Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 63
Текст из файла (страница 63)
И'(~у, Р). Эта функция удовлетворяет уравнению в частных производных, имеющему вид Н(д, —, г)+ — ==О. ~ Н(д, — ) — -а,=О. Полный интеграл этого уравнения содержит ! и — 1 нетривиальных постоянных, образующих вместе с а, систему из и независимых постоянных а,,...,аег и нетривиальных постоянных а„..., а„. За новые постоянные импульсы Р;== П можно выбрать и независимых функций от и постоянных а;; Ря (г(а . ») и поэтому полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно рассматривать как функцию новых импульсов ~ = ~(Ч т Г). ! (Г'= й'И (г).
(В частности, П могУт быть Равны ан) Одна половина УРавнений преобразования имеет вид д5 дат . и выполняется автоматически, так как эти равенства использовались при составлении уравнения Гамильтона — Якоби. Остальные уравнения преобразования имеют вид д5 ! дЖ' й =д— =1Я дтч Ф = д. = '(П) ~+ Рг д« При этих условиях новые уравнения 4= — =-О, дК дР; дф~ движения будут иметь вид: дК = — = чп !' д()г $ 9.4) РАздьление пеРеменных в РРАВнении РАмильтонА — якови 307 и могут быть разрешены относительно дт, в результате чего у; получатся выраженными через г и 2п постоянных р1, "„.
Окончательное решение задачи сведйтся тогда к выражению 2п постоянных чеРез начальные значениЯ кооРдинат и импУльсов (чеРез Гыв и Рю). Если гамильтониан не содержит явно 1, то можно пользоваться любым из этих методов. Соответствующие производящие функции будут связаны тогда равенством Я(д, Р, С)=)Р(д, Р) — Е,Г. ф 9.4. Разделение переменных в уравнении Гамильтона— Якоби. Из содержания предыдущего параграфа может показаться, что метод Гамильтона — Якоби не имеет практических преимуществ, так как вместо решения 2п обыкновенных дифференциальных уравнений он требует решения дифференциального уравнения в частных производных, что, как известно, сложнее.
Однако при некоторых условиях переменные уравнения Гамильтона — Якоби можно разделить, и тогда решение задачи удается свести к квадратурам. Именно в этом случае метод Гамильтона в Якоби становится полезным в практическом отношении. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие системы, гамильтониан которых является одним из первых интегралов (при этом он не обязательно должен быть полной энергией). Поэтому. мы можем ограничиться рассмотрением лишь тех канонических преобразований, которые осуществляются функцией, определяемой соответствующим дифференциальным уравнением в частных производных.
Разделение переменных, которое мы имеем в виду, удается произвести тогда, когда решение вида В'= ~ ))гт(!у1, п„..., ав) ! разбивает рассматриваемое уравнение на и уравнений вида д ' ''''' в) (9.23) Катндое нз полученных таким путям уравнений (9.23) содержит лишь одну координату и лишь одну частную производную — как раз по этой координате. Поэтому эти уравнения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, которые можно свести к квадратурам, разрешая их относительно —.
дЮ'! ддт ' К сожалению, нельзя дать простого критерия, указывающего, когда можно произвести такое разделение переменных *). В некоторых случаях, например в известной задаче о трех телах, его вообще ') Более подробно этот вопрос рассмотрен в статье Нордхейма н Фюза, (см. НапбЬвсь бег Рйузйц т. Н), а така!е в книге Франка и Мизеса: сР)ггегео!)а! ие)сйапдеп бег Рйуз)к», т. 2, гл. 2, 9 5, н в литературе, указы<ной в этой работе.
ЗО9 [гл, 9 метОд Глмильтона — якови о(дп ап 1) = %'(дп а;)+ о' (Г, а;), что после подстановки з уравнение Гамильтона — Якоби приводит к равенству Так как первый член этого уравнения содержит только и;, а второй в только А то оно может удовлетворяться лишь теми функд5а циями, при которых как И, так и — являются постоянными. Таким дг образом, мы приходим к уравнениям: дЯа — = — пп дг (9п д ) (9.24Ь) первое из которых показывает, что Ба= — а,с1сьь равенство (9.13)], а второе является уравнением Гамильтона — Якоби для функции 1Р'. Аналогичное разделение переменных в характеристической функции Гамильтона можно произвести в том случае, когда все координаты, кроме одной, являются циклическими. Рассмотрим, например, тот случай, когда единственной нециклической координатой является д,.
