Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В дискретной системе каждому значению ! соответствует определанная обобщанная координата т)и Здесь же каждому значению х соответствует обобщенная координата т)(х). Но так как т, зависит также и от 1, то лучше писать не т(х), 11.21 тглвнвния ллгвхнжл для непгвгывных систем 373 а л(х, Г), указывая тем самым, что х и 1 можно рассматривать как параметры лагранжиана. Если бы непрерывная система была не одномерной, как в рассмотренном примере, а трвхмерной, то каждая ев точка характеризовалась бы тремя непрерывными индексами х, у, я, и следовало бы писать не т!(х, Г), а >1(х. у, г, 1). Лагранжиан ев выражался бы тогда не интегралом по х, а трвхкратным интегралом вила г.= ) ) ) 'ь'ахг1уаг, (1 1.8) где  — лагранжиан единицы объЕма или удельный лагранлсиан.
Лля расмотренного выше непрерывного стержня он равен (11. 9) и получается из величины Ь; в уравнении (11.4) при а -ьО. В дальнейшем мы увидим, что, составляя уравнения движения системы, нам придйтся пользоваться не лагранжианом, а удельным лагранжианом. ф 11.2. Уравнения Лагранжа для непрерывных систем. Из формулы (11.9) видно, что в случае упругого стержня 2> содержит не только и†= —, но и пространственную производную —. Таким дч дч дг ' дх' образом, х и 1 являются здесь равноправными параметрами удельного лагранжиана.
В общем случае В будет, конечно, функцией не только этих производных, но н самого т„! и х. Если же рассматриваемая непрерывная система является трехмерной, то ес удельный лагранжиан будет иметь вид 2=2(~,—,—,—,—, х, у,, 1), дч дч дч дч ' дх' ду' дг' дг ' (11.10) Характер фигурирующей здесь вариации почти такой >ке, как у рассмотренных нами ранее, Параметры х, у, г в процессе этого варьирования не участвуют, и все вариации берутся при постоянных В механике дискретных систем лагранжиан был важен в том отношении, что позволял получить уравнения движения.
Мы увидим сейчас, что в случае непрерывных систем эти уравнения получаются непосредственно из удельного лангранл иана В>. Будем исходить из принципа Гамильтона, который теперь принимает вид 374 методы ллгглнжа и гамильтона для нвпгягывнык систем [гл. 11 х, у, х и б Пределы интегрирования пз 1, х, у, и я прн этом не меняются. Что касается вариаций етг то они должны обращаться в нуль не только в точках 1 =1, и 1=1е, но и в любой точке на границе объема интегрирования. Переход к задаче на обычный экстремум можно здесь провести так же, как и в случае дискретной системы, т. е.
вводя семейство возможных траекторий и характеризуя ик значениями некоторого параметра а. Однако так как по о-вариациям у нас накоплен достаточный опыт, то мы можем и не вводить этого параметра, а пользоваться самим символом е, помня при этом, что д б -ь г[а — ° да ' Так как с есть функция не только т[ и т, но также и производных т[ по х, у, г, то вариация и равна дй ., дй. ъ~ д6 . ( дч~ (11.12) дч ',),' ' й ! дч 1 [,дхв7' в=~ [,дхлl где х, у, г заменены для удобства на х„х„ха Поэтому принцип Гамильтона можно записать в виде ~~ — И~+ —.е) У вЂ” — — е( — — ~)~1хг1хфх,,[1=-б.
Применяя интегрирование по частям (как это делалось при выводе обычных уравнениИ Лагранжа), получаем: Аналогичным образом можно поступить и с интегралами, содержа, / дп 1 д щими вариации е~ — ). Переставляя местами символы В и ~дхв/: дхь' будем иметь / [дхь/ 1дхв 7 дй . 1 д д" д(а ) '1) )) (11.15) Первый член этой разности обращается в нуль (так же, как в интеграле по времени), ибо в крайних точках интервала интегрирования от равно нулю. Здесь, впрочем, может возникнуть некотораа трудность, так как размеры рассматриваемой системы могут быть бесконечно большими. Однако при стремлении г к бесконечности т) большей частью быстро стремится к нулю, и поэтому первый член разности (11.15) можно считать равным нулю и в этих случаях.
Кроме того, мы можем поступить формально и вести интегрирование по конечной области, а после опускания первого слагаемого (11.15) можем считать допустпчыми и бесконечные размеры области интегрирования. Таким образом, принцип Гамильтона принимает вид (дхл/ Обращаться в нуль при произвольном от((х„ха, хз, г) этот интеграл может только тогда, когда дт д.,' ' 'МЗха,! дн 1 дт а=с ( дха/ Мы знаем, что в случае системы с а степенямн свободы имеется и уравнений Лагранжа. Поэтому может показаться странным, что для системы с бесконечным числом степеней свободы получено только одно уравнение (1!.1?).
