Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 80
Текст из файла (страница 80)
тось нам прн вычислеш>и лагранжиана заряженной частицы в электромагнитном поле [см. уравнение (1.61)[. Таким образом, эта часть Г является обобщснным потенциалом заряженной точки. Если в поле имеется заря>кенная частица, то ев масса и заряд будут сконцентрированы в одной точке пространства. Следовате.чьно, плотность ее заряда должна равняться нулю всюду, кроме этой точки, где эта плотность лолжна быть бесконечной.
Однако объемный интеграл от этой плотности должен равняться полному заряду рассматриваемой частицы. Г1оставлеиному условию удовлетворяет известная 6-функция Дирака, определяемая равенствами 6 (г — г,) =- 0 (г =л >",), [ (11.69) 1 6 (г —.,) Д = 1, где г> — радиус-вектор данной частицы. Из этих равенств следует также, что если /'(г) есть некоторая функция г, то [ 7( ) ( — «,)Л'=7'(~,) (11.70) Поэтому для группы из >г частиц функция плотности р(г) будет иметь вид 3 11,5) опислннв полей с помощью влгилционных пгинципов 39! (7г и А; берутся при г = ге). Сравнивая выражения (11.72) н (1.61), видим, что входжцая в (11.72) сУмма есть обобщенный потенциал системы, состоящей из и заряженных частиц.
Поэтому можно обьединить лагранжианы (1.61) и (11.72), добавив к (11.72) кинетическую энергию этих частиц: что можно записать также в виде Х')г3 (г г~) (т )1 п~ + 2 ~4 т;оы (11.73') Это выражение, так же как и выражение (1!.73), является лагранжнаном системы, состоящей из электромагнитного поля и и заряженных частиц. Оно является функцией обобщенных координат з(лы хз, ха) и А (лы хе, лз), а также обобщенных координат го Таким образом, мы одновременно описываем две системьк электромагнитное поле и находящиеся в нем частицы.
Пользуясь теперь принципом Гамильтона и варьируя только потенциалы, получим уравнения Максвелла для электромагнитного поля, а варьируя координаты частиц, получим уравнения движения этих частиц. Заметим, что первый член выражения (11.73) представляет собой лагранжиан поля в случае отсутствия заряженных частиц, а последний — лагранжиан этих частиц в случае отсутствия поля. Средний член этого выражения, очевидно, отражает взаимодействие поля и заряженных частиц. Мы видели, что вариационные принципы позволяют получить компактное и изящное описание поля. Может, однако, возникнуть вопрос: каковы практические преимущества этого метода по сравнению с методом непосредственного составления уравнений поляР На это следует ответить, что наиболее важные преимущества проявляются здесь в области, лежащей за пределами классической физики.
Поэтому мы остановимся на них совсем кратко. Во-первых, этот метод позволяет получать новые поля и исследовать их свойства. Дело в том, что при выборе возможного выражения для 9 мы всегда ограничены тем требованием, что 3 должно содержать только координаты и их первые производные по х; и 1 и, кроме того, должно быть инвариантом Лоренца. Пусть, например, имеется только одна обобщенная координата т1, которая должна быть инвариантным скаляром (или псевдоскаляром).
Тогда указанным требованиям бу.дуг отвечать только члены вида где А„ — внешний инвариантный вектор (или псевдовектор). Поэтому в случае скалярного поля любое 9 должно быть комбинацией этих 392 методы ллгглнжл и гамильтона для нвпгвгывных систвм (гл. 11) членов. Этим путЕм можно исследовать многие общие свойства такого скалярного поля, не зная его физической сущности. Последнее время этим методом часто пользуются в теоретических работах по полям мезонов.
Второе применение рассматриваемого метода относится к квантованию полей. Мы знаем, что переход от классической теории к квантовой можно осуществить через канонические переменные системы. Мы отмечали, что классическим скобкам Пуассона от функций канонических координат соответствуют при этом квантовые коммутационные соотношения. В сушности, мы только тогда умеем квантовать систему, когда моэкем говорить о ней на языке механики. Поэтому, если мы хотим построить квантовую теорию электромагнитного или какого-либо другого поля, то сначала нужно получить его описание на языке механики. Основу для такого описания дают методы Лагранжа и Гамильтона, изложенные в этой главе.
