Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Тогда у~2Т будет равняться скорости, с которой изображающая точка движется вдоль своей траектории в пространстве конфигураций. Если на систему не действуют силы, и поэтому Т постоянно, то будет постоянной н скорость движения этой точки, нз чего можно сделать вывод, что она будет двигаться вдоль кривой наименьшей длины, т.
е, вдоль одной из геодезических линий пространства конфигураций. Следует подчеркнуть, по в принципе наименьшего действия в форме Якоби рассматривается траектория изобра>кающей точки, а не закон ей движения по этой траектории. Это видно из того, что уравнение (7.44) содержит элемент траектории др и не содеРжит вРемени >, так как Н = сопзц а У зависит только от >)н Поэтому из принципа наименьшего действия в форме Якоби можно получить дифференциальные уравнения траектории изображающей точки.
Это лучше всего сделать посретством введения какого-либо параметра, например расстояния вдоль траектории. Тогда уравнение (7.44) можно будет записать в виде 0', СА (7.45) где Π— указанный параметр (его не следует смешивать со временем 1; он должен быть геометрической характеристикой, определяющей положение точки на траектории). Если выбрать его так, чтобы он не изменялся при смещениях точек траектории во время б-вариации, то по отношению к нему б-вариация будет подобна О-вариации, Тогда из уравнения (7.45) можно будет получить дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа, определяю.цие траекторию изображающей точки, Если производные — обозначить через >7., то >Г>7> Р ла 4' этн уравнения будут иметь вид >Г Ю ДГ.
— — — — =О, Лб (г>д'/ дЧ> (7. 46) где Г(дн >)н О, О) — функция, стоящая под знаком интеграла (7.45). Если рассматриваемая система состоит всего из одной точки, положение которой определяется координатами (>о то уравнения (7.46) будут определять ее траекторию в собственном смысле этого слова (а не траекторию изображающей точки в пространстве конфигураций). Координать> д; могут быть при этом и не декартовыми, а движение точки может быть ограничено связями, заставляющими ев 1гл. 7) РРАвнения РАмильтонА двигаться не в трЕх измерениях, а в двух, т. е.
по некоторой поверхности. Тогда еЕ положение на этой поверхности будет определяться координатами >7> и !7Я, а йр будет, очевидно, пропорционально элементу длины еЕ траектории. Уравнения (7.46) будут тогда определять траенторию этой точки на поверхности, по которой она движется. В том частном случае, когда на точку не действуют никакие активные силы, еЕ траекторией будет одна из геодезических линий этой поверхности (как и в случае траектории в пространстве конфигураций). Если такой поверхностью будет, например, сфера, то точка будет двигаться по большому кругу, так как он является геодезической линией сферы.
Число подобных вариационных принципов классической механики весьма велико. Так, например, из принципа наименьшего действия непосредственно вытекает принцип Герца наименьшей кривизны, Согласно этому принципу точка, на которую не действуют активные силы, движется вдоль траектории наименьшей кривизны, что можно получить непосредственно из принципа Якоби, так как согласно этому принципу траекторией такой точки должна быть геодезическая линия, являя>щаяся, как известно, линией наименьшей кривизны.
Мы уи<е говорили, что варнационные принципы не вносят в механику нового физического содержания и редко упрощают практическое решение той или иной механической задачи. Их главное достоинство состоит в том, что они служат отправными точками новых теоретических концепций в классической механике. В этом отношении особенно плодотворен принцип Гамильтона, а также принцип наименьшего действия, хотя и не в такой степени. Что касается других принципов, то они имеют заметно меньшее применение (если не считать бессодержательных телеологических теорий, которые иногда строятся на их основе). Поэтому рассмотрение этих принципов представляется нам нецелесообразным.
ЗАДАЧИ !. Напишите уравнения Гвмнльтопз для двух материальных точек, сила взаимодействия которых направлена по прямой, соединяющей этн точки. Н!сключнте циклические переменные н сведите задачу к квадратурам. 2. Вычислите гамнльтоннан системы, описанной в задаче 5 главы 5, н получите для неЕ уравнении Гамильтона. 3. Вычислите гаь>нльтоннлп тяжелого снмметрвчного волчка с одной неподвнжвой точкой н напишите для него уравнения Гамильтона.
Сравните нх с уравнениями движения, рассмотренными в э 5лб Покажите, как свести решение этой заднчн к квадратурам. 4. Точка находится в ннерцнальной системе хуг н на нее действует консервлтнвная сила, зависящая только от л н г = у'хз+ уз. Вычислите ее гамнльтоннэн, приняв в качестве обобщенных координат декартовы координаты втой точки относнтельно системы, равномерно вращающейся вокруг г37 некоыьндукыдг! литк!'лтггл оси л с угловой скоРостью ш. Каков физический смысл этого гамнльтоннана? Является ли он константой движения? 5. В задаче 4 главы 1 рассматривался злектродинамический потенциал, зависящий от скорости.