Следует, однако, помнить, что в обычные уравнения Лагранжа нходит только одна независимая переменная— время, а в уравнение (11.17) входят четыре переменные: х,, х„ х, 1. Поэтому уравнение (11.1?) является уравнением в частных производных. Можно смотреть на него как на сумму обыкновенных дифференциальных уравнений, получающихся при фиксированных в) Переход от частной производной по хл в (11.14) к полной производной в (11.15) может вызвать некоторые недоразумения. В первом случае частная производная указывает на то, что Ч есть функция не только хю но и б а также других координат.
т(то касается второго случая, то в выражении (11.15) мы не можем употреблять символ частной производной, так как зто означало бы, что рассматривается лишь явная зависимость 8 от ха. Поэтому мы пользуемся здесь символом полной производной, желая подчеркнутьч что эта производная учитывает и неявную зависимость от ха, вносимую переменной т. Так нли иначе, но смысл операций, которые здесь должны быть выполнены, совершенно ясен. 11.2) углвнения .тлгглн:ка для непгееывных систем 375 и, выполняя интегрирование по частям, получаем *): 376 методы ллгглнжл и глмильтонл для нвпгвгывных систвм [гл.
11 дв дяз дхк lдты1 дты ~д[ — ') [ дхк Обозначения, которыми мы пользуемся, станут намного проще, если ввести так называемую функциональную производную к) или вариационную производную лагранжиана Е по т, равную в И. дй С1 в' дй ачв дти й дхк 7дчв1 ' к=з д[ — ) [ дхкl Аналогичным образом определяется и функциональная производная Е по т)вз но так как 2 не зависит от гРадиента пРоизводной тои то зг.
дй з (11.20) Преимущество функциональной производной состоит в том, что при пользовании ею мы не имеем дела с зависимостью В от производных — '. Так, например, согласно (11.8), (11.12) и (11.15) дхк ' рь ) р — ьв — д — 8,1 — Ь вЂ”.й ~~ )л. 6~ 2~~ у дй - д дй . дй .. к д~ — Р) дхк ") Функциональная производная Л по я характеризует изменение ь при изменении функции Ч(х) в окрестности данной точки пространства прн условии, что зависимость я от Г остаатся неизменной. значениях х,, х,, хз.
Тогда число этих уравнений будет бесконечно велико, что согласуется с бесконечно большим числом степеней свободы. При выводе уравнения (11.17) мы предполагали, что каждая точка системы может совершать лишь один вид перемещения, описываемого величиной т. Однако в более общей задаче, такой, например, как задача о колебаниях упругого тела, будут иметь место перемещения по всем трем направлениям. В этом слу чае будет иметься не одна обобщенная координата, а три, которые мы будем обозначать индексом ~: т[в(хы хз, хю Г), где у' = 1, 2, 3.
В более общем случае может быть и не три обобщйнные координаты, а больше, и тогда 2 будет функцией всех обобщйнных координат и их производных по х„ х„ х, т', Каждой обобщЕнной координате т[в(хы хз, х,, 1) бУдет соответствовать одно УРавнение движении, имеющее вид 1 1.2! ггхвнвния ллгглнжл для нвпгвгывных систем 877 где пг' — элемент объема. Если же пользоваться функциональной производной, то этот результат принимает вид ЗЕ.
= ) ~1 ( — 'йт, + — '',г,.)сйl, (11.22) эту О'Ъ что, конечно, проще, чем (11.21), так как здесь не фигурируют дч производные —. Что же касается уравнений (11.18), то через дхл функциональные производные их можьо записать в виде ! Зг. ЬД д! Ьч! Вч. напоминающем обычные уравнения Лагранжа. Следует заметить, что хотя функциональная производная и упрощает некоторые вариационные процедуры, однако она затемняет тот факт, что уравнения движения являются уравнениями в частных производных по х„и по д Кроме того, время выступает здесь как особая переменная, существенно отличная от пространственных переменных, в то время как при выводе уравнений движения мы считали х„ и г равноправными параметрами 8.
Это равноправие переменных хл и 1 немного напоминает специальную теорию относительности. Произведение дх! и!хе с!хз д1 является здесь, в сущности, элементом объйма в пространстве Минковского и, следовательно, инвариантно относительно преобразований Лоренца; если 8 есть некоторый инвариантный скаляр этого пространства, то принцип Гамильтона (11.11) так!ке будет инвариантен относительно преобразований Лоренца. В ковариантных обозначениях уравнение (11.17) будет иметь вид (! 1.24) дй дО дч — = йт!, д д д', ' ' д(~ ) х и если Е и т, будут скалярами пространства Минковского, то оно будет релятивистски инвариантным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
