Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Понятие бесконечно малого преобразования можно сделать более наглядным, если рассмотреть специальный случай такого преобразования †бесконеч малое вращение вокруг осн л. Для конечного вращения вокруг этой оси матрица преобразования имеет вид [см, (4.43)[ (, 'созе япр 0 А = [! — яп е соз ~р 0 0 0 ! и, чтобы получить отсюда матрицу. бесконечно малого вращения, нужно заменить угол е на бесконечно малый угол аьу и пренебречь величинами выше первого порядка малости.
Тогда получим: [ о ъ о [ 1.+в=[[ — Нр ! О,'. ,'[' о о [[[ Отсюда для бесконечно малой матрицы е будем иметь: О [р О е=[. — Нр 0 0 о о о, о ! 0[ (=- аьч [( — ! 0 0 [. (4.90) о о о,! Г е= — е, Заметим, что диагональные элементы матрицы е равны нулю, а отличные от нуля элеиенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали, отличаются друг от друга лишь знаком. Такие матрицы называются антисимметричными или ногосимметричными.
Это свойство присуще не только той частной матрице, которую мы сейчас рассматривали, а каждой матрице е бесконечно малого вращения. Действительно, согласно (4.89) матрица А ' равна 1 — е. Но при ортогональном преобразовании обратная матрица А совпадает с транспонированной матрицей А, равной 1 +е. Следовательно, кпньмлтцкх лния щшя Гввгдого талл 1гл.
4 или ззу = уз что является определением антисимметричной матрицы *). Так как диагональные элементы антисимметричпой матрицы всегда равны нулю, то в такой матрице третьего порядка могут быть лишь три различных элемента. Следовательно, не нарушая общности, мы можем записать матрицу а в виде О 112з — (а ~ в=- ~ — гИз 0 г1х, '~. грыз — АР, О (4. 91) Ясно, что величины с1О,, дЯз, НОз можно рассматривать как три независимых параметра, определяющих рассматриваемое вращение.
Покажем теперь, что эти три величины являются составляющими некоторого вектора. Приращения, которые получают составляющие вектора при бесконечно малом преобразовании, определяются матричным урав- нением х — х=~ух=ах (4.92) которое после подстановки в из (4.91) приобретает следующий развЕрнутый вид: г~хг = ха г1~з хз пыз ) г1хз = хз айаг — х, гИз, Йхз — — хг пыз — хз пыы (4. 93) Однако представления равенств (4.93) в векторной форме ещЕ не достаточно для доказательства того, что И2 есть вектор.
Основным аргументом здесь является наличие у д(л известных свойств прн выполнении над ним ортогонального преобразования. Поэтому, если *) Мы считаем, не оговаривая этого специально, что бесконечно малое ортогональное преобразование является вращением. По своему смыслу зто утверждение является очевидным, так как «бесконечно малая инверсияз есть понятие, противоречащее самому себе. Формально указанное утверждение вытекает из аитисимметрнчности матрицы в, так как вследствие этого все диагональные элементы матрицы 1 + в будут с точностью до величин высшего порядка малости равны единице. Поэтому детерминант такого преобразования бтлет равен -1.1, что является признаком вращения. Правая часть каждого из написанных здесь равенств прелставляет одну из составляющих векторного произведения г)( г((л, где г1И— вектор, составляющие которого равны с1ьзг, Юз джаз. Поэтому соотношения (4.93) можно представить в виде векторного равенства г1г = и 'у( г1и, (4.94) вю;конвчно малые нового гы сЯ действительно есть вектор, то под действием ортогональной матрицы В его составляющие должны преобразовываться согласно уравнениям гй21 = ..'~~ йп с( Ын (4.95) Но величины д2, были введены нами как элементы антисимметричной матрицы, и совсем не очевидно, что элементы этой матрицы будут преобразовываться согласно уравнениям (4.95), Как мы увидим позже, формальный вывод уравнений преобразования для составляющих д2~ оказывается довольно сложным.
Однако имеется несколько простых соображений, показывающих, что Ю в основном «выдерживает» эти «испытания на вектор», хотя в одном отношении он здесь терпит неудачу. При ортогональном преобразовании координат посредством матрицы В уравнение (4.92) принимает вид пх =ах (4. 92') где г(х' и х' — преобразованные матрицы, состоящие из одного столбца, а е' — матрица, получающаяся из матрицы е посредством подобного преобразования с помощью матрицы 8: а =ВвВ-'. Можно доказать, что свойство антисимметричности сохраняется при подобном преобразовании посредством ортогональной матрицы (см. задачу 3 в конце этой главы).
