Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Мы можем выскааать это и иначе, потребовав, ггавненни движения твкгдого тьма (гл. 5 чтобы при 0 =0е обращалось в нуль не только О, по и 0 е). Записывая уравнение энергии (уравнение (5.53)~ в виде Оз = (и — 3 соз О)— з!пз 0 (5. 68) и дифференцируя его по времени, будем иметь 203) = ~ 1п0>+2 . 0(а — 0)з0' 2а(а — а О) „. зп1з 0 з1п 0 Так как в обе части этого равенства входит множитель О, то условие 0 =--0 (при 0 ==-Ое) можно с помощью уравнения (5.50) ааписать в виде 2 -'- = а з - — оэ сов О. (5. 69) Подставляя сюда 3 из (5.54), а а из (5.46), получаем МФ= 9 (узΠ— (У вЂ” У ) Рсоа 01 (5.70) ограничивающее область допустимых начальных значений О и ф. Вследствие того, что уравнение (5.70) является квадратным, оно опреде- ч) Требование, чтобы 0 образ~елось в нуль, вполне эквивалентно требованию, чтобы из = соз Оз было двукратным корнем функции у(н), ибо последнее можно записать в виде равенства — =0=20 — = 24 и'0 и'О 30 ОЪ так как — = — з .
Полученное злесь выражение для 3 совпадает, конечно, оз с тем, которое мы 'получили бы, составляя уравнение Лагранжа для коор. динаты О. В общем случае начальные усяовия требуют задания величин О, р, ф, О, о и ф при г = О. Но так как две из них, р и ф, являются циклическими, то начальные значения их являются для нас несущественными, и дело сводится к заданию четырех остальных величин. Но так как мы требуем, чтобы движение волчка представляло регулярную прецессию, то выбор этих четырбх начальных значений не может быть произвольным, ибо они должны удовлетворять равенству (5.70). Выбрав, например, начальные значения О и, скажем, 0 и ф почти произвольно, мы вайдам соответствующее значение р. Мы говорим «почти произвольно», потому что уравнение (5.70) является квадратным, и для того, чтобы л было вещественным, дискриминант уравнения должен быть положительным.
Следовательно, должно выполняться неравенство Узфз — 4Л48У (У, — Уа) соз 0 ) О, й 5.7! тяжелый симметннчный волчок с неподвижной точкой 193 лает в общем случае два значения Зл, соответствующих «быстрой» и «медленной» прецессии. Следует также заметить, что ни при каком конечном» уравнение (5.70) не удовлетворяется значением « = О. Следовательно, получить равномерную прецессию можно, лишь сообщив волчку начальный толчок. Без этой правильно выбранной начальной скорости прецессии можно в лучшем случае получить лишь псевдорегулярную прецессию.
Если прецессия медленная, так что величиной «соз ч можно пренебречь по сравнению с а, то ~л будет приближенно равно Ф == —, 2« ' что совпадает со средней скоростью псевдорегулярной прецессии быстрого волчка. Этот результат следовало, конечно, ожидать, так как если скорость прецессии мала, то мала и разница между движением гироскопа с небольшим начальным толчком и движением без толчка. Следующий случай, который мы сейчас рассмотрим,— это случай, когда значение и =! является одним из корней функции 7(и). Предположим, что волчок начинает вращаться в вертикальном положении. Ясно, что тогда Ь будет равно а, так как постоянные УлЬ н Ула являются составляющими кинетического момента относительно вертикальной оси и оси волчка, а эти оси в рассматриваемом положении совпадают.
Так как начальная угловая скорость волчка направлена в этом случае строго по его оси, то, положив в равенстве (5.52) О =- 0 (т. е. рассматривая это равенство при 1 = 0), будем иметь Е =Š— — 7»ы = Лай откуда следует, что а= ~3 [см. уравнение (5.54)!. Поэтому уравне- ние энергии этого волчка люлкет быть записано в виде ив = (1 — иэ) 3 (1 — и) — аэ (1 — и)э или йз = (1 — и)Я (3 (1 + и) — ав) .