Каков гамильтониан частицы, движущейся под действием такого потеациала? б. В главе б указывалось, что первый член ковариавтного релятивистского лагранжиана (6.57) является в некоторой степени произвольным. Лругая возможная форма лагранкнана получается, если преобразовать принцип Гамильтона (бА3) (перейдя от времени г' к местному времени т, являющемуся инварнантом Лоренца) и использовать новую подынтегральную функцию в качестве уц Получить таким путем выражение для ковариантного гамильтона частицы, находящейся в электромагнитном поле. Показать, что значение этого гамилыоннана равно нулю. (При получении уравнений дан!кении значение гамильтоииана, конечно, не существенно, так как пас интересует только его функциональная зависимость от координат и импульсов.) 7. Показать, что если ковариантный лагрзнясиан получается по способу, указанному в предыдущей задаче, то уравнение Гамильтона для — сводится 4'ч к уравнению (7.19).
Рекомендуемая литература Р. 3. Е р з 1 е ! п, Тех!Ьоо1с о1 ТЬегшодупаш)сы В Я 33 и 34 этого учебника имеюгся примеры получения новых термодннамических функций с помощью преобразования Лежандра. Е. Т. % Ь11га !се г, Апа!71!са1 0упаш!сз. Вариационные принципы классической механики лшжио связать с вопросзми, которые на первый взгляд могут показаться далекими от них. Например, имеется тесная связь принципа Гамильтона с общей теорией дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных.
Некоторые из таких вопросов мы рассмотрим в следующих главах, однако среди них есть немало таких, которые рассмагриаагь в нашей кни~е нецелесообразно. К их числу относится вопрос о тон, является лн экстремум интеграла ~ й нт максимумом или минимумом, а также вопросы, связанные с рассмотрением многих разновидностей вариационных принципов. Читатель, интересующийся такимн вопросами, найдет обширную литературу.
В список литературы, которую мы здесь указываем, включены лишь немногие пз таких квит, среди которых книга Уиттекера является одной из основных. К вопросам, рассмотренным в настоящей главе, относятся глава !Х и два первых параграфа главы Х цитируемой книги. А. О. % е Ь згег, Рупаш!сз о1 Рагпс1ек В главе !Тг этой книги содержится пространное н часто недостаточво последовательное изложение вариационных принципов и их выводов, которое сопровождается подробно разобранными примеранн.
Книга даст ясное представление об основных направлениях классической механики в начале этого столетия. Ь. Ыо ге( Ь е ! 1п, О!е Рппх!Ре бег Рупатй (НапбЬнс(т бег РЬуз!к, т. Ъ'). Эта статья содержит достаточно полное изложение различных интегральных и дифференциальных принципов, могущих быть положенными в основу классической механики.
Лве первые части следующей статьи этого тома, написанной Нордхеймом и Фюзоы, представляют легко читаемое введение в теорию уравнений Гамильтона. МРАВнвнин ГАмильуонА С. 3 с й а егег, йпе Рппт1ре бег ГЗупаппйы Эта небольшая книга объймом всего в 76 стр. содержит полное изложение различных принципов механики, в том числе вариационных. (К сожалению, автор пользуется совершенно неупотребительными обозначениями, применяя для лаграпжнана символ О, а для гамильтониана — символ ГЦ й. Е.
Е! п ба а у апй Н. Маг не п а н, ронпйайопз ОГ Рйуз!сз. Принцип Гамильтона и принцип наименьшего действия формулируется так, что может создаться впечатление, будто механические системы сзнають ту конечную конфигурацию, к которой онн движутся. Хотя зто, разумеется, неверно, так как движение системы определяется только начальными условнямн, однако в прошлом на этом основывались различные философские толкования указанных принципов. Этот и аналогичные вопросы рассматриваются в главе 3 цитируемой книги, где указывается литература по данной теме. ГЛАВА 8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ф 8.1.
Уравнения канонических преобразований. Рассмотрим систему, гамильтониан которой является константой движения, а все координаты дз являются циклическими. В этом случае обобщЕнные импульсы р; будут просто постоянными, т. е. будут иметь место равенства а так как рассматриваемый гамильтониан не содержит явно времени и циклических координат, то можно написать Н=Н(аы ..., а~. Поэтому уравнения Гамильтона для дз будут иметь вид дН Д = =-О> =д„=- 'г "ь' (8.1) Г!ри прямом применении уравнений Гамильтона математические трудности решения задач механики обычно существенно не уменьшаются, так как ири этом нам приходится иметь дело с такими же дифференциальными уравнениями, как и в методе Лагранжа.
Преимущества метода Гамильтона заключаются не в его математической ценности, а в том, что он более глубоко проникает в структуру механики, так как равноправность координат и импульсов как независимых переменных предоставляет ббльшую свободу для выбора величин, которые мы принимаем за «координаты» и «имиульсы».
В результате мы приходим к новым, более абстрзктным формам изложения физической сущности механики. Хотя полученные таким путам методы могут оказать некоторую помощь при решении задач механики, однако с современной точки зрения их главная ценность состоит в том, что они играют существенную роль в построении новых теорий. В частности, именно эти абстрактные концепции классической механики были исходными пунктами в построении статистической механики и квантовой теории. Изложению такого рода концепций, получающихся из уравнений Гамильтона, и посвящаются эта и следующая главы. игл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