Задачи 1. (а) Поперечные колебания растянутой струны можно апрокснмиро- вать колебаниями системы, состоящей из равноотстоящих материальных точек, расположенных на невесомой упругой нита Покажите, что прн сбли- жении этих точек лагранжиан такой системы стремится к пределу Е = — ) ~рэ).— Т( — ) ~ дх, где Т вЂ” первоначальное натяжение струны. Каковы здесь уравнения движе- ния, если плотность р есть фувкция ху (8) Получите лагранжиан для непрерывной струны, рассмотренной в задаче (а), непосредственно вычисляя ее кинетическую и потенциальную энергвн.
(Потенциальная энергия равна работе силы Т при растяженнп струны во время колебаний.) 2. Получите уравнения Гамильтона для непрерывной системы, исходя нз модифицированного принцнпа Гамильтона (11.58) н следуя процедуре, описанной в й 7А, 3. Покажите, что если за независимые переменные поля принять ф и ф', то удельный лзгранжиан 0 = — 7Ф 7ф*+ )/Ф'ф+ — (ф'ф( — Ы'") 8лтлэ ' ' 4лг приведет к уравнению Шрйдингера дэ 6 дф — — 72ф + ) Ъ = — — ' 8лзт ' ' 4лг дт и к соответствующему комплексно сопряжйнному уравнению.
Каков здесь канонический импульсу Получите удельный гамильтониан, соответствующий этому 2. 4. Покажите, что если удельный гамильтоняан не является явной функцией э)м то интегРал булет величиной постоянной. Рккомендгнмля литегатхгл 393 Величина 6, является аналогои полного количества движения поля в направлении хв а эта теорема — аналогом теоремы о сохранении количества движения дискретных систем (см. 8 8.8). 5.
Удельный лагранэкиан электромагнитного поля дается ретятивистской ковариантной формой э,т где А,— 4-вектор потенциада, а у.,— 4-вектор с составляющими у и !у Покажите, что этот лагранжиан приводит непосредственно к волновым уравнениям 4я!'ч ДзА с Покажите также, что ан иденышен лагранжиану, который рассматривался в этом параграфе (за исключением среднего члена, который в любом случае равен нулю вследствие калибровочного условия). Рекомендуемая литература Т.
С. Я ! а ! ег апб Ы. Н. Г г а як, Ыес!ип!сз. Излагая механику непрерывных систем, мы только составлялн уравнения движения, но не рассматривалк их решение, так как для исследования колебаний струн, мембран, жидкостей и твердых тед потребовался бы целый том. В книге Слэтера и Франка этпм вопросам посвящена почти половина всего объема. Эта книга написана легко, а местами даже элементарно и может служить введением в рассматриваемый предмет, Переход от дискретной струны н непрерывной в случае поперечных колебаний рассмотрен здесь в главе ЧП. ).
о г б Й а у 1е ! и Ь, Тпе Тпеогу о1 Бонпб. Эта монография содержит много материала по колебаниям непрерывных тел. Исследование волнового уравнения, описывающего распространение звука в газе, проводится в главе Х1, т. 2, где весьма полробно рассматривается адиабатическое и изотермическое движение газа. О. )Чеп !ге!, !п!гобнсйоп !о !Ье Оная!нш Тпеогу о! Р)е!дз. Классическая механика весьма подробным и исчерпынающим образом рассматривается во многих классических работах. Однако многие вопросы этой теории рассматриваются и в книгах по квантовой механике, так как классическая теория поля является предшественницей квантовой теории полн. Одним из лучших источников такого рода, по-видимому, является отлично написанная книга Вентцеля, в особенности еб первая глава.
Пенный материал по этим вопросам содержится также в главах ХП) и Х!Ч книги 1.. 1. Б с Ь 111, Оная!шп Ыеспап!сз, В частности, последняя глава посвящена электромагнитному полю. Из более ранних источников можно назвать книгу: %. Не! зе и Ь егя, Тпе Рпуз!са! Рг!пс!Р1ез о1 Янапшгп Тйеогу, 9 9, Приложения, а также одну нз самых ранних работ по теории поля, не утратившую до настоящего времени своей ценности; Ж. Н е ! з е п Ь е г и ппб Ж.
Н. Р а н! 1, Ее!!зсйг, 1. Рпуз. 56, 1, 1929. БИБЛИОГРАФИЯ Книги, которые были изданы в последнее время (например, многие немецкие книги), приводятся в этом списке с указанием в скобках места и даты издания. Если приведсниая здесь книга была указана ранее в списке рекомендуемой литературы к каждой главе, то в скобках указывается номер этой главы. Работы по общей классической механике 1. А ш е я Лояерй 5иеегшап апб 51 и гп а И й а п Ггапс!я О., ТЬеогепса! Месйапкя. Воз!оп, Ошп апб Сошрапу, 1929, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
