Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Произведение корней векового детерминанта должно при всех возможных перемещениях твердого тела быть равным + 1. Рассмотрим простейшую матрицу с детерминантам, равным — 1: — о о~ 8=, ',о — ! о;= — !. о о Преобразование 5 изменяет знак каждой из составляющих вектора. Можно также сказать, что оно изменяет направления координатных осей на противопологкные (рис. 44) и превращает правую систему координат в левую; оно известно как инверсия. У У Г Так как эта операция преобразует правую систему координат в левую, то ясно, что инверсия не может быть осуществлена посредством поворота Рнс' 4!.
Инверсия координатных осей. системы ноординатных осей как твердого тела. Поэтому инверсия не соответствует никакому реальному физическому перемещению твердого тела. Все то, что верно для матрицы 8, в равной мере верно и для любой матрицы, детерминант которой равен — 1, так как каждую такую матрицу можно представить как произведение матрицы 8 на некоторую матрицу, детерминант которой равен + 1, Следова- тельно, такая матрица включает в себя операцию инверсии и поэтому не может описывать поворот системы координат как твердого тела.
Стало быть, преобразования, описывающие движение твердого тела, 9 4.6! теОРемА эйлеРА О движении твеРдого телА 139 должны быть ограничены матрицами, имеющими детерминант, равный +-1. Другое доказательство этой леммы основывается на том факте, что матрица рассматриваемого преобразования может быть получена посредством непрерывного изменения единичной матрицы, детерминант которой, разумеется, равен -+ 1. Поэтому было бы несовместимо с непрерывностью движения, если бы детерминант этой матрицы изменялся в некоторый момент времени скачком, от значения + ! до значения — ! Р). Теперь нам потребуется еше одна лемма. 4.
Число, Аомпленсно сопр»женное собсл>ленному значению, еспь л>анже собслгеенное значение. Это утверждение непосредственно следует из вещественности коэффициентов векового уравнения (4.83). Действительно, если й есть некоторое решение уравнения (4.83), то, образовав уравнение, комплексно сопряжйнное уравнению (4.83), мы увидим, что ),* есть решение того м<е самого уравнения. Таким образом, комплексные собственные значения всегда входят попарно и являются комплексно сооряжйн>ымн по от»оте»ню друг к другу.
Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим для этого возмо>иные собственные значения вещественной ортогональной матрицы с детерминантам, равным + 1. Прежде всего заметим. что все эти три числа не могут быть вешественнымь н различнымн, так как вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь + 1 или — 1.
Далее, если все эти корни будут вещественными и два из пих будут равными, то третий корень непременно будет равен + 1, так как иначе детерминант матрицы не будет равен + !. Исключая, далее, тривиальный случай, когда все три корня равнь> + 1 (что соответствует тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся ешб возможностью является существование одного вещественного корня и двух комплексных. Но два комп.чексных корня всегда являются сопряженными и их произведение равно + 1.
Следовательно, третий корень должен быть в этом случае равен +1, так как в противном случае мы не получим нужной величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение + 1, что и утверждает теорема Эйлера. Направляющие косинусы оси вршцения можно получить теперь, полагая в уравнениях (4.76) ), =- 1 и разрешая их относительно ь) Ортогоиальные преобразования с детерминантам, равным — 1, называют несобственными вращениями в отличие от преобразований с детерминантом + 1, которые согласно теореме Эйлера являются собственными вращениями.
140 кннвмлтикл дви>кгния тввгдого талл [гл. 4 Х, У, Л *). Угол поворота Ф тан>ке может быть найден без особого труда. !!ля этого представим себе, что мы перешли к системе координат, в которой ось е направлена вдоль оси вращения. В этой системе мы вместо матрицы Д будем иметь матрицу Д', описывающую поворот оси г на угол Ф. Эта матрица имеет вид: соя Ф зщФ О вЂ” з!п Ф сов Ф О 0 0 1 След матрицы Д' (см. й 4.5) равен 1+ 2 созФ, и так как след матрицы инвариантен относительно подобных преобразований, то матрица Д должна иметь тот же след. Таким образом, мы получаем равенство ~ аы — — ! + 2 соз Ф, (4. 84) определяю>цее угол поворота через элементы матрицы. Выражая, например, элементы аы через углы Эйлера, мы можем получить угол поворота Ф как функцию углов у, О, >[>, являющихся углами последовательных вращений. Непосредственным следствием теоремы Эйлера является теорема >с1аля, согласно которой произвольное пере.чеисение твердоео тела в пространстве является поступательнь>м пере.чеи1ениеле плюс вращение.
