Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 49
Текст из файла (страница 49)
13. Частица находится вод действием притягивающей силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Показать, что если учитывать релятивистские эффекты, то движение этой частицы можно считать происходящим по эллипсу, поворачивающемуся в своей плоскости. Вычислить скорость этого вращения для орбиты Меркурия. (Она получаетсн равной около 7" за столетие, что намного меньше, чеч деиствительно наблюдаемая скорость, равная 4(У' за столетие; ее можно получить только с помощью общей теории относительности.) 14. Отправлялсь от уравнения (6.46), вывести следующий релятивистский аналог теоремы о вириалп для движений, ограниченных в пространстве и совершюотцихся со скоростями, не приближающимися сколь угодно близко к с, имеет место равенство Ге+ Т= — ~.
~, где Вэ — лзгранжиан в случае отсутствия внешних сил. Заметим, что ни Ве, нн Т не соответствуют кинетической энергии в нерелятнвпстской механике, но сумма их йэ+ Т играет ту же роль, что и удвоенная кинетическая энергия в нерелятивистской теореме о вирнале [сэг.
уравнение (3,26)[. Рекомендуемая литература Р. В е г я ш а п п, Ап 1пггобпсйоп го гйе тьеогу о1 Ке1а11чйу. Несомненно, это одна из лучших английских книг по методам теории относительности. К сожалению, тензорный аппарат этой книги построен с уче- том нултд общей теории относительности (занимающей вторую половину книги), что часто приводит к пре.кдевременно сложным для специальной тео- рии относительности обозначениям К В. С1п 6 э а у апб Н. Ма ей е п а н, Гоипбат)опэ о1 Рйуэ1сз.
Глава 7 этой книги посвящена главным образом специальной теории относительности. В ней, в частности, рассматриваются некоторые вопросы, подготавливающие создание этой теории, а также физические интерпретации некоторых ее следствий. Четырехмерная концепция развита здесь не очень полно. А)Ь е гг Е)п зге1п, Тйе Меап)пп о1 йе1аг)т)!ув) Книга не является популярной.
Специальной теории относительности здесь посвящено немного более одной трети всего объема, тем ие менее по этой теме здесь содержится очень много различных сиедений. Для чтения этой книги нужна хорошая подготовка по основам электродинамики. к. В е с 1с е г, Тйеог)е бег Е)е1сггглйаг, т. Н. Многие немецкие работы по электродинам~ке содер;кат подробное изло- жение специальной теории относительности. Наилучшая из них, по-видимому, содержится в этом томе Абрагама и Беккера. Книга написана хорошим сти- лем и легко читается.
Хотя главное внимание в этой книге уделяется во- просам злектромагнетизма, однако Релятивистская механика изложена здесь тоже довольно полно. Специальной теории относительности в этой книге посвящается более ста страниц, на которых полностью изложена физическая и математическая сторона предмета, э) Имеется русский перевотт А.
Э й н ш т е й н, Сущность теории относительности, ИЛ, 1966. ГЛАВА 7 УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА В первых двух главах этой книги мы всесторонне рассмотрели уравнения Лагранжа, а позднее- — ряд приложений этих уравнений. В этой главе мы продолжим рззвитие формальных методов механики и получим уравнения движения, известные под названием уравнений Гамильтона. Правда, к физической стороне вопроса ничего не прибавится, однако мы получим новый (более сильный) метод исследования механических систем.
В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваемые системы являются голономными, а действуюшие на них силы обладают потенциалами, зависяшими от положения или от скорости (см. З 1.5). ф 7.1. Преобразования Лежандра и уравнения Гамильтона. Система с и степенями свободы описывается посредством следуюшнх и уравнений Лагранжа: (7. 1) Так как они являются уравнениями второго порядка, то для однозначного определения движения системы необходимо задать начальные значения всех и координат ал и всех и производных ип В этом смысле координаты а, и скорости д; образуют полную систему 2п независимых переменных, необходимых для описания движения системы.
Поэтому метод Лагранжа (в нерелятивистской механике) может рассматриваться как метод описания системы посредством обобщенных координат и скоростей. В методе, к которому л~ы сейчас переходим, независимыми переложенными будут обобщеннлле координаты а; и обобщенные импульсы рг, определяемые равенствами д7. (ан а,, г) Р = (7.2) (см. равенства (2.41)Ь Наилучший способ перехода от переменных (и, д, 1) к переменным (и, р, () состоит в применении математической процедуры, известной под названием преобразования Лежандра 3 70) пгвовглзовлния лвжлндгл и звлвнвння гамильтона 237 (которое применяется как раз для таких случаев изменения переменных).
