Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 56
Текст из файла (страница 56)
г(р; = — . (пи ~') гЕи гЕи. г)(и о) (8.33) Поэтому равенство О ~~„', г(р; Ирт =- Д ~ ~гй;) . дРл, ь выражающее утверждение, что интеграл .У, не изменяется при кано- нических преобразованиях, можно записать в виде ~' альта~ д(яо Рт) и. й ) ~ ~~ дЩл, Ра) 3 г я ь Но так как область интегрирования является здесь произвольной, то эти интегралы могут быть равны только в том случае, когда выполняется равенство у д(ио Рд у д(9в, Рл) ы' д (и, о) ~й д (и, о) (8.34) С.чедовательно, доказательство инвариантности интеграла У, сводится к доказательстну инварнантности суммы якобианов. Рассмотрим каноническое преобразование, получаемое с помощью производящей функции типа Р (и, Р, г) *).
В этом случае из уравнений (8.11а) мы будем иметь *) Это требование не является обязательным, так как рассматриваемое доказательство можно провести н в случае производящей функции другого типа, в чбм читатель моькет легко убедиться самостоятельно. является инвариантом любого канонического преобразования. Симнол 5 означает здесь произвольную двумерную поверхность в фазовом пространстве. Переходя к доказательству этой теоремы, прежде всего заметим, что положение точки на двумерной поверхности определяется двумя какими-либо параметрами.
Пусть на поверхности Ю такими параметРами бУдУт и и о. Тогда бУдем иметь: дт = дт(и, о), Р; =Р,(и, о). Как известно, связь между элементом плошади Ыбтдр; и элементом плогцааи Фиг(т~ определяется якобианом М 3) инте!'Рлльныв ннаагиантс! пуанкА!'е 2'с! Но производная — зависит от и только через аргументы с)а и Рл дна д4с и поэтому можно написать дРс а,а дара дРа + ~~ даРа дча ди ьаа дч; дРл ди Ьа) дсас дс)а ди а а а также аналогичное выражение для частной производной — '.
ПоддРс ди ставляя теперь полученные выражения в сумму детермннантов, входящих в левую часть (8.34), будем иметь: (8.33) двс ~а д'-Рс дРсс ~ ! дсРа дйас ди Са дс)сдРа дсс + ~ю~ дс)сдул ди сс а дс)с У дсРа дРс, Ча д'Р, дс)а ди .Ьа( ддсдРл ди ааа) ддсддв ди я Час д(ссс Рд а'Й д(и, о) аьи а с Разбивая, далее, каждый детерминант на два, а также вынося общие множители каждого столбца за знак полученных детермннантов, мы можем записать это равенство в виде дсус ди ддс ди д)с дссса ди ди д4с дйв ди ди дРа дсс дРа ди даРс + !~М дя,дРл а д(с)с, Рс) 'Ка д'Ра 1 д(и, и) а:и' дс)сдул с ддс дРя ди ди дя! дРа до ди дРс; ди дРа де дРс з д (4 Рс) ~,а даРа ди д (и, о) аа) дРсдРь дРс до са При наждом фиксированном сс правая часть этого равенства может быть записана в виде одного детерминанта, в котором первый элемент левого столбца равен 1 даР дРс ~з даР дя д дР, дРсдРв ди + а~и' д4сдРсс ди ди дРсс' с Аналогично второй элемент левого столбца этого детерминанта будет равен Но первая из сумм правой части этого равенства, очевидно, равна нулю, так как при перемене местами индексов с и й столбцы детерминантов этой суммы меняются местами, в то время как эта сумма не должна зависеть от порядка написания индексов с и й.
Вместо этой суммы мы можем поставить любую другую, имеющую такую же структуру и поэтому также равную нулю. Так, напрсиер, мы можем написать: (гл. 8 клноничвсйив пвеоввазоваш1я Но согласно (8.1! Ь) дря — =Ф; дрл и следовательно, д()а ди ди дР в ди ~ д(ди р~) д(и, и) дрв ди что и доказывает теорему Пуанкаре. Аналогичным способом, хотя и более сложно, можно доказать, гго интеграл Л = Щ ~ ~.
