Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Под диадой мы будем понимать сумму*) АВ+ СР+... В сущности любое диадное произведение АВ можно предсгавить в виде диады, выразив для этого векторы А и В через их соста- э) Если точно придерживаться терминологии Гиббса, которой следует Голдстейн В оригинале этой киягп, то диадное произведение АВ следует называть диадой, вектор А в предыдущим (антецедентом — ап>есебеп>), вектор В— последующим (коисеквенгом — сопэейиеп>), произведение АВ С вЂ пост- фактором (роэйзсгог), произведение С А — префактором (ргегвсгог), э сумму диадиых произведений АВ+СВ+... — Ливд>слом (буэб>с).
В тексте, однако, использованы обозначения, принятые в русской литературе (см., например, Д. И. Крут илии, Теория конечных деформаций, 1947, или д, Н эхаи, Пласю>чноеть И Рэ>рУщение тэардых тел, 1954). (1)рим. перев.) э 5.3[ твнзог инегции н момент инвгцин 167 вляющие вдоль ортов Г, /, к. В этом случае диадное произведе- ние АВ принимает вид АВ= А В В+ А ВяУ+ А Вй+ + АвВх3$+ АяВуД+ АяВ.7й+ +А,В И+ А,Вв(г7+А,В,И.
(5.12) Правая часть равенства (5.12) называется девягличленкой формой днадного произведения, так как она содержит девять коэффициентов. Очевидно, таким путем можно свести к девятнчленной форме и любую диаду. Так как коэффициенты девятнчленного представления диады являются однородными квадратичными функциями составляющих векторов, то, очевидно, они будут преобразовываться так же, как составляющие тензора второго ранга [см. уравнение (5.10)[.
И обратно, из каждого тензора второго ранга можно образовать диаду, для чего достаточно использовать составляющие тензора в качестве соответствующих коэффициентов девятичленной формы. Таким образом, имеется полная формальная аналогия между диадой и тензором второго ранга. Кроме того, они эквивалентны и в отношении действия, нроизводнмого ими на вектор, ибо мы знаем, что скалярное произведение диады на вектор есть опять некоторый вектор. Поэтому оператор 7 можно записать таким обравом, что будет ясно видна его диадная форма.
Для этого мы введем единичную днаду 1: ! = и+я+и, (5.13) обозначение которой, конечно, вполне оправдано, так как матрица оператора (5.13) совпадает с единичной матрицей, Кроме того, непосредственное умножение показывает, что ! А=А 1 =-А Пользуясь этой диадой, можно записать У в виде 1 = ~~~ лг~(г',! — г;г,), что подтверждается равенством у гв=",~ т,~г1ьз — -гз(гз гв)~ =С, (5.14) совпадающим с (5.3). $5.3.
Тензор инерции и момент инерции. Тензор 7 можно рассматривать и как тензор второго ранга и как диаду. Его обычно называют текзором момента инерции илн просто тензоролг инерции. Преимущество записи тензора 1 в виде диады состоит в том, что прн этом могут применяться обычные векторные операции. 1гл. 5 168 хглвнвния движения тввавдого талл Таким путем мы приходим к естественному способу выражения кинетической энергии вращения через диаду /.
Кинетическая энергия тела равна 1 %ч 2 Т вЂ”, т яьгю;, где оь — абсолютная скорость 1-й точки. С помощью формулы (5.2) это равенство можно записать в виде Т= — т тьоь (ы Х г;), 1 ъч 4 что согласно формуле для смешанного произведения равно Т= ~ ~1 т;(г;Хоь). Вектор, стоящий здесь под знаком суммы, представляет кинетический момент тела относительно начала координат, и поэтому 7' =— (5.15) Пусть, далее, и будет единичным векторол~ в направлении ю, так что ю = ььп. Тогда кинетическую энергию Т можно будет представить в виде ез 1 Т= — и 7 и = — —,Уша, (5.16) 2 где 7 в скадар, определяемый равенством 7= — и 7 и == ~', ть '(г~ — (г', и)'~.
(5.!7) Рис. 52. К вычислешпо момента инерции. Он называется моментом инерцщь тела относительно оси вращения. При элементарном изложении момент инерции тела относительно оси определяют как сумму произведений масс отдельных его частиц на квадраты их расстояний до этой оси. Покажем, что это определение согласуется с выражением (5.!7).
Расстояние до осн равно. как известно, )г;Х н ~ (рис. 52). Поэтому согласно обычному определению 7 = Х тч (ге Х а) (г'ь Х а). Рассматривая теперь первую из этих скобок как один вектор и пользуясь формулой лля смешанного произведения, мы можем написать. Х(. Хи) $ 5.31 ТЕНЗОР ИНЕРЦИН И МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 169 Наконец, раскрыв двойное векторное произведение, окончательно получим I =- ~~ лггг, ° (г; — п (г; п)] = .~ тг 1г, — (г; и)'~, что совпадает с (5.17). Величина момента инерции зависит от направления оси вращения, а так как в процессе движения вектор ы обычно изменяет свой направление относительно тела, то момент инерции следует рассматривать как функцию времени.
