Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Поэтому работы, посвяетбнные той илн другой форме квантовой механики, часто содержат подробное изложение нужных разделов классической механики. Одной из лучших книг такого рода является рекомендуемая книга Бориа (1924), написанная им до появления волновой механики. В первой главе этой книги дается сжатое изложение теории канонических преобразований и приводится много иятересных физических примеров. Скобки Пуассона в этой книге не рассматриваются, так как в современной физике интерес к ним появился только с возникновением в квантовой механике теории Гейзенберга и Лирака. М. Вогп ипб Р.
Юогб а и, В!егпепГаге ОвапГепшеснапбо В предисловии к своей книге, выпущенной в 1924 г., Борн указываа па недостатки существовавшей тогда квантовой теоряи и отмечал, что имеющиеся трудности, возможно, будут преодолены только после радикальной ревизии основных принципов квантовой механики. (Положение, подобное тому, которое сейчас имеется в теории ядерных сил.) Предсказание Бориа вскоре сбылось, и в 1929 г. он совместно с Иорданом выпустил рекомендуемую здесь книгу.
Как и в предыдущей работе, здесь некоторое место отводится классической механике, в частности рассматриваются скобки Пуассона, приводящие к весьма интересным результатам. Этот вопрос изложен в Приложении 1П, где рассматривается также связь скобок Пуассона с кинетическим моментом. А, Бош шег1е18, А!о!и!с 8!гас!вге апб Брес!га! 1лпез. Этот классический трактат по старой квантовой механике содержиг много интересного материала по уравнениям Гамильтона и каноническим РЕКОМЕИДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 295 преобразованиям. Эти вопросы изложены автором в различных местах главы об атоме водорода и в некоторых приложениях.
й. С. то!а а и, тее Рг!пс!р!е о1 В!агь!Рса1 меспап!сз. Эту книгу можно назвать энциклопедией теоретической физики. Глава 11 этого большого сочинения содержит краткое, но ясное изло!кение теории канонических преобразований, а также других аналогичных вопросов классической механики, в частности рассматриваются скобки Пуассона.
9 19 главы П! посвящйн теореме Луивилля. С. С а г а !й бои о ту, Наг!а!юпэтесппнпд. У нас не было возможности изложить в этой главе канонические преобразования со всеми математическими подробностями, которые особенно важны в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Интересующиеся читатели могут ознакомиться с ними в рекомендуемой книге Каратеодорн, являюцейся прекрасным введением в круг этих вопросов и содержащей обильный материал по каноническим и контактным преобразованиям, а также по различного рода скобкам. Несколько более короткое изложение этих вопросов мозкно найти в главе о вариацнонном исчислении, содерзкащейся в т. 1 книги: Ргап!г нпд Рон М!зез, П!е О!11егеп!!а1- ппд 1п!ецга!И1е!сйнпдеп бег Меспап!Е нпб Рйуз!!с.
р. А. М. 0!та с, Тйе Рг!пс!р!ез о1 г;!нап!пш Месйап!сз. Именно па эту книгу обычно ссылаются, когда говорят о приложении скобок Пуассона к квантовой механике, К сожалению, опа.приобрела репутацию книги, трудной для понимания, хотя этого нельзя сказать о еб последних изданиях. Поэтому читатели, немного знакомые с физическими основами квантовой механики, вполне могут ею пользоваться. Вопросы, имеющие отношение к материалу этой главы, изложены в Я 25 — ЗО этой книги.
ГЛАВА 9 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ Говоря о применении канонических преобразований к решению задач механики, мы указывали на два метода. Один из них относится к тому случаю, когда гамильтониан системы остаЕтся постоянным. В этом случае существует такое преобразование, при котором новые канонические координаты являются циклическими, и тогда интегрирование новых уравнений движения становится тривиальным. Другой метод состоит в отыскании такого канонического преобразования, которое осуществляет переход от координат д(г) и импульсов р(О к начальным координатам д(го) и начальным импульсам р(~о). Уравнения преобразования, связывающие старые и новые канонические переменные, будут при этом иметь вид: Ч= уйо ро С) Р=рйо Ро О т.
е. будут давать полное решение задачи, так как координаты и импульсы даются ими как функции их начальных значений и времени. Этот метод является более общим, так как он применим (по крайней мере принципиально) и тогда, когда гамильтониан содержит время 1. Поэтому мы начнбм с рассмотрения вопроса о том, как получить такое преобразование, В 9Л.
Уравнение Гамильтона †Яко, Для того чтобы иметь уверенность в том, что новые переменные являются величинами постоянными, достаточно потребовать, чтобы преобразованный гамильтониан К был тождественно равен нулю, так как' тогда новые уравнения движения будут иметь вид; — =() =О, дК дР„ дК вЂ” — =Ф =.о. ~ дОг Но так как К и гг' связаны соотношением К=-- Н+ —, (9Л) $ 9.1! 297 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА в ЯКОБИ то для выполнения равенства К = 0 производящая функция Р лолжна удовлетворять уравнению Ч(7 Р ()+д(к б дГ (9.2) где гт'(д, р, () — старый гамильтониан. Функцию Р удобно считать зависящей от старых координат дн от новых (постоянных) импульсов Р; и от времени (.
