Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Однако единичная матрица второго порядка (матрица 1) тоже должна соответствовать трехмерному тождественному преобразованию. Следовательно, имеются две матрицы: 1 и — 1, соответствующие единичной квадратной матрице третьего порядка. Вообще, если матрица С! соответствует некоторой вещественной ортогональной матрице, то матрица — С! также будет ей соответствовать. Таким образом, мы здесь имеем тот случай изоморфизма между двумя системами матриц, при котором существует взаимно однозначное соответствие между одной матрицей третьего порядка и ларой матриц (С), — О), а не одной матрицей О. В этом смысле можно сказать, что матрица С! есть двузначная функция соответствующей трехмерной ортогональной матрицы.
Эта странность не нарушает наших общих построений. Как видно из изложенного, пространство ио является чисто математической конструкцией, созданной только для того, чтобы установить соответствие между определзнныыи классами квадратных матриц третьего и второго порядка. Нельзя поэтому требовать или ожидать, чтобы такое пространство имело свойства, подобные свойствам, 134 кинвмлтикл движения твйвдого ткал (гл.
4 физического трехмерного пространства. Нужно заметить, что изучению свойств пространства ию математики уделяли значительное внимание; двумерный комлексный вектор, построенный в этом пространстве, называют спинором. Оказывается, что в квантовой механике спинорное пространство несколько больше соответствует физической действительности; поэтому, чтобы учесть влияние «спинаь электрона, нужно его волновую функцию или часть ее представить в виде спинора. Действительно, половинные углы и свойство двузначности внутренне связаны с тем фактом, что спин полуцелый ь).
Впрочем, дальнейшее изложение этого вопроса увело бы иас слишком далеко от классической механики. ф 4.6. Теорема Эйлера о движении твердого тела. Материал предыдущих параграфов дает нам необходимый математический аппарат для описания движения твердого тела. Мы знаем, что ориентация твердого тела в некоторый момент времени может быть задана посредством ортогонального преобразования, элементы которого можно выразить через подходящую систему параметров.
С течением времени ориентация этого тела будет меняться и, следовательно, матрица преобразования будет функцией времени, что можно записать в виде равенства Д = А (г). если оси, связанные с телом, выбраны так, что при Г = — 0 они совпадают с неподвижными осями, то в этот момент преобразование будет тождественным, и мы будем иметь: В каждый следующий момент времени преобразование Д(4) будет, вообще говоря, нетождественным, и так как физически реальное двигкение должно быть непрерывным, то матрица А(г) будет непрерывной функцией времени.
Таким образом, рассматриваемое преобразование будет начинаться с толсдественного и затем непрерывно изменяться, При таком методе описания движения мы можем получить важные его характеристики, пользуясь лишь развитым выше математическим аппаратом. Одной из основных теорем здесь является так называемая теорема Эйлера, согласно которой произвольное перемещение твердого тела, имеющего неподвилсную точвч, можно осуществить посредством вращения вокруг некоторой оси. Перейдем к еб доказательству. Если названную неподвижную точку принять за начало системы, связанной с телом, то перемещение 'твердого тела не вызовет смещения связанных с ним осей, а лишь изменит их ориентацию.
Тогда согласно этой теореме систему осей, связанных с телом, можно *) Хотя волновая функция при вращении может быть двузначной, однако гсе физические величины остаются, конечно, однозначиымк. й 4.6) ТЕОРЕМА ЭВЛЕРА О ДВИЬКЕПИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 136 в каждый момент времени 1 получить посредством одного поворота начальной системы осей (которая совпадает с неподвижной системой координат). Нначе говоря, операция, которую выражает матрица А, описывающая перемещение этого твердого тела, является враигениелг. Но характерной чертой вращения является то, что при этой операции не изменяется одно из направлений, именно направление оси вращения. Поэтому любой вектор, направленный вдоль оси вращения, должен в начальной и конечной системах координат иметь пропорциональные составляющие. Лругое необходимое условие, характеризующее вращение, состоит и том, что величины преобразуемых векторов при этом не изменяются, Это условие автоматически обеспечивается условиями ортогональности и, следовательно, для доказательства теоремы Эйлера достаточно показать, что существует вектор 77, имеющий одинаковые составляющие в обеих системах координат.
Пользуясь матричной символикой, можно, таким образом, написать гх' == А)ч =-- )х (4,73) Это уравнение является частным случаем бо.лсе общего уравнения )х' = А)т = > )с, (4.74) (4.75) и.чи (а „вЂ” ).) Х -)- а „!' + а ш Р. —.— О, 1 а„Х+(а„— >,) )'+ агз2 = О, 1 ашХ+ а „1'+ (аьы — г.) г' .= О. ) (4.76) Уравнения (4.76) представтяют систему трех однородных уравнений относительно составляющих Х, 1', г. собственного вектора 1ч. Поэтому они определяют эти составляющие лишь с точностью до их отношений.
Физический смысл этого состоит в том, что однозначно определйнным является только направление собственного вектора, а не его величина, так как при умножении собственного вектора на любую В котором й — некоторая постоянная, возможно комплексная. Значения 1„ при которых уравнение (4.74) имеет отличные от нуля решения, называются характеристическими или собственными значениями матрицы А. Поэтому задачу об отыскании векторов, удовлетворяющих уравнению (4.74) называют задачей о собственных значениях данной матрицы. Векторы, удовлетворяющие этому уравнению, называют гобственньсии венторани матрицы А.