Рассмотрим какую-либо функцию 7(х, у). Дифференциал ей имеет вид д7 = — и дх -+ о ду, (7,3) где д~ д1 дх' ду (7.4) (7.6) Тогда дифференциал ее будет равен дд= ду — и дх — х ди или согласно (7.3) дд = о г7у — х г(и, где величины х и о являются теперь функциями переменных и и у. Они определяются равенствами х= — — ", (7.6) дч ' дд ду которые подобны по форме равенствам (7.4). Преобразование Лежандра, построенное указанным способом, часто применяется в термодинамике. Например, энтальпия Л' есть функция энтропии 5 и давления Р, причйм дХ дХ д5 ' дР—,= Т, — =-К, и поэтому г(Х= Тг75 +-Чг7Р, где Т вЂ” температура, а ьг — объвм.
Понятие энтальпии оказывается удобным при рассмотрении изэнтропических и изобарических процессов. В этом случае целесообразно пользоваться термодинамической функцией независимых переменных Т и Р, Если с этой целью воспользоватьса преобразованием Лежандра, то такая функция будет иметь вид 0 = Х вЂ” Т5 а дифференциал ее будет равен а'0 = — 5 г7Т+ )гг7Р.
(7.7) Функция 0 известна под названием функции Гиббса. ПерейдЕм теперь переменным и, у к дифференциалам равенством от независимых переменных х,у к независимым и, следовательно, от дифференциалов пх, г(у г(и, ау. Пусть функция я от и н у определяется 238 [гл. Т УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА с(о= ~ 1г!с!р!+ ~~) рег7г7! — ~ —. А!7! — ~ — !7!7! — — а!1, (ТЛ0) -в дГ. ° -в дг.
дй причт члены этого равенства, содержащие Щ, взаимно сократятся, так как согласно определению обобщЕнных импульсов имеем Кроме того, согласно уравнениям Лагранжа дг. д дч, и поэтому уравнение (7.10) принимает вид = ~1' [! !'! байр! Ч! де" (7.! 1) Сравнивая теперь (7.9) с (7.11), мы получаем следующие 2в+-1 равенств, аналогичных равенствам (7.6): (7.12) дб дН д! де ' Уравнения (7.12) называются каноническими уравнениями Гамильтона; они представляют систему 2в уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа.
Для того чтобы составить эти уравнения для заданной механической системы, нужно образо- Переход от переменных (!7, !7, г) к переменным (!7, р, 1) отличается от преобразования (7.3) — (7.5) лишь тем, что на этот раз преобразуется не одна переменная, а несколько. Вместо лагранжиана 7. мы теперь будем иметь дело с функцией 77(р 7 Г)=Хг7ер! — 7-Ч !7 4) (7.8) построенной по аналогии с функцией (7.5), умноженной на — 1. Функцию П называют гамильтонианом. Это — та же самая функция Н, которая фигурировала в правой части равенства (2.50). Считая ей функцией переменных р, д и 1, будем иметь (7.
9) Но согласно (7.8) можно написать й 7.21 ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ И МЕТОД РАУСА 239 вать лагранжиан 7.=7.(д, д, 1) и, вычислив с ломаные (7.2) обобщенные импульсы, составить гамильтониан (7.8) как функцию ры дм г. Подставив затем найденное Н в (7,!2), мы получим уравнения движения данной системы. ф 7.2.
Циклические координаты и метод Рауса. Уравнения Гамильтона особенно удобны при исследовании систем, содержащих циклические координаты. Согласно определению, данному в й 2.6, циклической координатой ду называется координата, которая не входит в лагранм<иан, и отсюда, как мы знаем, следует (на основании уравнений Лагранжа), что обобщенный импульс р, соответствующий этой координате, является постоянным.
Но если р будет дН равно нулю, то согласно уравнениям (7.12) производная — также дл. будет равна нулю. Следовательно, циклическая координата будет отсутствовать не только в лагранжиане, но и в гамильтониане*). Пусть теперь, наоборот, будет известно, что некоторая координата ду не входит в Н. Тогда из (7.12) можно будет сделать вывод, что соответствующий обобщенный импульс р~ будет оставаться постоянным. Таким образом, между гамильтонианом Н и лагранжианом 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
