Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Возмущения, вызываемые в молекулярных спектрах этими силами, носят характер взаимодействия вращательных и вибрациошпях уровней молекулы. Злдлчи 1. Локазать, что умножение матриц ассоциативно. Показать, что произ. ведение двух ортогональных матриц есть таяние ортогональная матрица. 2, Доказать слелу|ощне свойства траиспоннрованной и зрмнтовскп сопря. женкой матриц: АВ= ВА, (АВ)т = Втдт.
3. Показать, что след матрицы инвариантен относительно любого по. лобного преобразования. Показать также, что антнсимметричиая матрица остаатся антнсимметричной прн любом ортогональном подобном преобразовании, а матрица Эрмита — при любом унитарном подобном преобразовании. 4. Выразить элементы матрицы вращения А через углы Эйлера [формула (4.46)], выполнив для этого умио.;.ение матриц последовательных поворотов. Убедиться с помощью непосредственной проверки, что элементы матрицы удовлетворяют условиям ортогональностн. 1ЗЗ ьппвмлтикл движения тввпдого тилх (гл. 41 5. Показать, что составляющие угловой скорости по осям неподвижной системы коорлпнат вырансаются через углы Эйлера следующим образом: ы, = 0 соз р+ ф з!п 0 з!и В мя —— 0 3!п р — ф 3!п 0 соз э, , = Ф соз 0+ э, 6.
Шар имеет возможность двигаться по плоскости без скольжения. Выразите условия, накладываемые этой связью, через углы Эйлера. Покажите, что зтп условия неинтегрируемы и, следовательно, связь неголономна. 7. Покажите, жо комплексные собственные значения ортогональной матрицы, описывающей собственное вращение, равны е, где Ф вЂ” угол э И поворота. 8. Докажите, что угол поворота Ф выражается через углы Эйлера следующим образол!: Ф 9+ф 0 соз — = соэ ' соз — , 2 2 2' 9. Пока~к!!те, что три спиновые матрицы Паули антпкоммутативны друг относительно друга, т, е. что имеют место равенства етэу = еуе! (! ти l).
Покюките, кроме того, что атз! — еуз! — — 2!зв (т, /, й — в циклическом порядке) и что э, = 1 прн всех !. 2 10. Покажите, что Оэ можно символически записать в следующем виде: э Оэ =с где правая часть написанного равенства рассматривается как степенной ряд, первый член которого равен единичной матрице 1. 11. Снаряд вылетает в горизонтальном направлении и летит вдоль поверхности Земли.
Покажите, что в результате действия силы Кориолиса вектор его скорости будет отклоняться от первоначального направления, причем угол этого отклонения будет в первом приближении пропорционален времени. Лока;ките, что коэффициент этой пропорциональности равен мсоз0, где в — утловая скорость вращения Земли, а 0 — широ~а, отсчитываемая от полюса. (В Северном полушарии рассматриваемое отклонение направлено вправо.) 12.
В опьпе Фуко маятник подвешивается на длинной нити и колебания его происходят около точки, связанной с поверхностью вращающейся Земли. Вектор его начального количества движения лежит в вертикальной плоскости, проходящей через нить маятника. Показать, что его движение можно представить как колебання в плоскости, равномерно вращающейся со ско- Г стью 2я сов 0 радиан в сутки, где 0 — широта, отсчитываемая от полюса.
аково направление этого вращения? (Если нужно, то можно колебания этого маятника приближенно считать малыми.) ! ш<оминдугы|ля лигкглгзил Рекомендуемая литература Н. Маг де пан и О. М. М игр Ьу, ТЬе Маплешапсз о1 Рйуз)сз апб СЬеш1з!гу. По теории матриц имеется много подробных и полных книг, однако для наших целей достаточна глава 1О указываемой книги, математическая часть которой вполне соответствует вопросам, которые здесь были рассмотрены. В Я 15.5 и 15.6 этой книги рассматриваются параметры Кэйлн — Клейна и спиновые матрицы Паули (хотя с применением сложных обозначений). Н.
3 е11те уз н В. я. уе1(ге уз, Мерпобз о1 Ма!пеша!1са! Рпуз)сз. В этой книге охватывается в основном тот же материал, что и в книге 5!аргенау н Мэрфи, однако здесь делается большее ударение на физических приложениях, В главах 3 и 4 этой книги можно найти многие вопросы, рассмотренные нами в настоящей главе, включая спиновые матрицы Паули н их связь с трехмерными матрицами вращения.
Раздел, посвященный углам Эйлера, изложен в этой книге непонятно, главным образом вследствие плохих рисунков. М. В 6 с Ь е г, 1пггодпсцоп !о Н)яйег А!яеЬга. Эта книга является одним из старых стандартных учебников, и она особенно полезна при изучении теории детерминантов, условий независимости систем уравнений и метода решения линейных независимых уравнений, )1.
