Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 79
Текст из файла (страница 79)
уравнение (11.40)). Отсюда видно, что 9 равно (11.57) р = 'а+3, яе та= па= — — (Р "т '5). ро' и Лха 0 Совокупность этих двух систем эквивалентна уравнениям (11.4!). (Первая из этих систем лишь повторяет равенства, выражающие величины:тл.) Ббльшую часть формальных результатов, полученных нами ранее в связи с уравнениями Гамильтона (теоремы о сохранении, скобки Пуассона и т. д.), можно легко распространить и на случай непрерывных систем. Например, модифицированный принцип Гамильтона будет теперь иметь вид 2 ) / ~ (~хо нда — й) г(х, г(хаггха ге(= О. (11 58) ! а В качестве другого примера рассмотрим теорему о сохранении, а именно теорему о сохранении самого гамильтониана.
Полная проло неводная — равна а'г что согласно уравнениям (11.55) можно записать в виде а) Мы опустили член, линейный относительно р Ч, так яак было показано, что он не оказывает влияния на полную энергию. т. е. равно сумме удельной кинетической и удельной потенциальной энергий. Поэтому р в данном случае есть просто удельная энергия "). Таким образом, канонические уравнения данной системы будут иметь вид: 386 методы ллгллнжл и глмильтонл для нвпгвгывных систем [гл. 11 Таким образом, Н будет постоянным тогда, когда р (или Н) не является явной функцией 1.
Рассмотрим теперь какую-либо функцию О, не зависящую явно от ( и имеющую вид интеграла О=ЩЕ (х, (х,ах,. Полная производная ее по времени будет равна ( —. тл + — ° л) в~юг дхз г1хз что с помощью уравнений движения можно записать в виде ДО [ 1 1 жлГЗО ЬН ЗО ЬНт По правая часть этого равенства является очевидным аналогом скобок Пуассона [О, Н[ [см. равенство (8.42)[; суммирование по обобщенным координатам заменяется здесь интегрированием по «непрерывным номерам» лы х„х, и дискретному индексу и.
Поэтому можем написать — =[О, Н), «'О а в случае, когда О будет явной функцией г, мы, очевидно, получим — = [О, Н[+ —, «'О аа лг дг ' что совпадает с равенством (8.58). Следовательно, если О не является явной функцией 1 и скобки Пуассона [О, Н[ обращаются в нуль, то О будет сохраняться постоянным. Заметим, что этот результат справедлив и тогда, когда Ф есть функция пространственных производных г или -., что видно из проведенного доказательства.
Таким образом, теоремы о сохранении можно получить здесь тем же методом, что и в обычной теории. Между интегральными константами движения и свойствами симметрии системы также имеется известная нам связь. Однако следует подчеркнуть, что, кроме этих «микроскопических» констант движения, имеются еще и «микроскопические» теоремы о сохранении.
Эти теоремы относятся не к интегральным величинам, а к дифференциальным, т. е, к плотностям. Например, можно получить теоремы, выражающие свойства неразрывности внутреннего потока энергии, количества движения и кинетического момента. К сожалению, мы не можем останавливаться на этих вопросах и отсылаем интересующихся читателей к литературе, приведенной в конце главы. 11.6] описание полей с помощью вквнкционных пгинцнпов 387 ф 11.5. Описание полей с помощью вариационных принципов. Методы, изложенные нами в предыдуших параграфах, были развиты для исследования непрерывных механических систем, например упругих тел.
Однако эти методы можно использовать н для получения уравнений поля, так как с математической точки зрения поле представляет одну или несколько независимых функций от х и 1, и их можно рассматривать как обобщенные координаты т(1(лы хе ха !), Заметим, что некоторые поля, встречающиеся в физике, можно действительно связать с движением некоторой непрерывной среды. Таким является, например, звуковое «поле», связанное с продольными колебаниями частиц материальной среды. Точно так же электромагнитное поле долгое время связывалось с упругими колебаниями неведомого эфира, и лишь в последнее время стало ясно, что эфир играет лишь роль объекта, к которому относятся слона «передавать возмущение» (по выражению С.
Л. Квимби). Вели вариационные методы, изложенные в предыдуших параграфах, не связывать с понятием непрерывной механической системы, то онн могут служить для получения уравнений пространственно- временного поля. Принцип Гамильтона будет тогда служить компактным выражением свойств этого поля. Так как удельный лагранжиан мы не будем теперь связывать с определенной механической системой, то он не обязательно должен быть равен разности удельных энергий- — кинетической и потенциальной.
Вместо этого мы можем взять для 11 любое выражение, приводящее к нужным уравнениям поля. рассмотрим, например, поле, возникающее при звуковых колебаниях газа. В 3 !1.3 при описании этого поля мы рассматривали перемещения отдельных частиц газа и принимали эти перемещения за обобщЕнные координаты. Однако это поле является, в сущности, скалярным, так как для его исследования можно пользоваться лишь одной величиной— скалярои а, представляющим относительное изменение плотности. Поэтому е является здесь естественной координатой, и именно через нее должна выражаться величина 3.
При этом В должно быть таким, чтобы полученное из него уравнение совпадало с волновым уравнением (11.43). Легко видеть, что этому условию удовлетворяет следующее выражение для 3: 3 = — — 'еа — (7а)е = — еа — — — . (11.61) 2 ( 1Р«) 21Р« 2 .Ла (,дхк) Действительно, согласно (11.61) имеем: дЯ д0 !»о«д8 д« вЂ” =О, д. ' д,. — 1Р,' д(д.у — д„ ( дхк / 388 мвтоды лагглнжл и гамильтона для нвпгинывных систем (гл. 11 Поэтому уравнение (11.17) будет здесь иметь вид Пс дзс %т дзс 17'о ды Яьа дл' -а что совпадает с уравнением (11.43).