Исключение составляеч момент инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси; он остаатся постоянным. В этом случае кинетическая энергия в форме (5.16) почти достаточна для составления лагранжиана и уравнений движения. Лальнейший шаг заключается лишь в том, чтобы выразить ы в виде производной по времени от некоторого угла, что, конечно, можно сделать без труда. Момент инерции (как и тензор инерции) зависят также от выбора начала Ь подвижной системы координат, Однако Рис. 53.
К вычислению мо- существует простая зависимость между ментов инерции относительмоментами инерции относительно данной ио параллельных осей. оси и параллельной ей оси, проходящей через центр масс. Пусть )с обозначает вектор, идущий из начала координат О в центр масс, а г; и г,'.— радиусы-векторы, идущие в 1-ю точку из точки О и из центра масс.
Эти трн вектора связаны соотношением гг= — Л+г;. Момент инерции относительно оси а будет тогда равен ~.=Хт;(,Х ) =Х и~(,'+г)Х Г или 7„= ~ т, (Р Х и)'+ ~ т, (г; Х п) + 2,~ т~ ()? Х п) (гг Х п). Но последний член этого выражения можно представить в виде — 2 (И Х и) (и Х Х т,г;), 1 где .У, тггг согласно определению центра масс равно нулю. Следовательно, связь между моментом инерции относительно оси а и [гл, 5 170 >глвнвния движения твйвдого талл моментом инерции относительно оси Ь, параллельной а, выражается следующим образом: ! =-7ь+М(ЛХп)е (5.18) Величина вектора Р К а, очевидно, равна расстоянию от центра масс до оси а. Таким образом, момент инерции относительно оси а равен моменту инерции относительно параллельной ей оси Ь, проходящей через центр масс, плюс момент инерции данного тела относительно оси а, полученный в предположении, что вся масса тела сосредоточена в центре масс.
Эта теорема весьма схожа по форме с теоремами, которые были получены нами в й 1.! для количества движения, кинетического момента и кинетической энергии. ф 5.4. Собственные значения тензора инерции и главные оси преобразования. Предыдущие рассуждения имели целью подчеркнуть ту важную роль, которую играет тензор инерции при изучении движения твердых тел. С этой точки зрения исследование свойств этого тензора и связанной с ним матрицы представляет значительный интерес. Из формулы (5.7) видно, что составляющие этого тензора симметричны, т. е.
У в — — Ую,. Так как, кроме того, они вещественны, то матрица этого тензора совпадает со своей эрмитовсяи сопряженной [см. уравнение (4.38)[, т. е. является мат)>идей Эра>пта. Таким образом, хотя этот тензор имеет девять составляющих, однако среди них будет только шесть независимых: три вдоль диагонали и три по одну сторону от нее.
Моменты инерции завнсят как от поло>кения начала подвижной системы, так и от ев ориентации относительно тела. Было бы, конечно, весьма удобно, если бы при заданном положении начала координат можно было найти такую ориентацию подвижных осей, при которой тензор инерции является диагональным и, следовательно, может быть записан в виде диады 7'=7>Н-[- у~+7,Ы. (5.!9) В такой системе координат каждая из составляющих вектора Е будет содер>кать только соответствующую составляющую вектора нц таким образом, в этом случае будем иметь: (5.20) Аналогичное упрощение получается здесь и для кинетической энергии, которая принимает вид $ 5.4) сОбстВенные знАчения тензОРА инеРции 171 ",~~ 1„,.Х„, = 1,ХЫР (5,22) Умноягая написанное равенство на Хгг и суммируя по всем г', по- лучаем ~" Х,*,1,ЕХА1 = 14 ~ Х,"гХг1.
ьь 'г (5.23) я) Это значит, что матрица Х, которая дяагонализнрует матрицу тензорв 1 посредстзом подобного йреоэразовання, является веи1еггнвенннй ортогональной матрнцей. Можно показать, что такие оси всегда существуют; доказательство этого основывается на том, что тензор инерции является эрмитовым. Как отмечалось в $ 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путйм приведения этой матрицы к диагональному виду; элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями.
Следовательно, задача отыскания системы, в которой 1 имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора 1, причйм числа 1,, 1„ 1а суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что з координатной системе, где тензор 1 является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор ю будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х.
Тогда кинетический момент 5 =- 1 в будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора / на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен 5ыть одним из собственных векторов преобразования 1. В $ 4.6 мы говорили о диагонализации матрицы и отыскании ей собственных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