Сон тап! и О. Н!!Ьегс, Ме!Ьобеп бег Ма!пеша!Вспеп Рйузрл ч), т. 1. Эта книга в (течение долгого времени являлась классическим введением в математические методы теоретической физики. В главе 1, озаглавленной чАлгебра линейных преобразований и квадратичных форма очень хорошо и ясно изложен вопрос о собственных значениях матрицы линейных преобразований, а также многие другие относящиеся сюда вопросы, В Приложении к главе 1 кратко рассмотрены бесконечно малые преобразования. Н.
О. )4 еж Ь оп!1, Лпа!у!ка( Ме!Ьоб (п ()упаш!сз. Применение алгебры матриц для систематического изучения пространственных вращений редко встречаетсн в учебниках по классической механике (хотя оно стало обычным в квантовой механике). Однако в главе П втой небольшой книги кинематика твйрдого тела изучается с помощью матриц. В частности, матрица вращения выражается здесь через углы Эйлера с помощью умножения матриц трех элементарных поворотов.
В главе ГИ кратко излонген вопрос о движении относительно подвижных осей. Ь. В г !11он(п, ).еэ Тепзепгз еп Месвп)с!пе е! еп Е1аз!!с1!ец Эта прекрасно написанная книга содержит много различных сведений по целому ряду вопросов. начиная с лифференциальной геометрии и кончая квантовой механикой твердых тел.
Она является практически единственным пособием по вопросу о псевдовеличинах, т. е, о таких величинах, которые изменяются при отражении. Глава !П этой книги полностью посвящена этому вопросу. Е. Т, (Ч Ь ! ! !а 1с ег Лпа!упса( Оупаш!сз. Глава ! этой книги содержит материал, связанный с вопросами, рассмотренными нами в настоящей главе. Раздел об углах Эйлера воспринимается с трудом нз-за низкого качества всех рисунков. (Здесь следует сослаться на сделанное нами в 6 4,4 примечание относительно сравнения формул этого а) Имеется русский перевод: Курант Р.
и Гид ьберт В., Методы математической физики, М. — Л., Гостехиздат, 1945. !Ьы книвьштнка двнжяння тнвидого таль )гл. 4) автора с нашими.) В ф 12 втой книги рассматривается связь между параметрами Кейли — Клейна и так называемым сгомографическимэ 1преобразованием. %. Р. О эйно б, Месйап1св. В главе 1Х этой книги кратко рассматривается движение относительно подвижной системы координат и изучаются эффекты, вызываемые центробежной и кориолисовой силами. О. Нега Ьегя, !п1гагеб апб Вешав Яресгга. В втой книге, в особенности в главе 1Ч, Я 1 и 2, подробно рассмотрен вопрос о влиянии сил Кориолиса на спектры многоатомных молекул; однако следует заметить, что для полного понимания этих вопросов необходимо знать основы теории малых колебаний (сч.
нашу книгу. главу 10), а также основы квантовой механики. ГЛАВА б УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. ТВЕРДОГО ТЕЛА Г:щва 4 предоставила нам необходимый кинематический аппарат для исследования движения твердого тела, Углы Эйлера дают нам систему трах координат, которые, хотя и не вполне симметричны, однако удобны для использования их в качестве обобщенных координат, описывающих ориентацию твердого тела. Кроме того, метод ортогональных преобразований и связанная с ним матричная алгебрз дают мощный и язящный аппарат для исследования характеристик движения твврдого тела. Мы однажды уже применили этот аппарат при выводе уравнения (4.100), связывающего скорости изменения вектора в неподвижной системе координат и в системе, связанной с телом.
Теперь мы применим этот аппарат для получения динамических уравнений движения твердого тела в их наиболее удобной форме. Получив эти уравнения, мы сможем рассмотреть несколько простых, но важных случаев движения твердого тела. В б.1. Кинетический момент и кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. Согласно теореме Шаля произвольное перемещение твердого тела можно разбить на поступательное и вращательное. Таким образом, эта теорема указывает на возл>ожность разделения задачи о движении твердого тела на две отдельные части, одна из которых касается только поступательного движения, а другая †толь вращательного. В том случае, когда одна точка тела неподвижна, такое разделение является очевидным, так как в этом случае имеется только одно вращательное движение вокруг неподвижной точки, а поступательное движение отсутствует.
Однако и в более общих случаях движения такое разделение часто оказывается возможным. Шесть координат, описывающих движение тела в соответствии с таким разделением, уже были нами рассмотрены. Это — три декартовы координаты некоторой фиксированной точки твврдого тела (они описывают поступательное движение) и, например, три угла Эйлера, служащие для описания движения тела вокруг этой точки. Если начало подвижной системы выбрать в центре масс тела, то согласно уравнению (1.26) полный кинетический момент его распадается на две части: одну часть, соответствующую 1гл. 5 152 .
глвнення движения гвйедого гала движению центра масс, и другую, соответствующую вращению вокруг центра масс. Первая из них будет содержать только декартовы координаты центра масс, а вторая †толь угловые координаты. Согласно уравнению (1.29) аналогичное разложение можно выполнить и для кинетической энергии, которую можно записать в виде Т = — —, Мпз + Т' (и, О, 6), 2 ь = Х л> > (~; Х яй) з (5.1) где г; и яз†радиус-вектор и скорость 1-й частицы относительно этой точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
