Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тогда углы Эйлера определятся как три последовательных рнс. 42. Углы Эйлера. угла соответствующих поворотов. Прежде всего начнем с поворота начальной системы хуг во Повернув еб на некоторый угол о против хода часово круг оси г. й стрелки, е) Если бы этот детерминант был равен нулю, то не существовало бы обратного оператора В с (зто следует нз правила Крамера) н равенство (4.41) не имело бы счыслз. англ. 4 124 кинематика двнжвння твагдого талл мы перейдбм к координатной системе 0т)".
Полученную промежуточную систему 0тг. мы повернбм затем вокруг оси 0, совершив этот поворот против хода часовой стрелки на некоторый угол 0. Тогда у нас образуется новая промежуточная система — система $'т,'г'. Ось Е будет при этом идти по линии пересечения плоскостей ху и Е'.0 . Эта линия называется линиеИ узлов. Повернув, наконец, оси $ г, Г вокруг оси "' против хода часовой стрелки на угол ф, мы получим требуемую систему х'у'л'.
На рис. 42 эти повороты показаны в различных стадиях. Таким образом, углы Эйлера О, ф, ф полностью определяют ориентацию системы х'у'г' относительно системы хуя. Поэтому они могут быть выбраны в качестве обобщбнных координате). Элементы полного преобразования А можно теперь получить, перемножая матрицы трйх описанных вращений, каждая из которых имеет сравнительно простой вид.
Первый поворот, который совершается вокруг оси г, описывается некоторой матрицей О, и поэтому можно написать: $= — Ох, где $ и х — матрицы, состоящие из одного столбца, Аналогично, переход от системы 0п". к системе 0 т) Г описывается уравнением Г= С~, где С вЂ матри этого преобразования. Наконец, последний поворот, осуществляющий переход к системе х'у'л', описывается матрицей В и поэтому х'= В$ . Следовательно, суммарное преобразование х'=Ах осуществляется матрицей А, равной А = ВС0. Первое из рассмотренных преобразованиИ представляет вращение ч) К сожалению, разные ав~оры по-разному определяют углы Эйлера. Различия здесь не очень велики, однако оии часто затрудняют сравнение получаемых Результатов, например элементов матрицы.
Наибольшая путаница, но-вндимому, возникает нз-за применения некоторыми авторами левой системы координат (йаиример, Осгуд, а также Маргенау н Мэрфи). Более часто, однако, встречаешься лругое отличие, состоящее в отсчете угла линии узлов не от оси л, а от оск у. Это особенно характерно для Британской школы (Уиттекер, Ньюболт, Эйме и Марнафан) н связано с тем, что второй поворот производится не вокруг оси 0, а вокруг оси и. Принятые нами углы ч н 6 п были бы тогда равны соответственно ч+ — и — — б. Иностранные авторы 2 2 обычно пользуются теми зке углами, какими пользуемся и мы, но углы ч и ф у них часто меняются местамя. Этим, однако, еще не исчерпывается возможная путаница; так, например, многие авторы трудов по квантовой механике отсчитывают углы поворота не против хода часовой стрелки, как делаем зто мы, а по холу.
пзгзматеы кэй:!и — клейнз а 4.5! вокруг оси л, и, следовательно, матрица его имеет вид соз ф я!п е! Π— я!п !з сов !7 О ~ О О ,! (4.43) Преобразование, обратное Д, осуществляющее переход от системы, связанной с телом, к неподвижной системе луг, описывается урав- нением х=Д 'х'* и матрица этого преобразования Д ' есть просто транспонированная матрица Д: -! А =А= созесозу — совая!птнпф — я!и' созт — совбв1пусовф в1п0я!пй !! = ~ совфв1пй + совбсовйв!пф — в1пфв1пу+ соя 0 сов тсояф — в1пбсозт ', в1п В в!и ,' з1п 0 соя ф соз В (4.47) Проверку проделанных нами умножений матриц, а также проверку ортогональности матрицы Д мы предоставляем читателям произвести самостоятельно в качестве упражнения.
ф 4.5. Параметры Кайли — Клейна. Лля определения ориентации твйрдого тела применяются и различные другие переменные, удобные в некоторых специальных исследованиях. Такими переменными, (см. уравнение (4.!7)!. Преобразование С представляет собой вращение вокруг оси с, и поэтому О О С=! О совб сйпб !!. (4 А 4) , Π— юпб сов 0 !! Наконец, последнее преобразование есть вращение вокруг оси .', и поэтому матрица В имеет такой же вид, как 0: ! сояф вп!ф О !! В=~ — вгпф сов ф О '.