дд;Ир,ддлдрл (8.38) ,Г„=.~...~ г(д,...г(д„г(р, пр,г (8.37) В этом инварианте интегрирование совершается по произвольной области фазового пространства, и поэтому инвариантность интеграла 1„ эквивалентна утверждению, что объем любой части фазового пространства не изменяется при канонических преобразованиях.
Как мы покажем в дальнейшем, отсюда следует, что этот объем не изменяется со временем. ф 8.4. Скобки Лагранжа и скобки Пуассона как канонические инварианты. Условие инвариантности суммы якобианов (8.34) может быть записано в виде Каждая часть этого равенства имеет вид так называемых скобок Лагранжа.
Под скобками Лагранжа относительно переменных и и о понимается сумма (8. 39) Равенство (8.38) показывает, что скобки Лагранжа представляют собой инвариант канонических преобразований. Поэтому не существенно, какая именно система канонических переменных применяется также является инвариантом канонического преобразования. (5 здесь означает произвольную четырехмерную поверхность фазового пространства.) Продолжая так дальше, можно получить целую последовательность интегральных инвариантов, последний из которых будет иметь вид в 8.4) оковки ллгглпжл и оковки пглссонл 273 при вычислении этих скобок.
Это дайт нам право опускать индексы д, р, и поэтому в дальнейшем мы будем писать скобки Лагранжа в виде )и, тг). Заметим попутно, что (и, о,' = — )о, и). (8.40) Параметры и и и являются координатами точек некоторого двумерного многообразия в фазовом пространстве. Возьмем в качестве такого многообразия плоскость дауд и вычислим скобку Лагранжа )дп гуу). При этом можно, конечно, пользоваться любой системой канонйческих переменных, например переменными д, р, которые, очевидно, наиболее удобны. Тогда скобка 1ун 4уу) примет вид л Но так как величины д и р являются независимыми, то — =0= — ' дрв дрл ддг д!у.
и, следовательно, о ~г)у 1УЛ = ". Точно так же доказывается и равенство (8.41а) )рп р,) =О. (8.4!Ь) Пусть теперь и = гу; и и =р . Тогда скобка Лагранжа будет иметь вид причЕм так как д ул дрл др дуг то второй член разности, стоящей в скобках, обращается в нуль.
Однако первый член этой разности будет отличен от нуля, так как дрл . дал Поэтому рассматриваемая скобка Лагранжа принимает вид гуа Руу = л,г еда""л! =Епр (8.41с) Равенства (8.4!), очевидно, справедливы для любой системы кано- нических переменных. Фигурирующие в них скобки часто называют фундаментальными енобналш Лагранжа.
[гл. 8 274 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Более удобными являются так называемые скобки ттуасгона, которые определяются следующим образом: А (8.42) причем легко видеть, что (8.43) [и, о[ = — [ЕЧ и[. Между скобками Лагранжа и скобками Пуассона существует определанная связь, которую мы докажем, не опираясь на физический смысл входящих в них величин. Эта связь выражается следующей теоремой: если и,, и„..., иеи суть независимые функции переменных (ты ..., д„, р„..., р„, то справедливо равенство ~~ [иы а;[ [аи и [ = ец а). т=т (8.44) Зи в в за А г дзтз ди диу диз 'т х~ — — ' — — ' — [.
тдда, даа, дды дРа,)' Перемножая написанные здесь скобки, мы получаем четыре суммы, первая из которых равна и зп ~" —; — Х— -з дрх диу тат даь дит зад дрь ди дйа ди, дуьа .24 диг дав, йм' диг дзта, дч,а А, ы ь, ~и жз дзть диу, кч диу дрл Л й ди; дра, '"' зьй дра дит ' А, ж Ф а) Из равенства (8.42) вилно, что скобки Пуассона являются как бы собратными величинами» скобок Лагранжа. Равенство (8.44) придает этому утверждению более точный смысл. Еслв символ (ии ат) рассматривать как элемент(.а квадратной матрицы (., а символ [ив и.[ — как элемент РЫ квадратной матрйцы Р (каждая из которых имеет порядок 2а), то равенство (8.44) можно будет записать в аиде ЕР =1 или Р =( Доказательство этого тождества проводится непосредственно, однако оно несколько громоздко.
