Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Тогда будем иметь 277 9 8.4! скОБки ЛАГРАКЖА и сковки пулссОИА Равенство (8,49) можно использовать для вычисления скобок Пуассона, содержащихся под знаком суммы, Если заменить в этом РавенСтве Р на [,ю а 0 на Р, то оио пРимет вид [ЯА, Р! = ~~ —. [ЯА 1~~[+ 5 [ОА, Р'! (8.50) причйм мы опустили индексы у скобок Пуассона, стоящих в правой части этого равенства, так как они являются фундаментальными и, как было показано, являются каноническими инвариантами. В соответствии с формулами (8.47) равенство (8.50) принимает внд 'ь1 др Ю' ! в А~я др 3)А ИЛИ др [Р О[= —— А — др (8.51) др др [РА р[,„,=~, д() [Р Ю+ ~~ др [Р., Рд! откуда [Г, РА! = —.
др дь[А ' (8.52) Подставляя (8.51) и (8 52) в (8.49), получаем Таким образом, инварнантность скобок Пуассона доказана. Поэтому в дальнейшем мы будем опускать индексы у этих скобок. Остановимся теперь на некоторых простых свойствах скобок Пуассона, которыми нам придатся в дальнейшем пользоваться. Прежде всего заметим, что из определения (8.43) следует равенство [и, и! =О. (8. 53) Далее, если с есть величина, не зависящая от р и д, то будем иметь [и, с! =О.
(8. 54) Полученное равенство является полезным соотношением, инвариантным относительно канонических преобразований. Лналогичным способом вычисляется другая скобка Пуассона. Для нее будем иметь 278 [гл. 8 канонические пгвозгазовання ф 8 5. Скобки Пуассона н уравнения движения. Если в равенствах (8.51) и (8.52) положить Г равным гамильтониану Н, то они примут вид: д дН (8.5 7 а) дрг [рн Н! = — д, =уо дН дог (8. 57 5) Эти равенства представляют канонические уравнения движения, написанные с помощью скобок Пуассона.
Они являются частным случаем равенств, выражающих полную производную некоторой функции и(д, р, 1) по времени. Действительно, какова бы ни была эта функция, мы будем иметь Но с помощью уравнений гамильтона производные д; и р; можно выразить через гамильтониан; тогда получим или ии ди — = [и, Н[+ —. дт ' (8.58) Равенства (8.57), очевидно, получаются из этого соотношения при и = д; и и = рп Кроме того, если положить здесь а = Н, то будем иметь дН дН дг дГ что совпадает с равенством (7.19), полученным ранее.
*) Заметим, что в квантовой механике скобкам Пуассона соответствует 2к) произведение — ка иоммугяатор двух величин: л 2кг [и, о! -э — (ио — ои) л (Л вЂ” постоянная Планка). Легко проверять, что соотношения (8.53) — (8.5б) справедливы также в для коммутаторов.
Наконец, из элементарных правил дифференцирования вытекают равенства: [и ! о, то! = [и, ш[+ [ть то! (8.55) и [и, ото! = [и, о[то+о!и, то! *). (8 56) 9 8.5] скогки пглссонл и квавнвния движения 279 Если и не содержит явно 1 (а мы ограничимся рассмотрением только таких случаев), то л'и — = [и, Н]. л'г Поэтому, если [и, Н1 =О, то и и(д, р) будет величиной постоянной.
Верно и обратное: если функция и(7, р) сохраняет своа значение, то [и, Н] = О, Таким образом, мы получаем критерии для того, чтобы судить о том, является ли и 57, р) константой движения. Если и(7, р)=сопят и о(д, р)=сонэ[ суть два первых интеграла движения, то можно с помощью так называемого тождества Якоба образовать еще один такой интеграл. Согласно этому тождеству, если и, о и ю — три любые функции 7 и р, то [и, [о, ю]]+ [и, [ю, и]]+ [ю, [а, о]1= О.
(8.59) Для доказательства этого тождества рассмотрим два первых слагаемых суммы (8.59), которые лщжно записать в виде [и, [и, ю]1 — [о, [и, тп[]. (8.60) Покажем, что написанное выражение не содержит вторых производных от ю. Скобку Пуассона [о, и] можно рассматривать как линейный дифференциальный оператор Е)„действующий на функцию ю. Этот оператор можно записать в виде или короче 0т= та; г=1 С помощью таких операторов выражение (8.60) можно записать в виде Чг ча] ч;) Отсюда видно, что единственными членами этого выражения, содержащими вторые производные от тп, являются следующие: да ~Л4 (к™ дпгд%~„. "' ' д$л дчг)' Но эта сумма тождественно равна нулю, и, следовательно, разность (8.60) содержит только первые производные от ю. Поэтому можно написать [л, [~, твИ вЂ” [~, [и, М]1=,~~(Аа д ] — Вад ) ' (8.61) [гл.
