Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Так как в системе координат, связанной с телом, составляющие вектора г, постоянны, то скорость пз есть абсолютная скорость, возникающая только вследствие вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Поэтому из уравнения (4.100) будем иметь (5.2) и;=ю Хгп *) В однородном гравитацяоином поле центр тяжести, конечно, совпадает с центром масс. т. е. как сумму кинетической энергии центра масс в предположении, что в нам сконцентрирована вся масса тела, н кинетической энергии двим~ения вокруг центра масс. Потенциальную энергию тоже часто удаатся разделить на две подобные части, из которых одна содержит только координаты, соответствующие поступательному движению, а другая — только угловые координаты.
Так, например, гравитационная потенциальная энергия зависит только от вертикальной декартовой координаты центра тяжести *). Аналогично, если сила вызывается однородным полем В, действующим на диполь с магнитным моментом М, то потенциал пропорционален произведению М ° В, зависящему только от ориентации тела. Вообще почти все практически встречающиеся задачи допускают такое разложение. В этом случае рассматриваемая задача распадается на две, так как лагранжиан 1 = Т вЂ )г разбивается при этом на две части, одна из которых содержит только поступательные координаты, а другая — только угловые.
Зти две группы координат будут тогда полностью разделены, и задачи о поступательном и о вращательном движении можно решать независимо друг от друга. Поэтому важно получить выражения для кинетического момента и кинетической энергии тела, имеющего неподвижную точку.
Кинетический момент тела относительно неподвижной точки равен й' 5.1) кипяти ~икяй мочепг и кинечнческля энеегпя 111:1 и, следовательно, уравнение (5.1) запишется в пиле ~==-Хт;( еХ( Х.ч)), или, раскрывая двойное векторное произведение: !. ==- ~~ пЧ(со»1= »;(»; ю)). ч (5,3) Отсюда для составляющей кинетического момента по оси х получим у 2 г~ 7, =.= меам т;(»ч — х";) )— мв ~ т;х;у; — м.~ гпчх;ге (5.4) ч Составляющие вектора А по двум другим осям будут иметь аналогичный вид. Таким образом, каждая из составляющих кинетического момента является линейной функцией составляющих угловой скорости.
Следовательно, векпгор кинетического момента получается из угловой скорости посредсгпво.ч линейного преобразования. Чтобы подчеркнуть аналогию между равенством (5.4) и уравнениями линейного преобразования (4.12), мы запишем 7„в виде !., =- ! „ы + 7,выв + 7е ы, н аналогично для Ее и Ле: Девять коэффициентов 7„, ! „ и т. д. являются элементами матрицы преобразования. Диагональные элементы ей известны под названием осевых моментов инерции; они имеют вид ! „= ~гт,(»; — х;). (5.6) (5 5) Остальные элементы этой матрицы называются ценпгробеокными .иоментами инерции; они выражаются равенствами вида 7ее == »г т ьтгуо и (5.7) До сих пор мы не указывали, какая координатная система применялась нами при вычислении составляющих вектора Е.
Теперь В формулах (5.6) и (5.7) элементы матрицы записаны так, будто твердое тело является совокупностью дискретных частиц. Для непрерывных тел это суммирование заменяется объамным интегрированием, и вместо массы частицы нужно писать плотность. Так, например, диагональный элемент 7м примет тогда вид ! ==~ о(»)(»' — хг)а1». т ~!л. 6 !!Авиация дани ения !Вегас!о Гглг в качестве такой системы нам будет удобно взять систему, связанную с телом ь). Расстояния хн уп г, не будут тогда изменяться со временем, и поэтому элементы матрицы будут постоянными величинами, характеризующими данное тело н зависящими от положения осей х, у, г в теле.
Уравнения (5.5), связывающие составляющие Е с составляющими ш, лщжно заменить одним операторным уравнением, имеющим вид Е =1ш, (5.8) где через 1 обозначен оператор, матрица которого имеет з качестве своих элементов моменты инерции (5.5). Из двух интерпретаций, которые мы дзвали ранее оператору линейного преобразования (см. В 4.2), здесь под 1 следует, очевидно, понимать оператор, действующий на вектор ео, а не на координатную систему, так как векторы Е и оз суть два вектора различной физической природы и разной размерности, а не один и тот же вектор, выраженный в двух различных системах координат. В отличие от оператора вращения оператор 1 является размерным: его размерность равна !масса х',(длина)'-).
