩЕ- ственны, то он должен быть числом положительным. Точно так же является вещественной. Далее, из определения коЭффициента Тта [формула (10.6)) видно, что сумму ~~~ ~Т11я1ла1л можно рассматривать как УдвоеннУю кинетическУю энеРгию системы пРи 1И =а1эн а сУммУ ~~~~ Т1191ДŠ— как удвоенную кинетическую энергию при ги = — ~гл.
Но при любых вещественных скоростях кинетическая энергия положительна. Следовательно, фигурирую1цая в (10.18) сумма не может равняться нулю, и поэтому собственные значения )» должны быть вещественными. Рассмотрим теперь составляющие собственного вектора аа, определяемого уравнениями (10.15). Так как числа Ал являются вещественными, то составляющие аж относятся друг к другу, как вещественные числа, Однако в выборе этих составляющих имеется некоторая иеопределйнность, так как согласно (10.15) одну из них можно выбрать произвольно, Пользуясь этим, будем требовать, чтобы эта составляющая была числом вещественным, и тогда вещественность величины ),„обеспечит вещественность и всех остальных составляющих вектора тэл. (Любой комплексный коэффициент СО1 в равенстве (10.9) можно получить тогда за счвт множителя С.1 Умножая теперь (10.15) на а1л и суммируя по 1, получаем ~ Ъ;,апагл — — Лл ~.
Т11аг.а1тл су 1, 1 Ь 10.2! совственные знАчения и НРБОБРАзовлние главных Осей 347 числитель втой дроби равен удвоенному значению У при ти ==- аан !(о так как при лт=-0 !' имеет минимум, то числитель этой дроби не моисет быть отрицательным. Таким образом, числитель и знаменатель дроби (10.19) являются числами неотрицательными, причйм знаменатель отличен от нуля, Следовательно, )ч есть число неотрицательное.
Вспомним теперь, что через А мы обозначили величину шэ. Следовательно, положительные ), соответствуют вещественным частотам колебания. Если бы потенциал системы не имел в положении равновесия минимума, то числитель дроби (10.19) мог бы быть отрицательным, что привело бы к появлению мнимых частот, вызывающих неограниченное возрастание функции тт(!) по экспоненциальному закону. Следовательно, такое движение было бы неустойчивым. Таким образом,.мы получили обещанное математическое доказательство того, что устойчивость движения требует минимума потенциала. Вернемся теперь к равенству (10.17).
Учитывая, что собственные значения А и собственные векторы а являются вещественными, его можно записать в ниде (Агэ — ) 1) ~'„т1)а1110ь == О. (10.17') Если все корни векового уравнения различны, то булем нчеть ) тт,анау„= О (учь )э). (10.20а) ;~ тэуа,лата =- 1, ь у (10.20!1) что даст нам а уравнений, однозначно определяющих составляющие каждого из и векторов али). Объединив теперь равенства (10,20а) п (10.20Ь), получим Х т1 апауэ эп (10.21) ел 0'' ") Уравнения (!0.20Ь) можно записать в таком виде, что достаточнос1ь этих уравнений для устранения неопределенности в коэффициентах а„ь станет ясной.
Предположим, например, что мы хотим определить величину аэля причам отношения аул)атл уже найдены нами иэ уравнений (10.15). Тогда, записывая (10.20Ь) в виде у а!Аа!л аэ ' э,у 1Л чы можем вычисшпь левтю часть это1о равенства и получ1пь а,1,. Вспомним теперь, что величины а А не вполне определяются уравнениями (!0.1б). Для устранения этой неопределйнности мы потребуем, чтобы [гл. 10 348 малыв колвглния Если среди корней 1, имеются одинаковые, то нз равенства (10.17') нельзя получить равенство (!0.20а), так как ).в может оказаться равным )ч. Этот исключительный случай мы рассмотрим несколько позже, а сейчас будем считать, что коэффициенты авь удовлетворяют как уравнению (10.10), так и уравнению (10.20а). Условие (10.2!) можно записать в форме матричного равенства (10.21') АТА= 1 Л!ы видим, что оно несколько напоминает условие ортогональности (10.22) АА=1 [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