!' (4.45) О О Вычисляя теперь полную матрицу Д = ВСВ, будем иметвп созфсозя — сов0в1птз1пф созфв!пй+созбсозтв1пф в!пфя!па А =~ — в1пфсову — созбв!пчсовф — в!пфз!пт+сов0совйсозф сов фа!па з1п 0 в1п т — в1п 0 соз т соз 0 (4.46) 1гл. 4 кннвматнкл движв ння тввгдого талл в частности, являются так называемые параметры Кэйли — Клейна, на которых следует остановиться более подробно, так как они представляют известный интерес. Число этих параметров равно четырем, и, следовательно, они не являются независимыми, вследствие чего не могут служить в качестве обобщенных координат.
Они были введены в классическую механику Ф. Клейном главным образом для облегчения интегрирования уравнений при решении сложных гироскопических задач. В настоящее время эти координаты интересны главным образом тем, что они тесно связаны с вопросом о пространственном вращении в квантовой механике. В предыдущих параграфах мы рассматривали ортогональные преобразования в действительном двумерном пространстве с осями х, н х,. Теперь мы рассмотрим другое двумерное пространство, являющееся комплексным.
Оси его мы обозначим через и и о. Общее линейное преобразование в таком пространстве имеет внд: и' = пи+;3о, и' = Ти-+ 3п, (4.48) н матрицей этого преобразования будет о-" ~~ (4.49) ОФО =1. (4.50) Отсюда следует, что Из этого равенства видно, что детерминант ( О ~ имеет модуль, равный единице, но аргумент его может быть при этом произвольным. Поэтому условие ~ О ! = 1, илн, более подробно, пй — 91 =+ (4.51) является дополнительным требованием и не содержится в унитарности этого преобразования. Матрица общего линейного преобразования в двумерном комплексном пространстве имеет восемь величин, так как каждый из четырйх ез элементов является комплексным.
Однако наложенные нами требования уменьшают число независимых величин этой мат- В дальнейшем мы ограничимся лишь такими преобразованиями О, которые являются унитарными и детерминант которых равен + 1. Следует подчеркнуть, что эти требования являются невависнмымн, так как свойство унитарности 1формула (4.39)1 имеет вид: !27 павлмзтгы капли †клей что после подстановки в условие (4.51) дает — (аа" + рр*) — „= 1. Но согласно первому иа уравнений (4.52) величина, стоящая в скобках, равна единице.
Следовательно, (4.54) Отсюда на основании (4.53) получаем 3 = а'. (4.55) На основании четырех полученных условий (равенств (4.54) и (4.55)1 матрицу С) можно записать в виде а ~3 (4.56) с одним остающимся условием (4.57) ем*+ 91т" = 1. Однако мы часто будем предпочитать прежнюю форму записи, т. е. форму (4 49). Рассмотрим в этом пространстве матричный оператор Р, имеющий следующую специальную структуру: г х — гу Р= 1 х+гу (4.5В) рицы. Если условие унитарности (уравнение (4.50)~ раскрыть, то оно запишется в виде следующих уравнений: я*к+ 8*13 = 1, 7 7+'.*й =1, Здесь два первых уравнения вещественные, а третье комплексное' и поэтому в них содержатся четыре условия. Пятым условием здесь будет условие (4.51), накладываемое на детерминант этого преоб- разования.
Поэтому матрица С( содержит только три независимых величины, т. е, как раз такое число, какое нужно для определения ориентации твердого тела в трехмерном пространстве. Некоторые из преобразований, приводящих к независимым пара- метрам этой матрицы, можно выполнить без особых трудностей. Так, например, из последнего уравнения (4.52) получаем (4.53) т г 1гл. 4 кинвмлтнкх движвния тввгдого телА (4.59) Это соотношение вытекает из свойства унитарности матрицы О, для которой эрмитовски сопряжйнная матрица такова же, как обратная матрица О '. Поэтому уравнение (4.59) просто описывает подобное преобразование матрицы Р в случае, когда пространство ив подвергается унитарному преобразованию О.
Следует отметить, что матрица, эрмитовски сопряжвнная с Р совпадает в данном случае с самой матрицей Р. такая матрица называется салсосоприженнои нли эрмигповснои. Кроме того, сумма диагональных элементов матрицы Р, известная под названием шнур или след, будет здесь равна нулю. Но можно показать, что оба эти свойства матрицы (то, что она является эрмитовской, и то, что еЕ шнур равен нулю) сохраняются при подобном преобразовании (см. задачи в конце этой главы). Следовательно, матрица Р' также должна быть эрмитовской и должна иметь шнур, обращающийся в нуль, что возможно только тогда, когда она имеет вид г' х' — гу' (1 )~ х'+су' — г' (4.60) где х', у', г' †вещественн числа. Далее, детерминант матрицы Р также инвариантен в отношении подобйого преобразования (4.59), и поэтому мы можем написать: ~ Р ~ = — (х'+ у'+ аа) — — (х + у + г ) — ( Р (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