Кроме того, он не связан условиями ортогональности. Таким образом, уравнение (5.8) выражает тот факт, что оператор 1, действуя на вектор ш, дает в результате физически новый вектор Е. Хотя мы в полной мере нспользуем аппарат матричной алгебры, развитый нами прн изучении операторов вращения, однако основное внимание мы здесь будем уделять природе н физическому характеру рассматриваемых оперзторов. $ 6.2. Тензоры и диады.
Так как Е = 1ю, то ! можно рассматривать как частное от деления Е на вм Однако известно, что отношение двух величин часто не является величиной того класса, к которому принадлежат рассматриваемые величины, а может принадлежать к более сложному классу. Так, например, частное от деления двух целых чисел, вообще говоря, не является целым числом, а является числом рациональным. Точно так же частное от деления двух векторов нельзя, как известно, определить таким образом, чтобы оно принадлежало к классу векторов.
Не удивительно поэтому, что 1 является величиной нового типа, а именно тензором второго ранга. В трехмерном пространстве тензор Т гУ-го ранга мы будем определять как величину, имеющую 3" составляющих Тгув... (всего л) В главе 4 такая система обозначалась !штрихамн. Тзк как в дальней. шем составляющие по неподвижным осям будут встречаться у нас редко, то для простоты обозначений мы будем штрихи опускать.
$ 5.21 165 ти!зогы н дилаы М индексов), которая при ортогональном преобразовании координат преобразуется матрицей Д согласно следующей схеме *): тйа = ~~ анар„а„„... т (5.9) 1,и~,н. При таком определении тензор нулевого ранга будет иметь только одну составляющую, инвариантную относительно ортогонального преобразования. Следовательно, скаляр являепгся тензорол! нулевого ранга.
Тензор первого ранга имеет три составляющих, преобразуемых согласно равенству л т; = — л, а!1т.. Сравнение этого равенства с уравнениями преобразования векторов [см. (4.14)) показывает, что тензор первого ранга в!свивилектен вектору. Наконец, девять составляющих тензора второго ранга преобразуются по схеме т;, = ~' агаа,!7'„и l м! (5.10) Преобразование л!атрнць! оператора 1 является подобным преобра- зованием с помощью матрацы Д. Поэтому можно написать 1'=А1А ', или, так как матрица Д ортогоцальна: 1' = А1А.
Тогда гу'-й элемент преобразованной матрицы определится с помощью равенства У! =-~ ат1лга! = — ~, агап,1а!, (5.11) ") Мы не будем делать различия между коварнаятиымв и контрваряант. нымк тензорамн, так как зто пе имеет значения в случае 'декартовой гн. стемы координат. совпадающего по форме с (5.10). Отсюда следует, что оператор 1 есть тензор второго ранга. Строго говоря, следует различать тензор 1 и квадратную матрицу, образованную из его составляющих. Определяющим признаком тензора является выполнение определанных правил его преобразования при ортогональном преобразовании координат.
С другой стороны, матрица никак не ограничивается видом преобразований, которым она может быть подвергнута, и может рассматриваться совершенно независимо от еЬ свойств при данных преобразованиях. 166 [гл. б УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Тем не менее, неправильно было бы всегда подчеркивать это различие, так как, оставаясь в пределах ортогональных преобразований, мы будем иметь здесь полную идентичность. Составляющие тензора и элементы матрицы преобразуются в этом случае одинаковым образом, и каждому тензорноиу равенству при этом будет соответствовать некоторое матричное равенство и наоборот.
Эквивалентность между тензорами и матрицами не ограничивается тензорами второго ранга, Так, например, мы знаем, что составляющие вектора, который в сущности является тензором первого ранга, образуют матрицу, состоящую из одного столбца, н поэтому действия над векторами можно трактовать как действия над соответствующими матрицами. Другое полезное представление оператора г можно получить с помощью диадного исчисления. Диадным произведением мы будем называть совокупность двух векторов, заданных в определйнном порядке. Мы будем обозначать его символом АВ и вектор А называть левым множителем, а вектор  — правым. Скалярное произведение АВ на вектор С можно получить двумя путями: АВ С=--А(В С) или С ° АВ =- В(А С).
В общем случае эти произведения не равны друг другу, следовательно, скалярное умножение диад некоммутативно. Следует заметить, что в обоих случаях скалярного умножения мы получаем вектор, отличающийся как направлением, так и величиной от вектора С. Кроме того, можно ввести произведение АВ: СР =-- (А . С) (В,Р). Более удобно, однако, записать его в виде АВ: СР = — С АВ °,Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