8 280 канонические пгеоввазовлния где А„и Вь — выражения, содержащие и и о, но не содержащие ю. Если положить та =р;(что не повлияет на А и В), то равенство (8.61) примет вид [и, [о, р;Ц вЂ” [о, [и, рЦ[ = А; или согласно (8.52) Поэтому окончательно будем иметь А; = — [и, о]. д дд~ Положив затем те=оп точно так же найдем В =— д [и, и] др, и поэтому равенство (8.61) можно записать в виде [и, [о, еаЦ+ [о, [тв, иЦ = — ~„[ ' — — — * ) = [[и, о]св], жл гд[и, и) ды д[и, в) ды'1 .Л> [, дда дрь дрь дал ) что эквивалентно тождеству Якоби в форме (8.59). Пусть теперь равенства и(д, р) = сопш и о(д, р) = сопз1 будут первыми интегралами движения. Положив в (8.59) ш = Н, мы увидим, что два первых члена этого тождества обратятся в нуль, и оно примет вид [Н, [и, пЦ =О.
Следовательно, если и = сопз1 и о = сопз1 — два первых интеграла движения, то [и, о[ = сонэ[ также будет первым интегралом движенияя). Такич путаи иногда удаатся получить целую серию первых интегралов. Однако часто они оказываются тривиальными функциями от уже полученных функций и поэтому не имеют значения. й 8.6. Бесконечно малые канонические преобразования. Константы движения и свойства симметрии. В связи с дальнейшим рассмотрением скобок Пуассона мы введем понятие бесконечно малых канонических преобразований. Как и в случае бесконечно малых поворотов, это будут такие преобразования, при которых переменные д, р изменяются на бесконечно малые величины. (Поэтому все расчеты мы будем производить лишь с точностью ао членов первого порядка малости относительно этих величин.) Уравнения такого преобразования можно записать в виде: Й~ = ч"(+ еЧг (8.62а) Рз = рз — [- оро (8.625) :) Этот результат виогда называют теоремой Пуассона.
8.6] БескОнечнО мллые кАнОнические НРеоБРАзовАния 28! где од; и др; †бесконеч малые приращения координат и импульсов (а не виртуальные изменения этих величин). Ясно, что производящая функция такого преобразовании будет бесконечно мало отличаться от функции (8.18), осуществляющей тождественное преобразование. Поэтому производящую функцию рассматриваемого преобразования можно записать в виде Р = ~~~~ д,Рл+гО(д, Р), (8. 63) где г — бесконечно малый параметр преобразования.
Тогда согласно равенствам (8.1!а) будем иметь дре дл> дд; дл > л =р =Р +г— ИЛИ д0 Р— р =ор = — г —. »= л= '- д дл (8.64а) Аналогично из равенств (8.11Ь) получим дрг, дл> дР; д' дР~ ' Второй член этой суммы является величиной первого порядка малости относительно г.
Но так как Р; бесконечно пало отличается от р;, то с точностью до величин первого порядка малости можно 0(д, Р) дл> до> заменить на 0(д, р), а — — на — . Поэтому последнее равенство дрл др; ' можно записать в виде до одл =" г — . др; ' (8.64Ь) дд; = д! — = д. Ж! = А>до до д л >' ор; = — йг — = р; а>г = дрг. дН (8. 65Ь) ддл Эти равенства показывают, что координаты и импульсы изменяются при этом таким образом, что вместо значений д(Г) и р(г) они приобретают значения, равные д(!+йг) и р(!+-дт). Следовательно, изменение состояния системы за время а>! можно получить посредством Хотя, строго говоря, термин «производящая функция» применим лишь к функции Р, однако его обычно применяют и к функции 6.
А!ы также будем этому следовать. Интересным примером бесконечно малого канонического преобразования является такое преобразование, при котором 0=1>'(д, р), а г есть бесконечно малый интервал времени дт. Тогда для од, и ор; будем иметьд 282 (гл. 8 клноничвскив пгвовглзовлния бесконечно малого канонического преобразования, осуществляемого гамильтонианом Н. Отсюда след>ет, что изменение состояния системы за время от г до 1 можно получить с помощью последовательности бесконечно малых канонических преобразований. Но так как два последовательных канонических преобразования эквивалентны некоторому одному каноническому преобразованию, то переход от у(1,), р(1,) к о(1), р(1) можно получить с помощью канонического преобразования, зависящего от (.
Таким образом, движение механической системы можно рассматривать как непрерывно совершающееся каноническое преобразование, производящей функцией которого в каждый момент времени является гамильтониан. Ясно, что существует и обратное каноническое преобразование, превращающее координаты д(Г) и импульсы п(1) в постоянные величины д(Г«) и Р((,). ПолУчение такого пРеобРазованиЯ, очевидно, эквивалентно полному решению задачи о движении данной системы. В начале этой главы указывалось, что решение задачи о движении системы можно свести к нахождению такого канонического преобразования, при котором все импульсы получаются постоянными. Сейчас мы видим, что, кроме того, возможно такое каноническое преобразование, при котором постоянными величинами становятся не только импульсы, но и координаты.
В следующей главе мы рассмотрим каждую из этих возможностей и покажем, как таким путЕм можно получить формальное решение каждой механической задачи. Важную связь между скобками Пуассона и бесконечно малыми каноническими преобразованиями можно получить, рассматривая изменение некоторой функции и(д, р) в результате такого преобразования. Здесь необходимо об.ьяснить, что мы понимаем под словом «изменение» функции. Раньше, когда мы «преобразовывали» величину и(д, р) к новым переменным, мы вместо л и р подставляли в и выражения д(О, Р) и р(О, Р), Таким путем мы получали зависимость а от новых переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