Следовательно, матрица в' также » г / является антисимметричной с тремя элементами дйы в~Я», ~Я,. Поэтому равенство (4.92') можно записать в таком же виде, как и равенство (4.93), Проделав это, мы придем к векторному соотношению (4.94') аналогичному соотношению (4.94). Таким образом, элементы анти- симметричной матрицы образуют вектор во всех декартовых системах координат, и поэтому они должны преобразовываться подобно составляющим вектора. Посмотрим, однако, как ведут себя уравнения (4,93) при инверсии 8 (см. в 4.6). Составляющие векторов г и с~с, очевидно, изменяют при этом свой знак, и если вектор Ю действительно является вектором, то то >ке самое должно произойти и с его составляющими. Но уравнения (4.93) сохраняют свою форму во всех координатных системах, что может иметь место лишь в том случае, когда составляющие вектора дР не меняют своего знака.
Таким образом, А(2 обладает всеми свойствами вектора, за исключением свойств, связанных с его поведением при несобственном вращении. 146 !1ть 4 кнне31л1икл движения твегдого 1ел3 Этот вывод можно проверить с помощью уравнений преобразова- НИЯ ДЛЯ 3143, которые мы сейчас получим. Формально величины л1(21 связаны с элементами матрицы В соотношением 3 1 %3 1= 2 3Й~ б 2-1 где 611а — символ Леви-Чивита, равный нулю, если среди индексов д у', А имеются одинаковые, и равный +1 нли — 1 в зависимости от четности или нечетности перестановки ('~') Например, при 1' = 1 все члены нанисанной суммы обращаются в нуль, за исключением членов, для которых т'=2, и=3 нли 1=3, !3=2.
При этом значении ! формула (4.96) будет состоять только из двух членов и примет вид 1 д("1 = 2 (6123323+ 132332). Согласно определению здесь еыз — — 1, а 6132 — — — !. Но так как 332= — 323, то окончательно будем иметь: 1 С~1 (323 + 323) 23' 2 что согласуется с (4.91). Аналогично, составляющие 3И,', являющиеся составляющими вектора 3!Ва в новой системе координат, можно записать в виде Ю' — ! чт 2 л 4 112=„'2' ,,1 -1 2 Так как В =-В, то преобразованные матричные элементы 311 связаны с элементами 3„,„ равенствами В' =У ЬУ "2 ы, и I и поэтому 3!й1 можно представить в виде 1 1!О1= — 7 В .Ь Ь В 1, В Пользуясь символом Леви-Чивита, можно выразить также В „через о1211 В В = ~ 61 В 3гй1, дисконт шо млльш повщ о гы и поэтому составляющие г1В' будут выражаться через составляющие г)В следующим образом: 1 С'~ .
г12; = — — г 3~7Д„,яЬ,лЬа„Ж2п Ьж~ яь ~ь Покажем теперь, что суммирование по /, Ь, ья и л приводит к следующему простому результату: 1 —,,- „; 3;„,И„,яЬ,.Ь„, =- Ьн1В ~. чь и Доказательство этого основывается на следующем выражении для величины детерминанта: Х Ь,ЬпЬ7 Ь „=1В~, 1, вь в где П 7', Й вЂ” числа, получающиеся с помощью четной, т. е. циклической, перестановки чисел 1, 2, 3. Если же ю', /, и будут образовывать нечетную перестановку чисел 1, 2, 3, соответствующую нечетному числу перемен мест, то эта сумма будет отличаться от детерминанта ~ В ~ только знаком.
Поэтому 1 —,ла ецл"Ь~.ЬпЬЬ„Ьач = ! В !. гт а л пня Но из ортогональпости матрицы В следует тождество '~я~ ~Ьз которое можно ввести в правую часть предыдущего равенства. Проделан это, получим Ьп 2 Й "гуайышЬ~~«Ьла = ~~а Ья (дн ~ В )). Наконец, так как величины Ьп являются элементами произвольной ортогональной матрицы, то тождество (4.97) можно считать установленным.
Учитывая это, мы получаем следующие уравнения преобразования для г1й;: (4.98) Преобразование (4.98) почти совпадает с линейным преобразованием (4.95), которое можно было предположить априори; разница между ними лишь в коэффициенте ~ В ~ Поэтому для собственных вращений эти преобразования совпадают полностью, но если 1гл. 4 ~ ннечлгикл лйи кения тввгдо1о 1елг преобразование 8 содержит инверсию, то детерминант ! 8 ( вносит в уравнения (4.98) добавочный знак минус. Этот вывод полностью совпадает с тем, который был получен ранее с помощью менее строгих рассуждений. Векторы, преобразующиеся согласно уравнениям (4.98), известны как лсевдовекглоры.
Следует заметить, что бесконечно малым характером матрицы з мы нигде в этом доказательстве не пользовались, а исходили лишь из свойств ее симметричности. Следовательно, элементы любой атисимметричной матрицы третьего порядка образуют составляющие псевдовектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