Согласно равенствам (8.39) и (8.42) сумма (8.44) может быть записана следующим образом: й 8.41 СКОБКИ ЛАГРАНЖА И СКОБКИ ПУАССОИА 276 Точно такой же вид будет иметь и последняя из этих четырЕх сумм, по вместо рь в ней будет стоять д„. Поэтому, складывая эти суммы, получаем п ) -и 7 ди2 дрл ди, дда 'ь ди.
и 2: дра ди, ддл дьь; ь' ди, ' А (8.46) Легко видеть, что каждая из двух оставшихся сумм равна нулю. Действительно, одна из ннх сводится к сумме членов, содержащих общий множитель у ддьь ди, ддь а вторая — к сумме, содержащей общий множитель дрь ддиь Но так как эти множители равны нулю, то н рассматриваемые суммы будут обращаться в нуль. Поэтому сумма (8.44) будет равна сумме (8.46), и, следовательно, можно написать 2и ди . (ип и;) ( и и.) = д — — — егр и и (,Ом Р~) + ~~~~~ (д2, дь) (дм Р~! Но для всех канонических переменных Грн дч) = — 8и и .дм д,.) =О, поэтому будем иметь (РО Р,) =О, (8.47а) Таким образом, рассматриваемая теорема доказана. Заметим, что частная система переменных д, р была в наших рассуждениях совершенно несущественной и ей роль могла бы играть любая система 2и независимых переменных Я, Р, Поэтому равенство (8.44) сохраняется при всех преобразованиях переменных, даже если они не являются каноническими.
Этим можно воспользоваться для того, чтобы вычислить некоторые скобки Пуассона, не делая оговорок относительно частного вида системы переменных. Возьмем в качестве йезависимых функций иг величины д,, ..., д„, Р,. .. Ри и положим и; = дР а ил = Рьи Так как пеРеменные д, и ру различны, то равенство (8.44) принимает вид [гл.
8 276 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ что должно также иметь место для всех канонических переменных. Лналогичным образом получим (8.47Ь) [Чг Чд! = О. Положии теперь и;=Ч; и иЗ=ЧР Тогда сумма (8.44) примет вид . хл [Ч~ Чз! [Чг Ч1[+хл [Рг Ч~[ [Рз Чу! = 8гу Отсюда получаем хл ест [ри Чу! = "ц ~Ч илн (8.47с) [Ч' Ру! = 81Р с~ с др дб др д61 [Р, О! =~~,~ — — — — ). ч Р— лй~ [дч др др дч [ (8.48) Рассматривая Ч; и р, как функции новых пер менных ЯА и Ра, можно уравнение (8.48) зайисать в виде ,,а или после преобразования [Р 6[ел=~~(дО [Р М,,я+др [Р Ра[,,) (~А~) А Равенства (8.47) дают нам значения фундаментальных скобол Пуассона [аналогично равенствам (8.41) для скобок Лагранжа!.
Эти равенства было бы проще доказывать с помощью непосредственного вычисления, подобно тому как это делалось для скобок Лагранжа. Но весь смысл приведенного доказательства состоит в том, что вычисление фундаментальных скобок Пуассона получается здесь без ссылок на какую-либо частную систему канонических переменных, В атом состоит преимущество рассмотренного доказательства, из которого следует, что скобки (8.47) являются каноническими инвариантами. Равенства (8.47) позволяют показать, что не только фундаментальные, но и любые скобки Пуассона не зависят от системы применяющихся канонических переменных. Пусть Р и 0 будут две произвольные функции канонических переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
