Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 59
Текст из файла (страница 59)
функция А'Я, Р) такова же, как функция А(Я, Р), и аналогично для других составляющих. Примером такой функции Г может служить вектор кинетического момента системы, так как в этом случае Ем = .~~ (утры а'реа) ь а после поворота Ех = ~Р (УаР;а — ЕРзт>. Следовательно, Ех таким же образом зависит от Е) и Р, как Е . от д и р. Лля векторных функций, обладающих этим свойством, и только для них, уравнения (8.78) принимают вид: А(д, р) =- А(О, Р)+ В((~, Р) опд В(д, р) = В(~, Р) — А(~, Р) г(ч, с(7, р>=с(д, Р). Но с точностью до величин первого порядка малости член ВЯ, Р)г(8 можно заменить членом В (д, р) дО.
Поэтому изменения (в смысле(8.74)3 $ 8.7] СКОЬКИ ПУАССОНА И КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ 287 составляющих вектора Р при повороте вокруг оси г на угол Ю будут равны: А(Я, Р) — АЦ, и) = — 8А = — Вгй, В ((), Р) — В ~, р) = 8В = А г78 С Я, Р) — С (д, и) = 8С = О. Эти равенства совпадают с теми, которые определяют изменения составляющих неподвижного вектора при повороте координатных осей на угол — Л вокруг оси х [уравнение (4.94)[.
В данном случае будем иметь Поэтому изменение Р при бесконечно малом повороте вокруг произвольной оси будет равно 8Р = м си[ Х Г. (8.7б) Отсюда согласно (8.73) получаем [Р, Е та[=и ХГ. (8,77) Следует заметить, что хотя равенство (8.77) справедливо лишь для ограниченного класса векторных функций, однако большинство векторных величин, встречающихся в задачах механики, принадлежит к этому классу. К их числу принадлежит, например, любая функция Г(г, р), которая не содержит фиксированного вектора, не связанного с системой.
В обозначениях диадного исчисления ранен- ство (8.77) может быть представлено в виде [Р, Е]=] Х~, (8.78) где ] — единичная диада й+О+мм. [Равенство (8.77) легко получается нз равенства (8.78) посредством скалярного умножения обеих частей его на тт.] Хорошо известный частный случай рассматриваемого соотношения получается при гт=-Е. В этом случае будем иметь [Е, Е и]= — МХЕ или (8.79) [Е, Е] =1 ХЕ. Из равенства (8.79), в частности, следует, что [Е, Е„] =(у ХЕ) =Е,. Поэтому для скалярных составляющих правой части (8.79) будем иметь [Ен Е.] = ЕА (с', 7', л — в циклическом порядке). (8.80) Из равенств (8,79) и (8.80) можно получить ряд интересных выводов.
Пусть, например, Е (д, р) и Ея(д, р) будут первыми интегралами [гл. 8 288 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ уравнений движения. Тогда скобки [Е„, гт'[ и [Ев, Н[ будут равны нулю, и согласно теореме Пуассона [Е, Е„[ = Е. будет величиной постоянной. Следовательно, если две составляющие кинетического момента остаются во время движения неизменными [при любых начальных условиях), то полный вектор кинетического момента также будет неизменным. Более важное значение имеет соотношение [Ет.
Е та[=0, [8. 81) которое легко доказать, если учесть, что левая часть его может быть записана в виде [Е Е, Е а[=-2Е [Е, Е и[. Согласно [8.?9) выражение (8.81) примет вид 2Е ° (гх Х Е) =- О. Применяя то же доказательство к любому вектору, удовлетворяющему равенству (8.77), мы получим для него аналогичное соотношение [г"т, Е и[=0. [8.82) Вспомним теперь, что если р; и ру — два любых канонических импульса, то согласно [8.41Ь) скобка [)»1, р [ должна быть тождественно равна нулю. г[о согласно (8.80) скобки Пуассона [Еы Е.[ при у'Ф 1 будут отличны от нуля. Следовательно, если одна из составляющих кинетического момента вдоль неподвижных осей выбрана в качестве канонического импульса, то другая составляющая не может одновременно с ней быть каноническим импульсом.
В противоположность этолгу из (8.81) видно, что величина вектора Е и любая еа компонента могут одновременно быть каноническими импульсами *). ь) Мы уже отмечали, что в квантовой механике аналогом скобки Пуассона является кваитовомеханический коммутатор. Поэтому многие потоження квантовой механики можно формально получить нз соответствующих положений классической механики, если символ [ [ читать как акоммутатор» (не считая постоянного множителя). Это относится и к результатам данного параграфа, которые имеют близкие квантовые аналогии. Иаприл~ер, утвер кдению, что две составляющие Е не могут одновременно быть каноническими импульсами, соответствует известное положение о том, что Ез и Е не могут одновременно быть собственными значениями.
