Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Но твк как период прецессии Земли весьма велик по сравнению с периодом обрагцення Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца, то можно сделать еще одно приближение, заменив Сочнце и Луну массамн, распределеинымн по оьружностнм, центры которых совпадают с центром Земли. Кроме того, можно считать, что орбиты Солнца и Луны лежат в одной плоскости (так называемая плоскость эклиптики). Вычислите гравитациовный потенциал Вяееьше между экваториальным кольцом Земли и мессой Солнца, распределенной по окружности. Воспользуйтесь для этого разложением расстояния г по а степеням †, где а — радиуг.
экваториального кольца Земли, а Я вЂ” среднее йе е расстояние от Земли до Солнца. (Зля удобства примите плоскость эклиптики за плоскость ху и воспользуйтесь сферическими полярными коо[здинатеми.) Вычислив аналогичным путем потенциал между Землей и Лунои, найлите полный потенциал гравитационных сил как функцию угла 6 между земной осью и плоскостью эклиптики. Дифференцируя этот потенциал по 0, найдите момент сиз, действующих на Землю со стороны Солнца и Луны. Покажите, что периый отличный от нуля член в выражении этого молеентв равен 7»' = — 6 (Ез — 7,) з1п 2» ~ —, -[- — ~, 3 Гт т»1 4 где П вЂ” гравитационная постоянная, а индексы з и ( относятся к Солнцу и Луне. Найдите скорость регулярной прецессии, создаваемой таким моментом (пользуясгь например, методом задачи 1!), предполагая, что период втой прецессии весьма велик по сравнению с периодом собственного вращения.
Сравните этот результат с измеренным периодом прецессии, составляющим 25 800 лет. 14. В $5.6 вычислялась прецессии оси вращения Земли вокруг полюса в предположении, что нв Землю ие действуют никакие моменты. С другой стороны, предыдущая задача показывает, что Земля подвергается вынужденной прецессии под действием гравитационных моментов Солнца и Лунь, зля лчи 201 Можно, однако, показать, что движение оси вращения Земли вокруг ей осн симметрии выглядит как нутация Земли и еб вынужденной прецессии. Лля доказательства этого достаточно вычислить функции 0(/) и у (1) для тяжелого симметричного волчка, у которого начальная скорость уа велика по сравнению со скоростью регулярной прецессии 8/2а, но мала по сравнению с ь< .
Прп этих условиях граничные окружности алекса будут близки друг к др)ту, на орбита алекса булет выглядеть так, как показано нв фиг. 58, Ь, т. е, будет иметь большие петли, мелленно повораччвающпеся вокруг вертикали. Покажите, что равенство (5.64) будет в этом случае справедливым, но теперь будет иметь место соотношение /8 2М х< = [ — — — -' — ] в1па Па. [,аз а) Зная б и й<, найдите ыл и мк н покажите, что при <3/2а с~ ва вектор <а прецесснрует вокруг оси тела со скоростью /< — /з о /, что совпадает с формулой (5АО). Пользуясь числовыми даннымп, приведенными в й 5.6, убедитесь в том, что скорость ча соответствует периоду около 1600 лет и, стедоввтельно, она мала по сравнению со скоростью суточного вращения, но достаточно велика по сравнению с величиной 8/2л, соответствующей периоду в 26000 лет. 15.
(Гирокомпас Фуко,) Гироскоп установлен так, что центр тяжести его совпадает с центром карданового подвеся и поэтому гравитационный момент отсутствует. Кроме того, на его ось наложена связь, допускающая двнжейие только в горизонтальной плоскости, вследствие чего она не может сохранять свое направление в неподвижном пространстве и вынуждена участвовать во вращательном движении Земли. Пользуясь уравнениями Эйлера, покажи~в, что если скорость вращения этого гироскопа велика по сравнению со скоростью вращешш Земли, то ось его будет совершать симметричные колебания около линии меридиана и, следовательно, ее можно использовать в качестве стрелки компаса.
16. Система состоит из заряженных частиц с одинаковым отношением е!ль Потенциальная энергия нх зависит от их взаимного расположения. Па систему действует однородное магнитное поле В, причем векторный< потенциал А равен А =- —, (г Х В). 1 2 Вычислить лаграпжиан этой системы, пользуясь подвижной системой координат, вращающейся вокруг вектора В со скоростью ип Показать, что с точностью до членов порядка Вз он не зависит от В.
(Таким путйм можно получить доказательство теоремы Лармора, которая в такой форме показывает, что действие слабого магнитного поля проявляетсн лишь в прецессии системы в целом вокруг вектора В. Как указывалось в тексте, теорема Лармора касается ли<пь действия магнитного поля на вектор квнетического момента.) 17. Показать, что гамильтониан симметричного заря венного волчка, находян1егося в однородном мвгпигном поле, совпадает с его кинетической энергией и являетсн постоянной движения.
Отсюда следует, что зто поле не совершвег работы пад рассматриваемой системой [это видно также из силы Лоренца (1.56)] в противоположность тому, что имеет место в случае тяжелого волчка, когда сила тяжести сообщает ему дополнительную кинетическую энергию прецессии. Показать, что энергия прецессии магнитного волчка появлнется за счет уменьшения скорости его собственного вращения и что при этом возникает нутация.
202 [гл. 5[ КРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Рекомендуемая литература А. Р. )Ч111з, Вес!от апд Тепзог Апа(гзгк В этой и предыдущей главах мы часто встречались с тензорами, диадами н преобразованиями главных осей. Дополнительный материал по этим вопросам, н притом отлично изложенный, мо~кно найти в главах Ч1, ЧП! и 1Х рекомендуемого учебника Уиллса. Наиболее полное изложение этого вопроса содержится в классической работе О(ЬЬВ аоб )Ч1(зон, Чес1ог Апа11.- В1з, 1901. А. О. (Ч е ЬВ1е г, Пупаш(сэ.