Подробное доказательсто этой теоремы вряд ли является необходимым. Она вытекает из того простого факта, что в случае уничтожения связи, удерживающей одну точку тела неподвижной, появляются три степени свободы для начала координат системы, связанной с телом. ф 4.7. Бесконечно малые повороты. Целесообразно попытаться установить соответствие между векторами и конечными поворотами, описываемыми ортогональными матрицами. Вектор, который мы поставим в соответствие некоторому повороту, должен, конечно, иметь определЕнное направление в направление оси вращения и определанную величину, например равную углу поворота.
Мы сейчас увидим, что успешно осуществить такое соответствие оказывается *) Если некоторые корни векового уравнения являются кратными, то соответствующие собственные векторы нельзя найти таким простым путам (см, Я 5.4 н 10.2). Лействнтельно, если не все собственные значения матрицы общего вила являются различнымн, то ей не всегда можно лнагоналнзнровать, Олнако здесь нас зто не должно беспокоить, потому что, как показывает теорема Эйлера, у каждой нетривиальной ортогональной матрицы корен» Ш 1 являетсн простым.
9 4.71 ввсконечно млльп позо1оты невозмон<ным. Предположим, что А и В будут двумя такими авекторамиг, связанными с преобразованиями А и В. Тогда, поскольку это векторы, они должны обладать свойством коммутатнвности прн сложении, т. е. для них должно выполняться равенство АтВ=В+А Но сложение двух вращений, т.
е. последовательное выполнение одного'нз них за другим, описывается, как мы знаем, произведением полажение инне пажгггпа ново'гение оси у ,г' жсиаоног паломсение Положение после павсгнепа на го'наново оси " Рнс. 45. Последовательные повороты вокруг осей г н у. матриц АВ, и зто умножение не коммутативно, т. е. АВ Ф ВА. Следовательно, векторы А и В не будут обладать коммутативностью ело>кения и позтому их нельзя будет считать в полном смысле слова Полажение паоле погасала йалиженив послг повората на го воноуг оси у наго'вонсгг ии Исеайнае полажение Рнс.
46. Повороты вокруг осей у н г, выполненные в поряд- ке, обратном точу, который изображав на рвс. 45. векторами. Тот факт, что сумма конечных вращений зависит от их порядка, очень хорошо иллюстрируется простым примером, нзображйнным на рнс. 45 и 46. На первом нз них показан поворот призмы на 90' вокруг оси л, а затеи на 90' вокруг осн у, а на втором— те же вращения, но совершаемые в обратном порядке. Конечные результаты, как видно из рнс. 45 и 46, получаются различными. Хотя конечное вращение нельзя представить некоторым вектором, однако это препятствие отпадает, если рассматривать лишь бесконечно малые вращения. Бесконечно малый поворот представляет собой такое ортогональное преобразование, прн котором составляющие 142 кинематика движения твагдого телА (гл.
4 каждого вектора изменяются бесконечно мало. Так, например, если и — некоторый вектор, а х, — одна из его составляющих, то х, 'будет иметь практически такую же величину, как х,, и поэтому можно написать; х, = х, +е„х,-+ е„хе+ еыха. (4.85) Матричные элементы егы е,а и т. д. следует рассматривать как бесконечно малые, и во всех последующих выкладках следует сохранить только те величины, которые не являются малыми более высокого порядка, нежели еьп Уравнения бесконечно малого пре- образования могут быть записаны в виде У х; = х;+ ~~~ е; х~, или г с.~ х, = †.~~ (оц+ е1з) хх (4 86) Если величины з; рассматривать как элементы единичной матрицы, то уравх' пения (4.86) можно будет записать в матричной форме х'=(1 +е)х (4 87) Уравнение (4.87) показывает, что матрица бесконечно малого преобразог вания имеет внд ! + в, т. е. описывает почти тождественное преобразование, отличающееся от него лишь бесконечно малым оператором.
Теперь можно показать, что при бесконечно малых преобразованиях последовательность операций не существенна, т. е. что эти преобразования ком.чутативны. Пусть 1 + е, и 1+ ее суть два бесконечно малых преобразования. Тогда произведение (1 + е,) (1+ еа) будет равно (1+е,)(1-+е,)=1'+е,1+1ее-+е1ее=.1+е,+ее (488) (с точностью до малых более высокого порядка). Но произведение тех же преобразований, взятых в обратном порядке, можно получить из (4.88) посредством перемены мест е, и е, что не окажет влияния на окончательный результат, так как сложение матриц коммутативно. Следовательно, бесконечно малые преобразования являются коммутативными, что устраняет возражение против представления их с помощью векторов. Если А = 1 + е есть матрица бесконечно малого преобразования, то обратная ей матрица будет равна А '=-1 — е. (4.89) 9 4.7[ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПОВОРОТЫ Доказательство этого положения следует из равенства АА = [1 + е) [1 — ) = 1, согласующегося с определением обратной матрицы в форме (4.32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