Таким образом, теорему Эйлера можно сформулировать в виде следующего утверждения; одни.я из собственных значений вегцестееНной ортогональной матрицы, определяю!ней движение твйрдого тела с одной неподвижной точной, всегда являетея + 1. Уравнение (4.74) можно записать в виде (А — й)) )х = О, 136 кинематика движения тВЁРЛОГО талл (гл. 4 постоянную получается опять собственный вектор.
Во всяком случае, будучи однородными, уравнения (4.76) могут иметь нетривиальное решение только тогда, когда детерминант, составленный из их коэффициентов, равен нулю. Таким образом, мы получаем уравнение а„— ), аы аы аяя =:= О, (4.77) а21 а,, ааз )' аю аггХ,„=- >,„Хга '5' .1 или ",~ агуХуа = ~~ Х1787),, (4.78) Каигдая часть уравнения (4.78) имеет вид элемента матрицы являющейся произведением двух матриц: левая часть — произведением матрицы А на матрицу Х с элементами ХАп а правая в произведением матрицы Х на матрицу с элементами Зуа)а.
Последняя матрица является диагональной и ей элементы суть собственные значения матрицы А. Обозначив эту матрицу через 71, будем иметь: 0 0 0 ),, 0 0 0 )и! (4.79) и тогда уравнения (4.78) можно будет записать в виде матричного уравнения АХ = Х) или, умножая слева па )(-1, Х 'АХ =-). (4.80) Уравнение (4.77) известно под названием характеристического или векового уравнения матрицы А; корнями его являются искомые собственные значения. Следовательно, теорема Эйлера сводится к утверждению, что для рассматриваемых вещественных ортогональных матриц характеристическое уравнение должно иметь корень ), =+1.
В общем случае характеристическое уравнение имеет три корня, и им соответствуют три собственных вектора. Мы часто будем для удобства писать Х,, Хя, Ха вместо Х, Г, 2. В этих обозначениях составляющие собственных векторов можно записать в виде Х„, где первый индекс обозначает номер составляющей собственного вектора, а второй †ном самого собственного вектора. Тогда каждое из уравнений (4.76) можно будет записать в виде э 4.6! тзогзмк эйлвгь о движении твйгдого тель 137 Левая часть этого уравнения написана в форме матрицы, подобной матрице Д. 1Чтобы привести ев к виду (4.41), нужно обозначить Х-' через У.) Таким образом, уравнение (4.80) позволяет следующим образом сформулировать задачу об отыскании собственных значений матрицы: нужно найти такую матрицу, которая преобразовывает данную матрицу Д в диагональную.
Элементы полученной диагональной матрицы будут тогда искомыми собственными значениями. Докажем теперь несколько простых лемм, касающихся собственных значений матрицы. 1. Модуль киждого собственного значения ривен единице. Это утверждение следует из ортогональности матрицы Д. Следует заметить, что, хотя все элементы матрицы Д являются вещественными, однако корни характеристического уравнения могут, очевидно, быть комплексными.
В этом случае соответствующие собственные векторы также будут комплексными, и в реальном физическом пространстве такому вектору не будет соответствовать никакой образ. Величина комплексного вектора определяется не суммой квадратов его составляющих, а суммой квадратов модулей его составляющих. Поэтому можно написать: )Л.)г+~ у~г+~Л)я=И* й=~)7(г. (4.81) Но вследствие ортогональности рассматриваемой матрицы модуль комплексного вектора Р не должен изменяться во время преобразования.
Поэтому будем иметь: Ю' ° 77' = Я" Я. Но если гс является собственным вектором, то )7' К = к*>,Л* И, и следовательно, Л*Л = 1, (4.82) что и требовалось доказать. Конечно, эта лемма ничего не говорит об аргументе числа ).. 2. Если ортогональная квадратния матрица третьего порядка является весцественной, то ло крайней мере одно из ес собственных значений также является веитеслгвенным. Характеристическое уравнение (4.77) является кубическим уравнением вида (4.83) 1Р+Иг+се,+а'=О, и так как матрица Д является вещественной, то все его коэффициенты тоже будут вещественными. Но при больших отрицательных й левая часть уравнения (4.83) будет отрицательной, а при больших положительных >.
она будет положительной. Следовя- 138 кинематика движения твйгдого телА [гл. 4 тельно, график функции, изображаемой этим кубическим полиномом, должен по крайней мере один раз пересекать ось абсцисс между ). —. — со и ),.= + сю, что и доказывает данную лемму. Согласно лемме 1 этот вещественный корень может быть равен только +.1 или — 1. Детерминант матрицы ) равен произведению трех собственных значений )ч, й, л . Но так как детерминант любой матрицы инвариантен в отношении подобных преобразований, то это произведение равно также детерминанту матрицы А: ! )гйг=!А~ Рнс. 43. График функцгш, Следовательно, оно может иметь только два стоящей з левой части значения; +1 нли — 1. Лемма 3, которую ура'не"и" (483) мы сейчас докажем, устанавливает, что значение -- 1 должно быть исключено. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
