Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 26
Текст из файла (страница 26)
3то соотношение является условием ортогональности; оно требует, чтобы длина вектора г=хе+уу+ги оставалась неизменной при переходе от худ к х'у'г'. Таким образом, мы видим, что каждой унитарной матрице О в двумерном комплексном пространстве соответствует некоторое связанное с ней ортогональное преобразование в обычном действительном пространстве трех измерений. Рассмотрим это соответствие более подробно.
Пусть В будет вещественной ортогональной матрнцей, преобраауюшей х в х', и пусть О, будет соответствующей унитарной матрицей. Тогда будем иметь: х'=Вх и Р' = О,РО~1. Пусть теперь совершается второе ортогональное преобразование, преобразующее х' в х" с помощью матрицы А: х" ==- Ах' Три вещественных числа х, у, мы будем интерпретировать как координаты некоторой точки в трЕхмерном пространстве. Пусть посредством матрицы О рассматриваемая матрица Р преобразуется следующим образом: 125 э 4.51 илга!!а! Рь! кэйгп! — клей~А Тогда для соответствующей матрицы О, будем иметь: Рассмотрим теперь непосредственное преобразование к в к".
Оно производится матрицей С, равной С= — АВ, а соответствующее преобразование Р в Р" осуществляется посредством подобного преобразования с некоторой матрицей С!в, которая должна соответствовать матрице С. Однако преобразование Р в Р" описывается равенством Р" = а,а,РС,'а,', причем легко показать, что с), а,' =- <а.о,)'. Тогда на основании того, что произведение двух унитарных матриц есть опять унитарная матрица, можно сделать вывод, что Оз = ОеО!. Таким образом, соответствие между комплексными унитарными матрицами второго порядка и вещественными матрицами третьего порядка таково, что каждое соотношение между матрицами одной системы будет справедливым и для соответствующих матриц другой системы.
Две такие системы матриц называются изоморфиы.ии. Элементы ортогональной матрицы А можно выразить черев элементы изоморфной матрицы Сь Из (4.54) и (4.55) следует, что матрица, эрмитовски сопряженная с Сг, равна Поэтому, введя для упрощения выкладок обозначения х+ — — х+ су, х =х — гу, мы сможем записать матрицу Р в виде или, после выполнения умножения: ' (ай+ рТ) г — а,х -', Зех „— 2айз+ а'х — ~'х+ 2ТВл — Т'х -!-ьех е — (иВ+рТ) г+ пух — р Вхе ~' 13О 1гл. 4 кинематика движлння тнгй лого ттлл Приравнивая теперь соответствующие элементы написанных матриц, мы получаем ураннения перехода от неподвижной координатной системы к подвижной; х' = 2)ол — -"вх +йэх, ) х' == 2а3л +а'х — — 3тх,, > (4.62) г = — (во+ гу) л — — айх +,30х . ! Наконец, желая выразить матричные элементы а; через а, 3, т и о, мы можем сравнить уравнения (4.62) с общими уравнениями преобразования (4.14).
Так, например, последнее из уравнений (4.62) можно написать в виде г' = (3о — а1) х + т (а", -~ ро) у + (но+ 3 () л. Отсюда непосредственно следует, что аш = — (,А — ау), а„= т(а;+ 3о), а,в =во+ 4(. Таким путем легко найти матрицу полного преобразования, которая будет иметь вид ~ — (ат — )т+ оэ — — Рт) —,, ( -' — аз+бе — Рт) 36 — а3 — (хт + ут - — 3т -- от) —,, (от+,т+Вт+тэ) -- т (аЗ+(о) ~с( ' ;"о — ху '( й+рб) г; + т"1 Эта матрица определяет ориентацию твердого тела, причем она выражена только через величины а, р, „ о. Следовательно, подобно углам Эйлера, эти четыре величины могут служить в качестве параметров, определяющих ориентацию твердого тела; они иавестны как парамвтрвт Кайла — Клейна в).
Вентественность элементов матрицы (4.63) следует из того, что матрица Р является эрмитовской, ио она может быть доказана и непосредственно, путам вычисления элементов этой матрицы с помощью соотношений (4.54), (4,55). Параметры Кэйли — Клейна можно выразить через углы Эйлера с помощью непосредственного сравнения элементов (4.63) с элементами, выраженными через ф, 0 и ф. Однако проще и более поучи~елька образовать сначала матрицы С(„, С(э и С(4, соответствующие последовательным вращениям, определяющим углы Эйлера, после чего их можно будет объединить в одну полную матрицу.
Так, ") Матрица (4.бЗ) не совладает с соответствующей нвтрицей, указанной, например, в книге Унттекера, стр. 12. В сущности это произошло вследствие различного выбора начальной матрицы Р. Ясно, что имеется много способов образования матрицы, детернянвнт которой равен — гэ, и поэтому специальный выбор твной матрицы является делом удобства. Матрица (4.58), которой мы здесь пользуемся, соответщвует той форме, которую обычно применяют в квантовой механике, 0 4.5! ПАРАМЕТРЫ Кэнди — КЛГЙНА например, при повороте на угол е вокруг оси з мы для величин х„, х и з будем иметь следующие формулы преобразования: х', .=.- е -втх „, х' = е-1тх Заметим, что элементы этой матрицы автоматически удовлетворяют условиям (4.54), (4.55), (4,57).