Заметим, что выражение (11.61) не совпадает с выражением (11.40), пол> ченным нами для 8 в 3 11.3. Кроме того, ни один из членов выражения (11.61) не является удельной кинетической или удельной потенциальной энергией. Тем не менее, мы видим, что это 8 приводит к правильному волновому у.равнению, т. е. удовлетворяет поставленной цели. Для описания звукового поля можно также пользоваться удельным гамильтонианом Е=-'~ — т" и'+(р)ф (! 1.62) Легко видеть, что это выражение приводит к нужному нам уравнению поля, хотя оно н отличается от (! 1.53) и не выражает плотности энергии механической системы. В качестве более сложного примера образования лагранжиана рассмотрим электромагнитное поле в вакууме.
В этом случае Е = В и В = И (в единицах Гаусса), и уравнения Максвелла (!.55) принимают вид Ч ХЕ+ — — =О, 1 дВ с дг 1 дЕ ал/ РХ — — — =— с дг с т ° В=О, т ° Е= 4лр (11.63) (11.64) Первая пара этих уравнений, т. е.
уравнения (11.63), эквивалентна следующим: Е= — Рл — —— 1 дА с дг (1.58) В=РХА, (1.57) которые выражают тот факт, что поле имеет скалярный и векторный потенциалы. В противоположность этому уравнения (11.64) описывают процесс образования и изменения поля под действием зарядов и токов. Поэтому именно их мы будем рассматривать как уравнения поля. Так как шесть составляющих этого поля не являются независимыми, но могут быть выражены через четыре составляющие потенциалов, то в качестве обобгцанных координат этого поля выберем потенциалы А и ть Покажем теперь, что уравнения (11.64) можно получить с помощью удельного лагранжиана Ез — Вз ,~' А 8= — су+ —, 8л с (1! .65) где Е и  — правые части равенств (1.58) и (1.57).
Вычисляя для ф 11 б) описание полай с помощью влгилционных пгинципов 389 этого производные х по о и по —, будем иметь: дч дхл др до Еа дЕл Ел ( †" ) " ( †' ) ду Но так как производные — вообще не входят в Вт, то уравнение дт Лагранжа, соответствующее координате л, будет иметь вид — лу — — р=О, или т Е=4пр, 1 ъч дЕ„ 4в 2~ дха л что совпадает с первым нз уравнений (!1.64). Получим теперь урав- нения Лагранжа для составляющих вектора А.
Рассмотрим для этого одну из таких составляющих, например А,. Вычисляя связанные с ней производные 2, получим: дй У! дй Е! дЕ! Е! дА! с ' дА„ лп дА, д0 1 дВз Вз дй Вз д (дА! ) 4в ) (дАт) 4п 1(дА~) 4к ' Поэтому уравнение Лагранжа, соответствующее координате А„будет иметь вид ' — О. (11.66) 1 /дВз дВз) 1 дЕ! У 4п ~дхз дхз/ 4гс дт с Легко видеть, что, проектируя уравнение 1 дЕ 4с/ (Р ХВ) — — — = — ' с дс с на ось х,, мы получаем точно такой же результат.
Следовательно, для координаты А, мы получили нужное нам уравнение и точно также могли бы получить уравнения и для координат Ая и Аз. Таким образом, удельный лагранжиаи (11.65) приводит к уравнениям Максвелла (! 1.64)*). ..) В некоторых отношениях электромагнитное поле представляет собой неудачный пример. Одной нз трудностей здесь является отсутствие в производной т и, следовательно, отсутствие канонического импульса, соответствующего т, что затрудняет применение метода Гамильтона, изложенного в й 11.4.
В сущности, источник появляющихся здесь трудностей заключается в том, что скалярный и векторный потенциалы являются пе вполне незаввснмымп, так как онн связаны между собой так называемым калибровочным условием. Опо является дополнительным условием, позволяющим исключить олпу из обобщанных координат н оставить только независимые координаты. Подробнее смотри об этом в книге: О. )т' е п ! з е1, 1и!гобпсйоп !о гйе !апзп!пгп Тйеогу о1 р1е!бз.
(Иа!еется русский перевод: В е н ц е л ь, Введение в квантовую теорию волновых полей.) 390 методы ллгглнжл и глмнльтонл для нвпгвгывных систвм [гл. 11 Плотность тока можно записать в виде ,7' =-,".е>, (11,67) р(г) = ~~ д,о(г — гя), (11.71) ~=-г где >7г — заряд 1-й частицы, а г; — ее радиус-вектор. Из (11.70) следует, что если р(г) определяется формулой (11.71), то интеграл [ р( ) [; ( ) —, [ 1~' равен е;. А (г;) ~ с Следовательно, если в поле имеется и заряженных частиц, то полный лаграижиан этого поля будет иметь вид 1,= ~ г(Ь' — ~~>М >7;(7> — '~ ) (11.?2) где р — плотность заряда, а е> — его скорость, являющаяся некоторой функцией г. Учитьщая это соотношение и интегрируя (11.65), мы получаем следующее выра>кение для полного лагранжиана электромагнитного поля: 7.= ~ ~6„й — р[; — — ")~ ц:. (11.66) Следует заметить, что выражение, стоящее в круглых скобках, уже встреча.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
