Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 78
Текст из файла (страница 78)
То же самое относится и к уравнениям (11.18), инвариантность которых будет обеспечена, если В будет скаляром пространства Минковского, а тн будут обладать некоторыми характерными особенностями, например, будут составляющими 4-вектора. В качестве простого примера применения полученных уравнений рассмотрим снова продольные колебания длинного упругого стержня.
В этом случае 8 будет определяться формулой (11.9), и поэтому будем иметь: дй — =О, дч 373 мвтоды ллгглнжл и гамильтона для нвпгвгывных систем [гл. 11 Следовательно, уравнение (11.17) в этом случае имеет внд ~(ав лз» р — — à — '=О, лгз лаз что совпадает с уравнением (11.?), полученным ранее, Это уравнение описывает распространение волны в одномерном пространстве и для скорости этой волны дает выражение /'у (11.23) совпадающее с известным выражением для скорости продольных упругих волн.
ф 11.3. Звуковые колебания в газах. Лля того чтобы проиллюстрировать изложенные методы, рассмотрим задачу о продольных колебаниях газа. Эти колебания образуют так называемое звуковое поле, и уравнение, которое мы получим, будет волновым уравнением распространения звуковой волны. Перемещение частиц газа будем характеризовать вектором 3 с составляющими тн(1 = 1, 2, 3). Следовательно, каждая точка х, у, з будет характеризоваться тремя относящимися к ней обобгценными координатами. Колебания газа мы будем считать малыми и поэтому давление Р и плотность р будем считать мало отличающимися от их равновесных значений гзо " ро. Если бы рассматриваемая система была дискретной, то нам нужно было бы найти ее кинетическую энергию Т и потенциальную энергию Ъ', а затем образовать разность Т вЂ” )Т=7..
Но в данном случае 7. равно ) ) ) 3 пх г1у и», и поэтому Т равно интегралу ) ) ) ХдхдуИг, а )Т вЂ” интегралу ~ ~ ~ 6Нхду~7г, где л, и 6— кинетическая и потенциальная энергии единицы объЕма. Поэтому наша задача сводится к вычислению разности 3 = Т. — 6. (11.26) Что касается удельной кинетической энергии Х, то она находится без труда. Учитывая, что мы рассматриваем только малые отклонения от положения равновесия, будем иметь: (11.27) Удельную потенциальную энергию 2) найти несколько труднее. Потенциальная энергия газа является мерой той работы, которую он может произвести при расширении. Рассмотрим теперь массу газа М с равновесным объемом М ч ио ф 11.3) ЗВУКОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ГАЗАХ 379 который мы будем считать достаточно малым.
Тогда с1 можно будет считать постоянным, и потенциальная энергия этой массы газа будет равна бь'о. Пусть затеи этот объем изменяется от (лс до 1' + Жl, Тогда над этим газом будет совершена работа — Рс(17 "). Следовательно, потенциальная энергия газа, соответствующая объему (ге+ М', равна г;ГА (11.27а) Заметим, что, несмотря на малость М', этот интеграл нельзя считать равным — Ре Му, ибо, как мы в дальнейшем унии и -дг.— дим, этот член не оказывает Влияния Рпс. 72.
Кривая ээвпспмостп на уравнения движения. Поэтому дав- давлен я гээа от его объема. ление Р(Ъ') будем считать не постоянным, а изиеняюшимся по линейному закону на участке от 1', до М' (рис. 72). Тогда будем иметь Р Ф вЂ” Р 31 + — ( — ) (31 ) (11.28) тдР х Для того чтобы вычислить производную ( — ), обратимся к термо- (,дЬ')в' динамике. Согласно закону Бойля связь между давлением газа и его объемои выражается равенством (11,29) (этим соотношением пользовался Ньютон). Однако в данном случае этим соотношением пользоваться нельзя, так как оно предполагает изотсрлхичесьое изменение состояния газа, в то время как звуковые колебания всегда совершаются так быстро, что температура газа не успевает выравняться.