По динамике твердых тел имеется весьма обширная литература, представленная ие только книгами, специально посвященными этому вопросу, но и обнзими курсами механики. Больпшнство таких книг относится к концу прошлого столетия или близко к этому времени, и авторы их следуют традиционному изложению динамики твердого тела, развитой к тому времени. Одной из лучших кинг этих лет является рекомендуемый обн1ий курс Вебстера (первое издание вышло в 1904 г.). По сравнению с учебником Уиттекера книга Вебстера охватывает ббльший круг вопросои (она содержит теорию потенциала, теорию упругости и гилродинамику], но общий уровень ее является более элементарным, Тем не менее, в ней затрагиваются многие сонречеиные воппосы.
Изложение ее является логически последовательным и в меньшеи степени формальным, чем у Уиттекера, а также более физическим и более изящным. Векторным айпаратом автор не пользуется, так как в то время, когда писалась эта книга, векторное исчисление практически только зарождалось. Вторая часть этой книги посвящена динамике твердого тела и содержит подробное исследование движения симметричного волчка при отсутствии сил. Движение тяжелого волчка исследуется здесь методом, подобным изложенному в настоящей главе, но более длинно.
Е. А, М11 и е, Чессог1а( Месйап!сз. В отличие от Вебстера автор этой книги широко использует вектоРный и тензорный аппарат, причем делает это так, что физическая сторона вопроса при этом часто не раскрывается, а затемняется. Глава Х(Ч этого курса посвящена краткому изложению свойств тензора инерции н вычислению этого тензора для различных тел. Кроме того, представляет интерес глава ХЧП этой книги, посвящбнная гироскопическим задачам.
(Ч. Р. М а с ш! 1(а п, Рупаш1сз о1 Р(я1б Воб(ез. Хотя мы не рекомендуем зту книгу для систематического изучения динамики твбрдого тела, тем не менее, и ней содержится много материала, который нелегко найти в других источниках. В частности, в главе ЧП этой книги содержится полное и подробное описание движения Пуансо, а также движения тяжелого симметричного волчка, причЕм получены точные решения, выраженные через эллиптические функции. Кроме того, заслуживает внимания глава, посвящбнная некоторым сложным задачан, связанным с качением твердых тел.
М. 1Ч(пйе(шапи апд )1. Огашше1, К(пе1рл бег ясаггеп Когрег. т. Ч. Набйпсй бег Рйузйь Основной интерес здесь представляет подробное и ясное исследование движений некоторых тел: волчка. не подверженного действию сил, тяжелого симметричного волчка с одной неподвижной точкой, бильярдных шаров, вращающейся монеты и т. п. Большой раздел, посвященный движению гироскопа во вращающейся системе координат (например, на поверхности Земли), будет, к сожалению, недоступен для большинства читателей, так как автор использует необычное векторное понятие — так называемый ашо1ога.
Л. !.. 5 у п не апб В. А. О г|!!11Ь, Рт(пс(р1ез о1 Месйап(сз. Основанный на элементарных принципах, этот учебник содержит все же подробное описание движения Пуансо и движения тяжелого симметричного гвкомкндкнмлн литкилткгл 203 волчка. Кроче того, в этой книге имеютсв некоторые точные формулы, описывающие диижение волчка с помощью эллиптических функций. Некоторые небольшие разделы этой книги посвящены качению твердых тел и техническим применениим гироскопов (главныч образом гирокомпасу). Р.
К 1 е ! и пиб А. 3 о ш ш е г ! е 1 б, Тйеог!е без Кге!зе!з. Книга написана хорошим и легким языком. Много внимания в ней уделено объяснению парадоксальных гироскопических явлений. В некоторых местах этой книги изложение ведйтсн стишком матечатично, однако авторы никогда не забывают о физической стороне вопроса. Хоти зта книга назынается теорией волчка, в ней содер китса потное изложение всей механики твердых тел, а также некоторых вопросов фпзпьи и математики. В главе ! этой книги наряду с другими вопросами рассмотрены углы Эйлера, бесконечно малые повороты и параметры Кэйли — Клейна, а также свизь этих параметров с гомографпческим преобразованием и с теорией квартернионов. Последние замечании к этой главе (и т. !М) посвицепы некоторым вопросам электродинамики и специальной теории относительности (квантовая Механика возннкла значительно позже).
В общем в т. ! залозсен необходичый фундамент динамики твердого теди и дана физическая картина двп'кения волчка, кото ая построена с помощью гчалойз математики. ом П этой книги посвящен подробному исследованию движении тя~кблого симметричного волчка, однако в нйм уделяется много внимания и движению Г)уансо. Этот том содержит вой, что было в то время известно по теории симметричного волчка. Именно здесь было ипервые введено понятие о псеидорегулярной прецессии, причем авторы уделили много внимания рассмотрению связи между регулнрной и псевдорегулнрной прецессиями.
Много страниц этой книги посвящено критике распространенных элементарных адоказательствэ прецессии гироскопа. (Авторы указывают, что иеудовлэ гворительиость таких доказательств явилась одной пз основных причин, побудивших их написать эту книгу.) Кроче того, много места н этом томе улелено вопросам устойчивости движения. Большая часть рассуждений, проводимых авторами, основывается ца точных решениях в эллиптических функциях, а не нч предположении о малости иутации, как это делаетси в нашей книге. Том Н! посвящен главпыч образом влиянию возмущаю:цих сил (в основном трепню) н астропомкческим приложениям теории волчка (нутация Земли, прслвареиие равноденствий и т. д.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
