Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(6. 18) Таким образом, движущемуся наблюдателю стержень будет казаться укороченным в отношении 1: 1' 1 — Зз. Этот результат составляет содержание известной гипотезы Лоренца — Фицдн<еральда о «сжатии». Заметим, что при выводе формулы (6.18) было бы неудобно пользоваться непосредственно уравнениями (6.17), так как, хотя движущийся наблюдатель измеряет координаты концов стержня в один и тот же момент 1', однако в системе худ эти измерения нельзя считать производящимися одновременно, так как величины л! и з, различны. Предполон<им теперь, что в системе худ находятся часы, расположенные в точке л! и показывающие время 1!.
Наблюдатель, связанный с подвижной системой, зафиксирует в этот момент время ог! сз У1 — 'Гз а в момент 1з ог! <2 са Поэтому кажущийся промежуток времени будет равен <2 <! У1 Яз' (6.19) Следовательно, когда стрелка неподвижных часов передвинется на один час, с точки зрения движущегося наблюдателя пройдвт время 1 часов.
Поэтому он скажет, что неподвижные часы отстают, т. е. что они теряют время. Таким образом, это явление можно характеризовать как «растяжение времени». Следует, однако, подчеркнуть, что наблюдатель, находящийся в системе хуа, тоже будет считать, что часы, связанные с системой х'у'г', отстают от его часов. Точно такая же картина имеет место и для эффекта Лоренца в отношении сокращения длины: наблюдатель, находящийся в системе хуз, тоже будет наблюдать сжатие (6.18) предметов, неподвижных относительно системы х'у'г'. Такил! образом, ни одну из рассмотренных систем мы не можем считать неподвижной н противопоставлять ей другой системе — движение является относительным и все (равномерно движущиеся) системы совершенно эквивалентны. Из преобразования Лоренца следует также, что невозможна относительная скорость больше г. В самом деле, если бы тело имело такую скорость относительно некоторой системы, то посредств<ж! спвцилльнля тзогия относительности (гл.
6 2)4 соответствующего преобразования Лоренца можно было бы перейти к другой системе, в которой это тело неподвижно. Но при 3 ) 1 преобразование Лоренца не приводит к вещестзенньш значениям координат. Следовательно, скорости, ббльшие скорости света, не могут иметь места.
Может показаться, что скорость, ббльшую скорости света с, можно получить с помощью двух последовательных преобразований Лоренца. Пусть, например, вторая система движется относительно первой со скоростью о< ) с(2, а третья система движется относительно второй со скоростью ое также большей, чем с,<2 (в том же направлении). Можно подумать, что скорость третьей систелн,< относительно первой будет тогда больше чем с. Однако это не так, ибо эта скорость не равна просто и< + о<. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти преобразование Лоренца, описывающее переход от первой системы к третьей, Перемножая для этого матрицы рассматриваемых преобразований, мь< найтйм полное преобразование н увидим, что оно соответствует скорости т и определяемой так называемым законом Эйнштейна для сложения скоростей.
Согласно этому закону «1+ Пэ пз = !+— <чп2 Ся или 2<Т 22 ! + 2<ее (6.20) Отсюда видно, что если р< и рз меньше единицы, то ~, также будет меньше единицы. Вывод формулы (6.20) мы предостазляел< читателям провести самостоятельно в качестве упражнения. ф 6.3. Ковариантная форма уравнений. Преобразование Лоренца получено нами для замены преобразования Галилея, так как последнее нельзя считать правильным.
Теперь мы можем перейти ко второй части нашего исследования и рассмотреть вопрос о принципе эквивалентности, требующем, чтобы законы механики (и вообще законы физики) имели одинаковую форму во всех равномерно движущихся системах. Таким образом, мы должны исследовать законы физики в отношении ннварнантности их формы при преобразованиях Лоренца. Эта задача сильно облегчается, если, формулируя эти законы, пользоваться понятием четырехмерного пространства Минковского, введйнного в предыдущем параграфе. Мы увидим, что инвариантность данных уравнений относительно преобразований Лоренца тогда можно будет установить непосредственным путам. Иивариантность формы уравнения относительно преобразований Лоренца не является единственной инвариантностью, накладываемой на законы физики.