Поэтому сжатие и расширение газа происходят здесь адиабашическп, т. е. по закону РРп = С, (11.30) где, — константа, равная отношению удельной теп.тоемкости при постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном в) Быделим на повертноств газа элемент дА. т(ействующая на него внешняя сила равна РдА и направлена внутрь объама Гтс. Но так как при расширении газа этот элемент движется в направлении наружной нормали и перемещается ва величину дх, хо внешние силы совершают при эхом работу — Р дА дх = — Р д'у'. 380 методы ллгглнжл и гамильтона для ннпвагывных систнм (гл. 11 Объединяя теперь равенства (11227а), (! 1.28), (11.31) н (!!.32), получаем следующее выражение для 6: д) =Рве+ — з .
тРо г 2 (11. 34) Теперь нам нужно выразить е через т), Рассыотрим для этого некоторый фиксированный объем пространства. Масса газа, выходящего нз этого объема при небольшом нарушении равновесия, ранна !'а) ) УА, где с(А — элемент поверхности, ограничиваю!пей этот объем. Но так как эта масса должна равняться объемному интегралу 1 (й — йз) гу!' то должно выполняться равенство йо ~ з с1)г = йа ~ тт ' с(А (11.35) которое можно записать также в виде Так как последнее равенство должно быть справедливо для любого объйма, то мы приходим к соотношению **) а= — т т). (11.36) Таким образом, мы окончательно получаем: 6 = — Рор т)+ 2 (р т))'. (! 1.37) а) Вывод этой формулы см., например, в кяиге; Ы.
Ф. Еешапзку, Неат апб Тйеппобупашшз, Ысйгатч — НШ, гл. Ч1. "*) Равенство (!1.3б) можно записать в виде и = — 'т' ив что представляет обычное уравнение неразрывности газового потока. объйме в). Следовательно, искомая производная равна (11.31) бр/з Изменение объбма газа пелесообразно выразить через соответствующее изменение его плотности.
Так как )г= т)т1й, то м!ь — !' Оз Ы (1!.32) ива где з — относительное изменение плотности, определяемое формулой !ь = йо(! -т- з) (11.33) 381 звгковыв колавлния в глзах откуда видно, что >9 = рв>)> дчг д (т. в) о, ' — — 2 (7 ° т]) епг (11.39) Из равенств (11.39) следует, что член 2Р„7 ° т) не влияет на уравнения движения. Поэтому мы его теперь опустим и будем писать 8 в виде д — 2!Рот>' Т' о(7 ' т)) 1 ! (! 1.40) Получающиеся отсюда уравнения движения имеют вид что эквивалентно векторному уравнению ре — — ТРо77 т) .= 0.
дав дгз (11,42) Физический смысл полученного уравнения становится более ясным после умножения обеих частей его на оператор 7. Учитывая, что 7 ° и= — а и 7 ° 7 =7а, Из равенства (11.33) видно, что первое слагаемое выражения (11.34) не влияет на величину полной потенциальной энергии. Для доказательства возьмем поверхность, охватывающую весь рассматриваемый газ. Тогда правая часть равенства (!1.35) обратится в нуль, так как газ не выходит за пределы этой поверхности.
Но отсюда следует, что интеграл ~ ег(!Г, взятый по всему объему газа, также будет равен нулю и, следовательно, не войдет в Л. Следует, однако, заметить, что это обстоятельство не является еще достаточным для того, чтобы опустить первое слагаемое формулы (11.37), так как если судить априори, то это слагаемое, возможно, оказывает влияние на уравнения движения. (Напомним, что равенство нулю ковариантного гамильтониана не означает, что он не оказывает влияния на уравнения движения.) Поэтому мы не будем пока отбрасывать этого слагаемого.
Удельный лагранжиан Я можно записать теперь в виде 2 = — !нет)'+ 2Р„7 ° т) —; Р„(7 ° т))'1, 1 382 методы ллгглнжь и гамильтона для нвпгвгывных систем [гл. 11 получаем: мю дю» ьюю О трю дм (11.43) Легко видеть, что это есть обычное уравнение трехмерной волны, распространяюпгейся со скоростью (11.44) Таким образом, мы получили известное выражение для скорости звука в газе.
Этим заканчивается решение задачи о составлении уравнений Лагранжа для звуковых колебаний в газе. (11.45) и поэтому гамильтониан этой системы будет равен или Н= ~ а ( —.' »н — Е;). (11.46) В пределе же, когда а -+ О и Еь -+ 8, эта сумма переходит в интеграл Н= 1 (х( —.',— 8).