Пользуясь обозначениями предыдущей главы, мы будем записывать ей в виде Рз(д, Р, (). Чтобы выразить фигурирующий в (9.2) гамильтониан через те же переменные, можно воспользоваться уравнениями (8.11а), согласно которым и' р'= ад, Поэтому уравнение (9.2) можно записать в виде ") Полным интегралом 1 равиеиня дг дг1 ' дк, ' ' ' ' дхп( называют ф1нкцпю г = г(х,, хп, ан, ап), удовлетворяющую этому ураенению и содержащую с1олько независимых постоянных аь сколько в этом уравнении независимых переменных хк (см., например, Н, Н. Б у х г о л ь ц, Основной курс теоретической механики, ч. 11, ОНТН НКТП, 19371. ((7рагг. перев.) Полученное уравнение носит название уравнения Гоми гьтока — Якоби. Оно является дифференциальным уравнением в частных производных и определяет зависимость искомой производящей функции от д„..., д„, (.
Решение уравнения(9.3) обычно обозначают через о и называют главной функцией Гамильтона. Конечно, решая уравнение (9.3), мы находим зависимость о' только от старых координат и времени и ничего не можем сказать о характере зависимости Я от новых импульсов, о которых знаем пока только то, что они должны быть постоянными. Мы увидим, однако, что характер получающегося решения показывает, как получить новые импульсы Р;. Уравнение (9.3) является дифференциальным уравнением первого порядка в частных производных. Так как оно содержит и+ ! независимых переменных, то полный интеграл его должен содерм<ать и + 1 независимых постоянных а,, ..., гп, ипы ").
Следует, однако, заметить, что сама фушсция Я в это уравнение не входит, а входят лишь ей производные по о или по г. Поэтому, если О есть некоторое решение уравнения (9.3), то решением этого уравнения будет (гл. 9 МЕТОД ГАМИЛЬТОНА -- ЯКОБИ ~=~Ж т?и «т аа О (9.4) где ни одна из и постоянных а; не является аддитивной. Мы видим, что форма выражения (9.4) вполне соотнетствует форме искомой производящей функции, так как в правой части (9.4) стоит функция п координат до и независимых постоянных и; и времени К.
Поэтому п постоянных ат можно принять за новые (постоянные) импульсы, положив (9 б) Такой выбор не противоречит тому положению, что новые импульсы связаны со значениями величин д и р в момент уе. Уравнения (8.1!а) могут быть записаны теперь в виде до(яь ал Г) дд, (9.6) что ири т'=г дает нам л уравнений, связывающих и величин а, с начальными значениями дт и ро позволяя определить постоянные и, по заданным начальным условиям. Другая половина уравнений (8.11) Определит тогда новые постоянные координаты. Эти уравнения будут иметь внд д8(яе ... т) да~ (9.7) что позволяет, .зная (д,)г К, найти постоянные р, с помощью непосредственного вычисления правых частей равенств (9.7) при 4=1е.
Разрешая после этого уравнения (9.7) относительно д, получаем ч =э(п' рп т) (9.8) что полностью решает задачу, так как таким путем мы получаем координаты как функции времени и начальных данных*). а) Может возникнуть вопрос о разрешимости уравнений (9.6) опюсительно аг и уравнений (9.7) относительно де Вопрос этот сводится к исследованию систем (9.6) и (9.7) на независимость содержащихся в ннх уравнений, так как в противном случае этих уравнений будет недостаточно для дЯ определения и независимых величин а; илн дг Тот факт, что производные— в уравнениях (9?) являются незазнснмычя фуякцпямн д, следтет непосред. и о + а, где а †люб постоянная (так как аддитивная постоянная не изменяет значений частных производных).
Следовательно, одна из и+ 1 постоянных а, должна быть аддитивной постоянной, добавляемой к О'. Но легко видеть, что эта постоянная не имеет для нас значения, так как в уравнения преобразования входит не Я, а только ей частные производные. Следовательно, полный интеграл уравнения (9.3) можно записать в аиде $9Н) 299 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА †ЯКО Таким образом, главная функция Гамильтона осуществляет переход к постоянным координатам р и постоянным импульсам а. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, мы е то зке время получаем решение рассматриваемой механической задачи.
Говоря на математическом языке, мы установили соответствие между 2п каноническими уравнениями движения, которые явля1отся обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и уравнением Гамильтона— Якоби, которое является уравнением первого порядка в частных производных. Такое соответствие имеет место не только для уравнений Гамильтона; известно, что каждому уравнению первого порядка в частных производных соответствует определанная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данном случае эта связь между рассматриваемым уравнением в частных производных и соответствующими каноническими уравнениями может быть объяснена происхождением этих уравнений от общего вариационного принципа — модифицированного принципа Гамильтона. Выбор величин п; в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным, так как вместо них можно было бы выбрать любые п независимых функций от аг Тогда вместо постоянных а; мы имели бы постоянные тч = Т'(а1 а.) (9.9) и главную функцию Гамильтона можно было бы записать как функцию дт, Ть и ~, не изменяя ничего в остальных рассуждениях.
Выбор в качестве новых импульсов той или иной системы Тт часто оказывается более удобным, чем выбор постоянных, появляющихся при интегрировании уравнения Гамильтона †Яко. Физический смысл функции Ю обнаруживается при вычислении ей полной производной по времени, которая равна и5 д5 д5 ственно пз того, по постоянные «1,..., «н являются незавнсимыин, нбо отсюда нытекьет, 11о якобпап (д« ' ''' дч„) ! д«5 дбут, „д ) =!д«,доу~ отличен от нуля. Но твк как порядок дифференцирования 5 по «н но о не существенен, то якобиан также должен бы1ь отлпзен от нуля, что доказывает иезззнснмощь трзннений (9.6). [гл. 9 мвтод гамильтона в якови (11.16) откуда Ь'= [ !.Ф+сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