Однако Еэ и Ег могут быль квантованы одновременно. Большей частью этн соотношения гораздо лучше известны в их квантовой форме, чем в форме классических теорем. Таь, например, одна из самых ранних ссылок на скобки Пуассона в связи с кинетическим моментом появилась лишь в 1930 г. (в монографии Борн а и И орд а н а тЭлементарная квантовая механика»).
Точно так же равенство (8.78), определяющее изменение вектор-функции при вращении, уже давно применялось в квантовой меха~ике (см. С оп поп апб Я И огг1еу, Тйе Тнеогу о1 А1ош(с Ярес1га, стр. 59), но лишь в постеднее время было получено в ялассической механике (насколько известно автору, это было сделано недавно профессором Швннгером). % 8.8! твонемА лнунилля лг ! ' !+ д~ ' ЛВ дВ (8.83) где первое слагаемое учитывает неявную зависимость В от 1, а второе — явную зависимость, ф 8.8.
Теорема Лиувилля. В качестве последнего примера применения скобок Пуассона остановимся коротко на так называемой теореме Лиувилля, являющейся основной теоремой статистической механики. Хотя законы классической механики позволяют полностью определить движение системы по известным начальным условиям, однако дтя сложных систем это часто оказывается практически невозможным. Было бы, например, совершенно безнадвжньщ пытаться вычислить движение каждой молекулы одного моля газа, так как число этих молекул превышает 1О'а. Кроме того, начальные условия такой системы нам никогда не бывают вполне известны.
Мы можем, например, установить, что при 1 = ~ энергия этой массы газа имеет определенное значение, но каковы начальные координаты и скорости каждой молекулы, мы, конечно, сказать не можем. Поэтому статистическая механика не ищет точного решения задачи о движении подобных систем, а ставит перед собой другую цель. Она состоит в том, чтобы дать метод вычисления некоторых средних величин, характеризующих движение большого числа одинаковых систем. Эти величины получаются путем вычисления средних значений по всем системам ансалгбля. Каждый член такого ансамбля может, конечно, характеризоваться любыми начальными условиями, что согласуется с той неполной информацией, которую мы имеем об этом ансамбле. Так как каждая такая система изображается некоторой точкой в фазовом пространстве, то ансамблю этих систем в фазовом пространстве будет соответствовать некоторое множество точек.
В теореме Лиувилля рассматривается плотность этого множества в какой- либо из его точек и доказывается, что при движении систем, составляющих ансамбль, она не изменяется. Будем обозначать эту плотность через В. Она будет изменяться со временем вследствие двух причин. Дело в том, что В есть плотность того множества изображающих точек, которые лежат в окрестности точки, изображающей данную систему ансамбля. Поэтому здесь будет неявная зависимость В от 1, связанная с тем, что изображающая точка движется в фазовом пространстве и поэтому координаты ее (дп рч) изменяются со временем. Кроме того, может иметь место и явная зависимость В от 1, так как плотность может изменяться даже в том случае, когда она вычисляется для данной фиксированной точки фазового пространства.
Поэтому полную производную В по 1, учитывающую изменение В вследствие обоих факторов, можно записать согласно формуле (8.58). Таким образом, будем иметь ~гл. 8~ 290 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОВРАЗОВАНИЯ также должна быть постоянной, что можно записать в виде равенства '~~~ =О. Полученный результат и составляет содержание теоремы Лиувилля, Согласно (8.83) ей можно записать в виде д — = — (О, ге'). дг (8.84) Рассмотрим теперь множество точек, изображающих данный ансамбль при с=О, и выделим в фазовом пространстве бесконечно малый объем Ж~, ограничивающий некоторую систему таких точек.
С течением времени эти точки будут изменять свой положение в фазовом пространстве, и рассматриваемый объвм примет другую форму (рис. 62). Ясно, что число изображающих точек внутри этого объвма будет все время постоянным, так как ни одна из них никогда не сможет выйти из него наружу. В самом деле, если бы какая-нибудь из них 'Ргбергбо прошла через границу этого объйма, то она заняла бы то положение, которое имеет в этот момент какая-то изображаюшая точка на его поверхности. Но так как движение каждой изобрамтр ра,,~ жаюшей точки однозначно определяется ев положением в фазовом пространстве в заданный момент времени, то это означало бы, что две указанных точки вышли из этого объзма Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