Следующий поворот совершается вокруг новой оси х на угол 0 против хода часовой стрелки. Определение соответствующик элементов матрицы производится здесь аналогичным образом, но выкладки становятся при этом более утомительными. Поэтому мы просто выпишем эту матрицу, которая получается равной 0 СО5 —, 2 Ов=( 1'5(ив 2 15(П-; (! (4.65) Для проверки этого достаточно убедиться в справедливости равен- ства 0 .. 0 Х !! СО5 —, — 1 51П вЂ”, : х — е ! — гз!п —, 2 СО5— 2 0 1 5!П— 2 0 СО5— 2 0 СО5— 2 0 ! З1П— 2 *.„о — р ~.! — Со .в-,-*н,е~! !1 Х+г(УСО50+55!п0) ясо50+уз!п0 правая часть которого описывает искомое преобразование х'= — х, )1 =- )1 С05 0 + з 51П 0, ' =- — у 5!п 0+ г соз 0. Последний из поворотов, определяющий угол ф, совершается опять вокруг оси г, и поэтому епцз О ОФ= 0,-14,.
(4.66) Сравнивая эти формулы с формулами (4.62), мы видим, что этот поворот характеризуется следующими элементами матрицы О: 7=3=0, аз=е1", 0е= — е-гт, откуда (4.64) )Зй кинематикл движения гзвгдого талл [гл. 4 О, . 0 е'Ф' О и соз — Г з1п — ~~ 2 " 2 О=-ООООС(т=- . о 0 ~ О е — 'Ф1а ~( 2гйп — соз —, е~тж О О е- т1е или е'<О ю есоз— О 2 0 Еег Ф-чца згп —,- 2 е ' ~Фигне соз /! 0 2 (4. 67) (е-' ~Ф-Фи' з1п —, 0 2 Следовательно, параметры Кэйли — Клейна выражаются через углы Эйлера следующим обрааом: и =- ьн~Фыйг соз —, О 2" 6 = Ге~ (Ф вЂ” Юй гйп —, 0 2' о = е ' ~Ф'ьчнз соз —, 0 2' (4.
68) Т =- ге-' <О юи гйп —, 0 2 Заметим, что матрицу Р можно представить в виде суммы Р =хи +уи„+ли„ где и,, ив, и,— так называемые сииновые катрины Паули: (4.69) (4.70) Эти матрицы вместе с единичной матрицей образуют систему четырйх независимых матриц. Поэтому любая квадратная матрица второго порядка, содержащая четыре произвольные величины, может быть представлена в виде их линейной комбинации. Матрицы С1, соответствующие вращениям вокруг координатных осей, выражаются через эти матрицы особенно просто.
Например, матрицу СЬ соответствующую повороту вокруг оси х (формула (4.66)1, можно записать в виде 0 С(, = 1 соз — + си,з1п —. (4.71) В й 4.4 мы получили ортогональную матрицу полного преобразования в виде произведения матриц, соответствующих каждому из трах этих поворотов. Но мы знаем, что вещественные ортогональные матрицы третьего порядка нзоморфны с матрицами Сг. Следовательно, матрица Сг рассматриваемого полного преобразования будет равна произведению Сг С(ОС( . Таким образом, й 4.51 плРАметРы капли — клейнл Аналогично, для матрицы О, описывающей вращение вокруг оси г, будем иметь сов — +! 3!и —, 2 2 а,=~ О О 'т 2 ' ' 2' = 1 сов — л->э з!и —.
(4.72) соя —, — ! з!и —, 2 2 Легко видеть, что для вращения вокруг осн у получается матрица такого же вида, как (4.72), но вместо и, здесь будет стоять а„. Таким образом, все матрицы элементарных вращений имеют аналогичные выражения, в которые входят только единичная матрица 1 и соответствующие матрицы а. Поэтому каждая спииовая матрица Паули связана с вращением вокруг некоторой оси и может рассматриваться как оператор единичного поворота вокруг этой оси. Характерной чертой параметров Капли †Клей и содержащих их матриц является постоянное присутствие в них половинных углов, и с этим связаны некоторые специфические свойства пространства ио.
Например, в обычном пространстве поворот вокруг оси г на угол 2я просто воспроизводит первоначальную координатную систему. Если, например, в матрице 0 предыдущего параграфа положить е> †. — 2п, то будем иметь: соз!> = ), з!и й = О, и О перейдет в единичную матрицу 1, соответствующую тождественному преобразованию. С другой стороны, если ту же подстановку сделать в матрице О )формула (4.64)), то получим: (! е" О )) ~~! — ! О 2к (( О Р >-,„ что равно — 1, а не 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
