Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Хотя в этом смысле пй и не вполне является вектором, однако в большинстве случаев это отступление не имеет значения. Известно, что многие величины, которые обычно считаются векторными, часто наталкиваются на эту «преградуа. Так, например, любое векторное произведение двух обычных векторов нужно считать псевдовектором, так как составляющие произведения С= А )( В равны Сг — — АГВл — АлВ, где 1=1, 2, 3, а г' и м следуют за 1 в циклическом порядке. Но при инверсии составляющие векторов А и В меняют свой знак, и следовательно, знак С при этом не изменяется, что указывает на то, что это псевдовектор.
Примерами псевдовекторов могут служить кинетический момент л. = г )(р и напряжйнность магнитного поля. Скалярное произведение псевдовектора на вектор называется лгевдоскалярож. В то время как истинный скаляр вполне инвариантен относительно ортогональных преобразований, псевдоскаляр изменяет свой знак при любом несобственном вращении. Когда в начале этого параграфа ставился вопрос о связи вектора с поворотом, считалось очевидным, что направление этого вектора должно совпадать с направлением оси вращения, а его величиной должен быть угол поворота. При этом было установлено, что в случае конечных поворотов такой вектор построить нельзя, но в случае бесконечно малых поворотов эта трудность отпадает, так как, описывая эти повороты с помощью матриц, мы приходим к векторам по, определяющим зти повороты. Теперь мы можем показать, что величина вектора Ж и его направление совпадают с теми, которые мы предполагали вначале, когда говорили о векторах конечных вращений, Из формулы (4.94) видно, что влиянию рассматриваемого бесконечно малого преобразования не подвергаются лишь те векторы, которые параллельны л1л.
Однако известно, что векторы, не изменяющиеся при вращении, должны быть направлены вдоль оси этого вращения, следовательно, эта ось направлена так же, как ~Ж, Что касается величины вектора Мл, то ее легко найти с помощью матрицы е в случае, когда ось л совпадает с осью вращения.
Срав. нивая формулы (4.90) и (4.91), мы видим, что величин» вектора г(ьа $4. 8) СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ВИКТОРА будет в этом случае равна углу поворота г(в. Но так как величина вектора (или псевдовектора) инвариантна относительно ортогональных преобразований, то (г(й ( будет совпадать с углом поворота в любой координатной системе. Можно рассуждать иначе. Пусть г(й' обозначает вектор, направленный вдоль оси вращения и равный по величине углу поворота. Тогда, несомненно, будет справедливо уравнение (4.94), в чем можно убедиться с помощью элементарного доказательства. Рассмотрим, например, изменение вектора г при вращении его вокруг оси г на малый угол г((з по ходу часовой стрелки (процедура, соответствующая вращению системы координат против хода часовой стрелки).
Из рис. 48 видно, что с точностью до величин высшего порядка малости относительно Ж? величина (г(г! равна ! А ) = г з" и 0 г((), что совпадает с ~» Х г(г)!. 1(роме того пг должно быть перпендикулярно к г(га и г. Направление этого вектора видно из рис. 48. Из того факта, что бесконечно малое ортогональное преобразование можно р записать в форме (4.94), вытекает также при Овско ечво Атом по- доказательство теоремы Эйлера, не за- вороте, висящее от доказательства, наложенного ранее. Действительно, любое конечное перемещение твйрдого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить с помощью последовательных бесконечно малых перемещений. Но так как бесконечно малое преобразование является вращением, то и конечное преобразование также будет вращением.
$4.8. Скорость изменения вектора. Понятие бесконечно малого поворота дает мощный инструмент для описания движения твЕрдого тела. Рассмотрим какой-нибудь вектор О, например радиус-вектор материальной точки или вектор кинетического момента. В процессе движения такой вектор обычно изменяется и изменение его часто зависит от координатной системы, в которой производится наблюдение этого вектора. Возьмем, например, систему координат, связанную с твердым телом, и рассмотрим вектор, идущий из начала координат этой системы в некоторую точку тела.
Ясно, что в системе координат, связанной с этим телом, такой вектор будет постоянным. Однако наблюдатель, связанный с неподвижной системой координат, будет считать, что составляющие этого вектора изменяются в процессе движения тела. 100 КИНЕМАТИКА ДВИНРЕНИЯ >'ВЕРДОГО ТЕЛА 1гл. 4 Рассмотрим приращения, которые получают за время ив' составляющие произвольного вектора О. В системе координат, связанной с телом, эти приращения будут отличаться от соответствующих приращений в неподвижной системе координат, и это отличие вызывается только вращением системы, связанной с телом. Символически это можно записать так: (йО)тено = (ФО)прост>анстно+ (г1О)арап>ение.
Но приращения составляющих вектора вследствие бесконечно малого вращения координатных осей определяются равенством (4.94). Следовательно, ЫО)врвн>сине = О М ЙЯ откуда получаем следующее соотношение между дифференциалом с!О в неподвижной системе координат и дифференциалом йО, наблю- даемым в системе, связанной с телом; (г!О)пространство = (йО)тоно+ й() Х О.
(4.99) () =() + й61 = ("1 иг)пространство (иг)тело (4.100) Здесь е> — угловая скорость тела (4.10!) т. е. мгновенная угловая скорость вращения тела. Вектор е> направлен вдоль оси бесконечно малого поворота, совершающегося в момент 1, Эта ось называется мгновенной осью вращения.
