Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Поэтому з=-,' ~ъ~,~, (10. 64) где коэффициенты $»7 — — $7» являются некоторыми функциями координат. Однако, так как мы рассматриваем только малые отклонения от положения равновесия, то, раскладывая $»» в степенные ряды в окрестности этого положения, мы можем ограничиться лишь первыми членами этих рядов, т. е. считать коэффициенты $»7 постоянными (подобно тому, как мы это делали для кинетической энергии).
Заметим, что функция 2$ выражает скорость рассеивания энергии вследствие трения и поэтому она не может быть отрицательной. Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений Лагранжа: :", т„„+ ~Д,>ц+ ~У„.„== 0 (10.65) (см. Э !.5). Иногда преобразование, диагонализирующее 7' н У, диагонализирует и Я. Это, в частности, имеет место з том случае, когда диссипативная сила пропорциональна не только скоростям частиц, но и их массам.
В этих исключительных случаях уравнения движения в главных координатах будут иметь вид -"»+ Ъ»"-»+ "Ф» = 0 (10. 66) где $» — положительные коэффициенты диагонализированной формы $. Уравнения (10.66) образуют систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициента»и, и их решения можно записать в виде / -»в.» С,а», 364 (гл. 1О МАЛЫБ КОЛЕБАНИЯ причйм ю',. должны удовлетворять уравнениям сз Ъ ю; + сюсбс — ю; = О. (10.67) Каждое из этих уравнений имеет корни се с; ю. = с ~/ ю-.— — — 1 —, сХХ сю 4 2 ' (10.68) — с'; сж -с'» с (!0,69) Вели функцию рассеивания нельзя диагонализировать одновременно с Т и \г, то процедура решения уравнений (10.66) становится более сложной.
Однако общий характер решения остаатся при этом в основном тем же. Будем искать решение уравнений (!0.65) в виде т = Са е-""'= Сл,е -"се-асссс. Подставив эти выражения в (10.65), получим Х )гс аХ вЂ” !ю,'Я ЯХХаХ вЂ” юа ~ ТыаХ вЂ”вЂ” О, с Х Х (1О. 70) (10.?1) или, полагая ю = с7: ~~„"!гсХаХ+ 7 ~'Я!Ха + 7Я~~~" Тйа =О. Х Уравнения (!0.71) или (!0.7!') являются линейными однородными уравнениями относительно а~ и имеют нетривиальные решения лишь при определессных комплексных значениях ю (или;). При этом мол<но (10.
7! ') откуда видно, что функции чс ие являются строго периодическими, так как числа ос' содержат мнимые части. Вследствие этого функции — .сж '.с(!) будут содержать непериодические множители е ог , итак как Дс ) О, то при 7 -+ со они будут стремиться к нулю. Этот результат следовало, конечно, ожидать, так как, совершая колебания, рассматриваемая система производит работу против сил трения, что приводит к непрерывному уменьшению еа энергии (а следовательно, и амплитуды колебаний).
Частота изменения функции ".с(с) определяется вещественной частью равенства (10.68), и, как видно из этого равенства, трение уменьшает частоту ю; до величины с 3 юз — — '. Однако если рассеивание мало, то квадратным чле- 4 ном Д; можно пренебречь, и частоту колебания можно считать равной собственной частоте при отсутствии трения. Тогда колебание, описываемое функцией (ч(!), можно будет рассматривать как экспоненциальпо демпфированное свободное колебание. В этом случае будем иметь Э 10.5) выцюкденньщ колввлнпя и диссиплтнвные силы Збо показать, что мнимая часть ш (или вещественная часть 7) должна быть отрицательной.
Чтобы доказать это, умножим (10.77') на а',. и просуммируем по Д Проделав это, получим." Х )'~~а;а~+ 7 ~~~ ~$0а;а + 7з ~~", Т; а;ау= О, (10.72) причйм из симметричности коэффициентов Г;., $;„. и Тц следует, что каждая пз этих сумм является вещественной (см. э 10.2). Полагая теперь ау = иу+1Эу и подставляя это выражение в (10.72), получаем: У )г0(~р +.
94) + 7 Х 60(я;х~+ В1$)+ 72 Х Т0(агяу+ р Ъ) == 0 ьу (10.72') что представляет собой квадратное уравнение относительно 7. Корнялш его будут комплексно сопряженные числа 7 и 7" и поэтому сумма их будет равна удвоенной вещественной части числа 7. Но так как сумма корней квадратного уравнения известным образом выражается через его коэффициенты, то можно написать: 7 1 = ХлТг (ч~" +Р ) Но диссипатнвная функция 1т не может быть отрицательной, а функция Т является определанно положительной.
Следовательно, х есть число положительное илн равно нулю. Таким образом, колебания системы могут только уменьшаться со временем по экспоненцнальному закону. Заметим, что если функция Д является определанно положительной, то я должно бьжь строго положительным, н каждая функция (10.70) будет иметь зкспоненциальный демпфирующий коэффициент. Частота рассматриваемого колебания определяется вещественной частью ы и зависит от степени рассеивания энергии, однако если демпфирование не очень велико, то она мало отличается от соответствующей собственной частоты. Перейдем теперь к последнему вопросу — к исследованию вынужденных колебаний при наличии диссипативных снл.