Из этого уравнения видно, что число и =-1 является его двукратным корнем; третий корень этого уравнения равен ал и = — — 1. » Если аэ!3 > 2 (что соответствует «быстрому волчку»), то из ) 1, и единственным возможным движением будет такое, при котором и = 1, т.
е. такое, когда волчок продолжает вращаться вокруг вертикали. График функции 7(и) имеет в этом случае вид, (гл. 5 !94 увлзнкния движения твкгдого талл показанный на рис. 60, а. Если же аз~~З < 2, то из будет меньше единицы, и функция у"(и) будет иметь вид, показанный на рис. 60, и. В этом случае волчок нутирует между О = 0 и б = Ьн Таким образом, существует критическая угловая скорость ш', выше которой возможно только вертикальное движение волчка. Величина ее определяется равенством откуда ,з мягй уле (ос.
7! ) Практически, если вертикально стоящий волчок начинает вращаться со скоростью, большей, чем ы', то некоторое время он действительно будет продолжать вращение вокруг вертикали (отсюда название «спящий волчок»). Однако трение будет постепенно уменьшать Лт/та > та' Гбу та «лл Рнс, бо. График функции /(и) в случае волчка, ось которого в начальный момент временн вертикальна. скорость его вращения, и когда она станет ниже критической, волчок начнат раскачиваться, притон тем сильнее, чем больше будет падать скорость его вращения.
Мы уже говорили, что Землю можно рассматривать как волчок, ось которого прецессирует относительно нормали к эклиптике (это движение известно в астрономии под названием предварения равноденствий). Если бы Земной шар был однородным телом, имеющим форму правильной сферы, то другие тела солнечной системы не могли бы действовать на него с некоторым гравитационным моментом. Однако Земля немного сплюснута у полюсов и слегка «выпучена» у экватора. Поэтому на нее действует гравитационный момент (главным образом со стороны Солнца и Луны), что заставляет ось Земли прецессировать.
Момент этот весьма мал, и поэтому прецессия Земной оси оказывается исключительно медленной: период ей э 5.7! тяжелый спммвтгншып волчок с наподвижноИ точкой !95 составляет 26 000 лет, в то время как период ед собственного вращения равен всего одним суткам. !!олныИ гравитационный момент, депствующип на Земной шар, не является постоянным, так как моменты Солнца и Луны имеют несколько различные направления по отношению к эклиптике и изменяются, когда Земля, Солнце и Луна движутся друг относительно друга, В результате этого в прецессии Земли появляются некоторые неправильности, называемые астроно.иической мутацией.
Еед однако, не с~сдует путать с истинной нутацней, рассмотренной выше, которая имеет место и тогда, когда момент вызывается постоянной силой. ((лейн и Зоммерфельд отмечали, что истинная нутация выглядит так же, как прецессия оси вращения Земли относительно ее оси симметрии при отсутствии сил (мы рассматривали ее в предыдущем параграфе). Земля, по-видимому, начала вращаться с начальным значением м, значительно большим того, которое требуется для равномерноп прецессии, и поэтому ея нутацня выглядит приблизительно так, как показано на рис. 58, Ь. Можно показать, что при этих условиях период нутацни близок к периоду прецессии при отсутствии внешних сил [определяемому формулой (5.40)!. Хотя объем данной книги не позволяет подробно остановиться на многочисленных технических приложениях гироскопов, мы всб же кратко коснемся этого вопроса.
Под «гироскопомь обычно понимают симметричный волчок, установленный в кардановом подвесе таким образом, что центр тяжести его остастся неподвижным, а ось может занимать любое положение в пространстве. В этом случае на волчок не действуют гравитационные моменты относительно его центра тяжести, и поэтому вектор его кинетического момента остаЕтся постоянным. Если гироскопу будет сообщена угловая скорость вокруг собственной оси и эта ось будет вначале неподвижной (и поэтому будет совпадать по направлению с вектором кинетического момента), то в дальнейшем она будет всц время сохранять сна направление в пространстве.