Равенство (4.100) следует рассматривать не как формулу, относящуюся к какому-нибудь конкретному вектору О, а скорее как уравнение преобразования производной по времени при переходе от одной системы координат к другой. На вектор О, который мы здесь дмфференцируем, не было надо>кено никаких условий. Произвольность этого вектора можно подчеркнуть, записав уравнение (4.100) в операторной форме (-)„„е„а,о„, =(-)„„+ "~ (й! (4. 102) Как и всякое векторное равенство, уравнение (4,100) можно спроектировать на оси любой системы координат.
Рассмотрим, например, вектор =--(" —;,) >пространство Скорость изменения вектора О получается посредством деления (4.99) на дифференциал времени йг: э 4.8[ СКОРОСТЬ нЗМВНВНИЯ ВИКТОРА Он представляет скорость изменения вектора ег, наблюдаемую в неподвижной системе координат. Но если вектор Р уже получен, то его составляющие можно вычислить для любой системы осей, даже для движущейся, что часто оказывается удобным. Однако здесь следует соблюдать осторожность: когда производится проектирование на движущиеся оси, проекция гс оказывается неравной производной М ~И„~ lпрсссГвнснвс Например, скорость изменения вращающегося вектора г, наблюдаемая в неподвижной системе координат, есть некоторый вектор ав, определяемый равенством (4.94). При этом составляющие вектора ю по осям системы, вращающейся вместе с г, будут, вообще говоря, отличными от пуля.
С другой стороны, составляющие самого вектора г будут в этой системе постоянны и их производные по времени будут равны нулю (независимо от того, в какой системе находится наблюдатель). Таким образом, если производную вектора по времени мы берйм в одной системе координат, то вычислять еЕ составляющие в другой системе нужно лишь после того, как будет выполнено дифференцирование этого вектора. Вектор кинетического момента часто удобно выражать через углы Эйлера и их производные по времени.
Для этого бесконечно малый поворот, связанный с ы, следует рассматривать как совокупность трйх последовательных бесконечно малых поворотов с угловыми скоростями ы„=з, ыз — — 9, сс. =ф. Тогда в соответствии с известным свойством векторов бесконечно малых поворотов мы можем считать ю суммой трах отдельных векторов угловых скоростей. К сожалению, векторы ю, ым ь>Р расположены несимметрично: вектор вз направлен вдоль неподвижной оси л, вектор юс — вдоль линии узлов, а юэ — вдоль подвижной оси г', связанной с телом.
Однако составляющие этих векторов относительно любой системы координат можно получить с помощью ортогональных преобразований В С, 0 (см. $4.4). При рассмотрении уравнений движения особенно удобна система осей, связанных с движущимся телом. Поэтому мы получим составляющие вектора ьз именно в этой системе.
Так как вектор ы параллелен неподвижной оси я, то его составляющие по осям, связанным с телом, можно получить посредством применения полного ортогонального преобразования А = ВСЮ [формула (4 46)[: (ю ), = р51пб 51пф, (ю ) = р51пбсозу, (мт)„, =~Рсояй. Что касается вектора свм то он идЕт по линии узлов, являющейся осью 1'.
Поэтому составляющие вектора юс по осям, связанным с телом, могут быть найдены посредством применения только одного ортогонального преобразования В [формула (4.4б)[: (ьэс), = ч соз ", (ю1), = — О 51п ф, (Ю1),, = б. 152 (гл. 4 кинвматика движяния твйгдого талл Наконец, составляющие вектора юй вообще не требуют преобразования, так как этот вектор направлен вдоль оси г'. Складывая соответствующие составляющие отдельных угловых скоростей, мы получаем составляющие полного вектора ы по осям, связанным с телом: ыл = о з1п б гйп ф+ б сов ф, а)ч — со 5!п б соя 6 — з з1п '.), ы, = гсозб+б.
/ (4. 10 3) Тот же призм позволяет выразить через углы Эйлера и составляюгние ю по неподвижным осям. где и, и ю„— скорости данной точки относительно неподвижной и вращающейся систем координат. Применим теперь уравнение (4.102) к вычислению скорости изменения вектора е,. Проделав это и подставив в полученный результат а, из (4.104), будем иметь: ( — ') = а, = ( — ') +ю Х и, = а„+2 (ю Х и,.)+ю Х (ю Х г), (4.! 0б) где через а, и а„обозначены ускорения точки в двух координатных системах.
Поэтому уравнение движения, которое в инерциальной системе координат имеет вид г. = гла„, ф 4.9. Сила Кориолиса. Равенство (4.102) является основным кинематическим уравнением, служащим для получения динамических уравнениИ движения твйрдого тела. Однако оно применимо не только к движению твердого тела, но и к движению материальной точки или системы материальных точек во вращающейся системе координат. Одной из наиболее важных задач этого рода является задача о движении материальной точки относительно системы, связанной с вращающейся Землйй. В классической механике постулируется, что второй закон движения Ньютона [уравнение (1.1)1 справедлив в системе координат с началом в центре Солнца — в так называемой инерпиальной системе ггоардилат. Наземные же измерения обычно производятся в системе координат, связанной с Землей, которая вращается относительно инерцнальной системы с постоянной угловой скоростью ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