Уравнения этих колебаний имеют вид .г, —,'- ~~~~~ гб.уа -~- ч~'., Тг.т(1 = Гсче г''"', (10.74) где Таге-ч г = Р, — возмущающая сила, причем Теу может быть комплексным. Разыскивая частное решение этих уравнений в виде т,, = А е-~"', Ц 7 йбп 1гл. 1о! малыв ьолввлния получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд А: ~~~~ АГ (гы йобй ыгТг ) — Гег = О. (10. 75) Решая ее, находим Т1у Ю А = —, у 0(м) (1О. 76) где 7) (ы) — детерминант, составленный из коэффициентов при А~, а 717(ы) получается из е)(ы) посредством замены г'-го столбца на Ге„ ..., г".
„. Нас будет интересовать знаменатель этой дроби, так как именно им определяется резонансная характеристика системы. Поскольку он представляет детерминант векового уравнения, его можно представить в виде 0(ш) = 0(ы — ыг) (ы — аа) (ы — ыа) ., . (ы — ыв) где аы..., ы„— комплексные частоты свободных колебаний, а ц — некоторая постоянная. Это выражение можно записать также в виде О(ы) = ОЦ [2я (ч — чг)+ гя;). (10.
77) а=1 Желая теперь разделить вещественную и мнимую части А~, мы должны будем умножить числитель и знаменатель (!0.76) на 7)'(ы). Тогда новый знаменатель будет равен ~У(ы) 7)(в) = ОО'И (4яз(ч — ~.)а+ я!), г=г откуда видно, что резонанс будет иметьместо в том случае, когда частота ч будет совпадать с одной из резонансных частот тп Однако вследствие наличия постоянных гм знаменатель (10.78) уже не будет обращаться при этом в нуль. Это связано с тем, что возмущающая сила должна теперь совершать работу против сил трения, и поэтому резонансные амплитуды уже не получаются бесконечными.
Колебания, которые мы рассматривали в этой главе, относились к механическим системам. Однако легко видеть, что здесь имеется много сходства с теорией колебания электрических систем. Так, например, уравнения (10.65) можно рассматривать как относящиеся к п электрическим контурам, взаимодействующим друг с другом. Тогда коэффициенты )г,~ будут играть роль соответствующих электрических Емкостей, коэффициенты Я,~ †ро сопротивлений, а коэффициенты 7;" — роль индуктнвностей. Возмущающие силы Ре~е-г ~ заменятся тогда электродвижущими силами с частотой ы, приложенными к одному или нескольким контурам, а уравнения (10,74) будут играть роль уравнений (2.39) главы 2.
ЗОУ зАДА'ш Изложенные нами здесь методы представляют лишь часть тех методов, которые применяются при исследовании малых колебаний. Однако дальнейшее исследование этого вопроса скорее относится к теории взаимодействия электрических контуров, чем к механике. Вместо этого мы обратим наше внимание нв теорию колебаний непрерывных систем. Исторически переход от дискретных систем к непрерывным (осуществлйнный Рэлеем и другими) был сделан для исследования колебаний струн, мембран и бадок. Другим примером непрерывной системы может сдужить одна или несколько величик, являющихся функциями х, у, г и 1 — другими словами, переменное поле. Поэтому методы изучения непрерывных механических систем могут быть применены и к изучению полей, например к электромагнитному полю.
В современной теоретической физике эти методы приобрели важное значение при квантовом исследовании полей элементарных частиц, обнаруженных в последнее время в большом количестве. В следующей главе мы кратко изложим основные вопросы классической механики непрерывных систем. ЗАДАЧИ 1. Определите главные колебания двойного маятника, нзображбнного на рис. 5, считая длины его нитей равнымн, а массы различными. Покажите, что если нижняя масса мала по сравнению с верхней, то собственные частоты этой системы почти одинаковы. Рассмотрите случай, когда этот маятник приводится в движение посредством небольшого отклонения верхней массы от вертикали.
Покажите, что в дальнейшем амплитуда каждой из его масс будет периодически уменьшаться до нуля, а амплитуда другой будет достигать при этом максимума (гбнениеэ). 2, Для сведена задачи о линейной трйхатомной молекуле к двум степеням свободы можно ввести координаты уг = хэ — хт, уэ = хэ — хэ и исключить хэ с помощью условия о неподвижности центра масс.
Получите частоты главных колебаний в этих координатах и покажите, что они совпадают с полученными в й.10.4. (Расстояния уг и уэ называют внутренними координатами молекулы.) 3. Пусть средний атом молекулы, рассмотренной в 5 10.4, будет связан с началом координат пру»,иной жбсткостью я. Найдите частоты продольных колебаний этой системы и покажите, что в этом случае не будет частоты м = О. 4. Молекула состоит из трах одинаковых атомов, расположенных в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника и связанных пружинами равной жбсткости. Получить детерминант векового уравнения, определяющего частоты еб плосних колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