Поэтому такой гироскоп можно использовать в качестве указателя неизл>енного направления, так как дни>кение экипажа, несущего гироскоп, не будет влиять на направление его оси. Значительно более сложно действие так называемого гирокомпаса. В этом приборе ось волчка ограничена в своем движении и может поворачиваться только в горизонтальной плоскости. Но так как вследствие вращения Земли эта плоскость вс6 время меняет свою ориентацию в неподви>кном пространстве, то под действием реакциИ связей гироскоп вынужден прецессировать с периодом одни сутки вокруг земной оси.
Ось такого гироскопа стремится сохранить своз направление в пространстве, но так как установка гирокомпаса препятствует ему прецессировать относительно горизонтальной плоскости, то появляются реакции подшипников, действующие на этот гироскоп. Можно показать, что эти силы стремятся установить ось уРАВнения дВи>кения ТВеРдого >елА (гл. й Гйб гироскопа параллельно оси прецессии, в данном случае параллельно оси вращения Земли. Поэтому такое устройство может служить для указания направления меридиана, т.
е. может быть использовано в качестве «гирокомпаса». (1.24) где 7. †кинетическ момент системы, а 7>à †моме внешних сил. Мы будем предполагать, что рассматриваемое тело состоит из частиц, имеющих одно и то же отношение заряда е к массе е, В результате вращения этого тела заряженные частицы его будут как-то двигаться в пространстве, и, следовательно, будут возникать токи, взаимодействующие с магнитным полем. Если это поле является однородным, то сумма сил, с которыми оно будет действовать на рассматриваемое тело, будет равна нулю"), а момент этих сил будет равен (5.72) где М вЂ магнитн момент токов, а  †напряженнос магнитного поля. Поэтому уравнение движения будет иметь в данном случае вид Ы >ту — =-М Х В. (5.73) Если пользоваться единицами Гаусса, то при произвольном распределении токов магнитный момент будет равен М= — ) РХуЛ', 1 г 2с 3 (5.74) где у' †плотнос тока, а Г>(У вЂ элеме объйма В»).
В качестве примера применения этой формулы вычислим магнитный момент тока, *) В этом случае центр масс можно считать неподвижным и кинетяче- ский момент можно брать относительно любой точки тели (см. 5 1.2). "«) См., например, й. Вес кег, Тйеог>е бег е>ек>г>зиа>, т. 11, 6-е изд., стр. 98, или 8>га1>оп, е1ес>гоп>аяпецс т1>еогу, х. у., 1941, стр. 235 (где используются единицы МК8), ф 6.8. Прецессня заряженных тел в магнитном поле. Из предыдущего параграфа видно, что движение симметричного волчка в гравитационном поле является в общем случае весьма сложным.
В противоположность этому движение вращающегося заряженного тела, находящегося в однородном иагнктнал> лоле, имеет сравнительно простой характер. Тем не менее, мы рассмотрим это движение, так как оно играет важную роль в атомной физике. Вместо уравнений Лагранжа в данном случае проще воспользоваться одной из общих теорем динамики, а именно теоремой о кинетическом моменте, согласно которой $ 5.8] пгецессия 3АРяженных тел з ИАГнитнОм поле 197 протекающего по плоскому витку. Произведение уЛГ можно запи- сать в этом случае в виде где 1 — сила тока, г!5' — площадь поперечного сечения проволоки, а Л вЂ” элементарный вектор, идущий вдоль направления тока.
Поэтому магнитный момент будет в данном случае равен М= — ' — У Х (7. г 1 с 23' 1 Но — г Х Л есть элемент площади, описываемой радиусом-векто- 2 ром г (см. определение секториальной скорости, 9 3.2), и поэтому величина этого интеграла равна площади рассматриваемого витка. Обозначив эту площадь через Л, а единичный вектор, перпендикулярный к плоскости витка, †чер и, будем иметь: Аг »И = — а. с М = — — ( г Х рт» «!)г. 2вс д (5.75) Р!о написанный интеграл представляет собой полный кинетический моиент данного тела. Следовательно, существует однозначное соотношение (по крайней мере в классической физике), связывающее кинетический момент тела с его магнитным моментом *). Оно имеет вид (о.75) Таким образом, уравнение движения (5.75) можно записать в виде ле ей — =7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