Ясно, например, что физическое содержание в 6.31 ковлгилнтнля еогмл хглвнвний 215 любого закона не должно изменяться при изменении ориентации выбранной системы координат. Следовательно, законы физики должны также быть инвариантными и относительно поворотов системы координат, т. е. относительно ортогональных преобразований пространства. Эта инвариантность является более простой и исследование ее сделает более ясным тот метод, которого следует придерживаться при исследовании инвариантности относительно преобразований Лоренца.
Мы не беспокоимся обычно об инвариантности наших законов относительно поворотов системы координат. Зто связано с тем, что при составлении какого-либо уравнения всегда требуется, чтобы его слагаемые были либо все скалярами, либо все векторами, либо все тензорами одного ранга, а это автоматически обеспечивает инвариаптность относительно поворотов координатной системы. Так, например, скалярное равенство имеет вид а так как обе части его являются скалярами, то они инвариантны относительно координатной системы и, следовательно, это равенство остается справедливым во всех системах координат.
Рассмотрим теперь векторное равенство эквивалентное трвм равенствам связывающим составляющие этих векторов. Значения этих составляющих не являются, конечно, инвариантными относительно поворотов системы координат, и поэтому в результате такого поворота они Р I примут значения Рг и Оп которые являются составляющими прес образованных векторов тч' и 0'. !1о так как обе части равенств, связывающих эти составляющие, преобразуются идентичным образом, то будут иметь место равенства / г Р~=ып Следовательно, равенство, связывающее два вектора, остаЕтся справедливым при любом повороте системы координат, и в новой системе мы будем иметь: 1ч' = Сг'.
Следует заметить, что инвариантность этого равенства есть следствие того факта, что обе его части преобразуются как векторы. В таких случаях говорят, что рассматриваемое равенство является ковариантным. Аналогично, всякое равенство С О. 216 1гл. 6 спгцилльнзя твогия относительности связывающее тензоры второго ранга, означает также равенство с' =-()', связывающее преобразованные тензоры, так как при повороте системы координат тензоры преобразуются ковариаитно. В противополо>кность этому уравнение, связывающее составляющую вектора с составляющей тензора, очевидно, не может оставаться инвариантным при трехмерном ортогональном преобразовании.
Инварианлгность физического закона относителлво гговороога пространственной сисгггемы координат требует ковариантности выралсагои;его его уравнения. Преобразование Лоренца могкно рассматривать как ортогональное преобразование в пространстве Минковского. В этом четырехмерном пространстве можно говорить о ска:трах, векторах и тензорах любого ранга, обобщая на них (очевидным образом) те преобрззования, которые мы имели для аналогичных величин в трйхмерном пространстве. Так, например, мы будем говорить о четырехмерных векторах или короче о 4-векторах и т. п.
Инвариантность физического закона относительно преобразований Лоренца можно сделать тогда очевидной, если выразить этот закон в новариантной четырйхмерной форме; зсе члены уравнения, выражающего этот закон, должны быть при этом тензорами одного ранга. Если же закон не удовлетворяет требованиям принципа эквивалентности, то ему нельзя будет придать ковариантную форму.
Следовательно, характер преобразования (в четырехмерном пространстве) членов равенства, выражающего физический аакон, дает нам критерий для решения вопроса о релятивистской правильности этого закона. Важным примером 4-вектора является вектор, определяющий положение точки в пространстве Минковского. Составляющие этого вектора равны х,, х,, хз х,, и во избежание путаницы с обычными векторами мы для обозначения 4-вектора будем пользоваться только одной из его составляющих; поэтому символ х, будет означать у нас вектор, составляющие которого равны х,, х,, хз х,.
Кроме того, мы часто будем пользоваться следующим условным способом для обозначения суммирования: если в каком-нибудь члене будут нстречаться одинаково обозначенные индексы, то это будет означать, что указанный член суммируется по всем значениям этого индекса (даже если знак суммы отсутствует). Например, символ х х„ мы будем употреблять для суммы У хг. , =1 Когда материальная точка движется в обычном трйхмерном пространстве, то соответствующая ей точка в пространстве Минковского описывает траекторию, известную под названием мировой ф 6.3) 2! 7 козлгилптная ФОРМА ктлзпении линии. 4-вектор дхе, очевидно, есть вектор бесконечно малого перемещения втоль этой линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