Будем искать Ж' в виде )г' = ~~ Ф;. (~гр., Р,). Так как импульсы, соответствующие циклическим координатам, являются постоянными, то при 1 чь 1 уравнения преобразования будут иметь вид — =-,О =й., д йг~ (9,25а) д~й нельзя осуществить. Однако в системах, представляющих интерес для современной атомной физики, такое разделение удается произвести почти всегда. Следует подчеркнуть, что решение вопроса о разделении переменных в уравнении Гамильтона в Якоби зависит от того, какой системой обобщйнных координат мы пользуемся. Например, в задаче о движении точки под действием центральной силы переменные разделаются в случае применения полярных координат г и 9 и не разделяются в случае применения декартовых координат х и у.
Во многих случаях существует более чем одна система координат, допускающая разделение переменных, Частичное разделение переменных уже применялось нами при решении уравнения Гамильтона †Яко в случае, когда И не является явной функцией 1. В этом случае мы искали о' в виде $9.4) глздклкпиа пвгемвнных в гглвнвнии гамильтона — якови 309 и поэтому уравнение Гамильтона — Якоби запишется в виде Н(ды —, и,„..., п,)=пы дя, ' (9.25Ь) что представляет обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Ю'ы и, следовательно, легко может быть решено. Уравнения (9.25а) и (9.25Ь) полностью определяют характеристическую функцшо Ф', и так как интегрирование уравнений (9.25а) приводит к равенствам Ф;= пауз (1 чь 1), то для )г' будем иметь: 'йу = В', + ~ а;~уп (9.26) 2т 1,Р" +та /+ и является циклическим относительно ~у, В соответствии с этим харак- теристическую функцию Гамильтона можно записать в виде (9.27) )1' = 'йт, (г) + ат~у, ") Равенство (9.26) можно получить также из следующих соображений.
Мы знаем, что В' является производящей фуикцией преобразования, при котором все новые координаты являются цикляческими. Йо если координаты пз,..., п„уже являются циклическими, то для них такое преобразование ие нужно. Поэтому в отношении зтих координат преобразование йг может быть тождественным.
Обращаясь теперь к равенству (9.26), мы видим, что так как ы; являются новыми пмпульсамя, то сумма 'т',атдг может быть записана а=а в виде Х гзгг) ° т=з что для координат па,..., д„ представляет производящую функцию тожде. ствеииого преобразования (сьь равенство (8.19)). Можно заметить сходство между равенствами (9.26) и (9.13), определяющими 8 в случае, когда Н не содержит явным образом 1. Действительно, их можно рассматривать как равенства, полученные одинаковым путам. Мы видели, что 1 можно рассматривать как обобшанпую координату, которой соответствует канонический импульс — Н. Следовательно, если Н= сопя(, то г можно рассматривать как циклическую координату, а уравнение (9.24а) — как одно из уравнений (9.25), справедливых для любых циклических координат а).
В качестве примера рассмотрим задачу о плоском движении точки под действием центральной силы, Гамильтоннан такой системы имеет вид 31О )гл, 9 метод гамильтона в якови где и †постоянн кинетический момент р, соответствующий координате т.
Уравнение Гамильтона — Якоби запишется в данном случае следующим образом: (9.28) где и, — постоянная, имеющая простой физический смысл: это — полная энергия системы. Разрешая уравнение (9,28) относительно — , д йгг дг ' получаем д)Д; . гг а„ вЂ” ' = $г 2т (а — (г) — — ", гз ' откуда 2 а= (Г )Г Г а,— а) — -Ь.;,. гя При такой характеристической функции равенства (9.22Ь) принимают виа; даг Г т й '+'' да, а„ 2т (аг — )г) — — ' гэ (9.29а) дгтг г а„дг 1.= д„--= — ~ + о. (9.29Ь) т ,2 гз 2т (а~ — )г) — — ' га и'и =8,— ~ 2т (а, 1/) иэ аа что при отождествлении ра с ро совпадает с равенством (3.37), полученным ранее лля орбиты точки. На этом простом примере можно ясно видеть мощность и изящество метода Гамильтона †Яко, позволившего нам быстро получить уравнение орбиты и зависимость г от г, что раньше требовало больших выкладок.
Разделение переменных в уравнении Гамильтона в Якоби не ограничивается, конечно, тем случаем, когда лишь одна координата является нециклической. Если, например, гамиль- Первое из пих определяет г как функцию г и совпадает с равенством (3.18), в котором и, и а выражены через Е и 1. Ранее отмечалось, что (и — 1) последних уравнений (9.22Ь) (в данном случае одно уравнение (9.29Ь)) определяют уравнение 1 траектории.
Полагая в (9.29Ь) и= —, будем иметь г' э 9.5) пегемвгшыв действии — уГОл тониан рассмотренной сейчас точки написать в сферических координатах, то из трех координат циклической будет лишь одна— угол у. Однако уравнение Гамильтона †Яко будет и в этом случае допускать разделение переменных гсм. э" 9.7). В 9.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