дО дч (11.47) Из равенства (11.45) видно, что когда а стремится к нулю каждый импульс рь тоже стремится к нулю. Поэтому мы введам так называемый уоельныл импульс и, определив его равенством д0 Эч ' Кроме того, введем понятие удельного гамильтониака, понимая под ним величину ф =пт,— 8. (11.48) Я 11.4. Уравнения Гамильтона для непрерывных систем. Уравнения Гамильтона для непрерывных систем можно получить методом, подобным тому, который применялся в главе 7 для дискретных систем. Для простоты начнем с системы, рассмотренной в ф 11.1 и состояшей из материальных точек, отстояших друг от друга на расстоянии а. Каждой обобшенной координате тл будет соответствовать канонический импульс дб дЕ» дт» д»л ~ 11 41 уРАВнения РАмильтонл для непРеРывнык систем 383 Тогда интеграл (11.47) будет интегралом ) р г1х, и ясно, что в случае трехмерной системы с несколькими обобщйнными координатами мы будем иметь аналогичную формулу Н = ~ ~ ~ ф дх, дх, г1ха = ~ ~ ~ (~~ клтм — 3 ) дх, а'х, аахм (! 1.49) где дй ЕЕ (11.50) "г даь' Канонические уравнения движения могут быть получены с помощью той процедуры, которая применялась нами в 3 7.1.
Мы будем считать, что ф есть функция обобщенных координат тл(хн 7), д;,. удельных канонических импульсов .В(ХГ, 1), производных — ' и, дх возможно, времени Г. Тогда будем иметь дн= ~ ~ ~ ~(~~~~ д,„+ дю ди„+'» "," д( —,"')~+ ! А дх. + фд()(г1Х, ахег(ха.
Написанный здесь интеграл немного напоминает тот интеграл, с которым мы встречались в принципе Гамильтона в форме (11.13). Поэтому интеграл дхд мы будем, как и там, брать по частям. При этом получим два слагаемых, первое из которых можно считать равным нулю, так как область интегрирования может быть взята настолько большой, что на ее границе т~ и Ю будут обращаться в нуль.
В результате ФН можно будет записать в виде + д ог1 ох~ г(хе ИХВ (! 1.51) или, пользуясь функциональной производной (11.19), в виде г1гт' = ~ ~ ~ ~ ~~ ( —. дтм+ —. Е(ие) + д дГ~ с(х, дхе дх (11,52) * (В 384 методы ллгглнжл и глмильтонл для непгвгывных систем [гл. 11 (так как р не является функцией пространственных производных от пь). Следует заметить, что подобное интегрирование по частям и последующее введение функциональных производных (11.19) возможно во всех случаях, когда вычисляется изменение величины, дяь дяь плотность которой зависит от производных — или — , дх ' дху ' Вспомним теперь, что согласно (11.49) с(О равно во ве ~ ~~Я ~(' в г!тм+ ты "пе ° г!тм, дт1е) ! ь Ом еге — дГ "!) дх1 дха аха (11.53) д3 Но крайние члены суммы, стоящей в круглых скобках, очевидно, уничтожаются, что видно из равенства (11.50), определяющего пы Кроме того, согласно уравнениям Лагранжа (1!.23) ел д вг.
'Чь дт авь Следовательно, равенство (11.53) можно записать в виде Г (ъ-з ° д8 гУг'= ) ~ ) !'~у ( — яьг(тм+т1„дяь) — д г((~дх,дхадх,. (!1.54) ! а Сравнивая теперь уравнения (11 54) и (11,52), мы получаем систему уравнений аи во па ==т)ь (11. 55) звь "ял и тождество дт дт Уравнения (1!.55) являются аналогами обычных уравнений Гамильтона и справедливы для произвольной непрерывной системы.
Выражая их через удельный гамильтониан р, получаем: дх. В этой форме они в отличие от формы (1!.55) являются несимметричными (так как р не является функцией градиентов величин яь). В качестве простого примера применения этих уравнений рассмотрим опять звуковые колебания газа. Величины пл будут здесь, очевидно, равны й 11,4! теавнвния гамильтона для нипеигывных систем 385 что можно записать в виде векторного равенства тт = ро'6 Поэтому удельный гамильтониан р будет в этом случае ранен ,ф = . т) — 9 = — "+ — "(т ° т1)е 21 я 2 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
