Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Однако сама по себе эта процедура не является доказательством существования вещественной декартовой сислгелгы, в которой матрица тензора 1 ортогональна. Вспомним, например, что, за исключением тривиальных случаев, любая ортогокальная матрица имеет только одно вещественное собственное значение н, значит, для собственных векторов ей имеется только одно эещественное направление (направление оси вращения). В протнвополжность этому мы сейчас докажем, что все собственные значения матрицы тензора 1 являются вещественными, а три вещественных направления еэ собственных векторов взаимно ортогональны н). Пусть Х» будет й-я составляющая 1-го собственного вектора матрицы тензора 1(согласно обозначениям ф 4.6). Тогда уравнения, определяющие собственные векторы, запишутся в виде (гл.
5 )72 ввавнвния движения твйгдого тела Сумму, стоящую в правой части этого равенства, можно записать в виде произведения Я~ Рв, т. е. в виде скалярного произведения собственного вектора )с! и вектора, комплексно сопряженного с собственным вектором Рп Составляя теперь для 1, уравнение, подобное (5,22), и переходя затем к комплексно сопрюкенному уравнению, будем иметь ) 1л Хи =1~Хан Умножая это равенство на Хя! и суммируя по й, получаем ч„' Х1!!агХ„= 1", У„Х,М,Хл,, (5. 24) причем сумму, стоящую в правой части этого равенства, опять можно заменить на Л! ° Р!. Но так как матрица тензора 1 является эрмитовой, то 1га = !т и, следовательно, левые части равенств (5.23) и (5.24) одинаковы.
Вычитая одно из другого, получаем (11 — 1,*) Л',. Л, =- О. Пусть теперь ! равно 1'. Тогда )1! ° Р1 — — ! Р! )' будет некоторым положительным числом, и поэтому левая часть равенства (5.25) будет обращаться в пуль только при 1 =1~, что доказывает нерву|о часть рассматриваемой теоремы. Заметим, что в этом доказательстве использовалось лишь то обстоятельство, что матрица тензора 1 является эрмитовской. Таким образом, собственные значения любой эрмитовой матрицы являются веществен- ныли.
Так как матрица тензора 1 является, кроме того, вещественной, то вещественными должны быть и направляющие косинусы еб собственнь:х векторов Ю . Пусть теперь ! отлично от 1 и все собственные значения различны. Тогда левая часть равенства (5.25) будет обращаться в нуль только тогда, когда И, тс =- О, т. е. когда собственные векторы ортогональны, что доказывает вторую половину теоремы *). Если *) Здесь можно заметить близкую аналогию, связанную с уравнением Штурма — Лнувнлля в теории дифференциальных уравнений в частных пронзводньж, так как известно, что собственные значения дифференциального оператора Эрчпта являются вещественными, а соответствующие собственные функции — ортогонельнымн. Эта аналогия не является случайной, нбо всегда можно установить соответстеве между данным уравнением в частных производных и некоторой матрицей.
Именно такое соответствие имеет место в квантовой теории между матричной механикой н волновой механикой, ь 5,4~ соы.гвюшь» зпгчюшя ~снзогч цпв~ цип ПЗ собственные значения матрицы тензора 1 не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда.
Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора 1 с тем же собственным значением.
Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами, Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому з рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, нм перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства б> дуг направлениями собственных векторов. По это значит, что матрица тенаора 1 является диагональной н ец не требуется диагонализировать.
Таким образом, методы матричной алгебры позволили нам показать, что для любой точки твердого тела существует декартова система координат, в которой тензор инерции является диагональным. Оси этой системы называются главиьгли осями инерции, а соответствующие диагональные элементы 1„1ю 1з — глазными молгентами инерции. Ортогональное преобразование, с помощью которого оси данной подвижной системы координат преобразуются в главные оси, известно как ггреобризованиа к славным осям. Практически главные моменты инерции находятся, конечно, из уравнения, определяющего собственные значения матрицы тензора 1, т. е.
из векового уравнения. Папомннм, как получается это уравнение. Заметим, что при 1 = П 2, 3 уравнения (5.22) образуют систему трйх однородных линейных уравнений относительно составляющих собственного вектора. Поэтому они будут иметь нетривиальное решение только в том случае, когда детерминант нз их коэффициентов будет равен нулю: ! 1я 1,. — == о. (5.26) Уравнение (5.26) является вековым уравнением, к>бическим относительно 1, и три его корня представляют искомые моменты инерции. Для каждого из этих корней можно найти решения уравнений (5.22) и получить таким путйм направление соответствующей главной оси.
Во многих простых случаях о главных осях твЕрдого тела могкно судить непосредственно по его виду. Часто, например, встречаются англ. Ь 114 3 плавания движения тэегдого ч алл случаи, когда рассматриваемое тело представляет собой тело вращения, а начало подвижной системы координат лежит на его оси симметрии. Тогда все направления, перпендикулярные к оси симметрии, будут, очевидно, равнозначными, что указывает на наличие двойного корня векового уравнения. Главными осями будут в этом случае ось симметрии и две любые взаимно перпендикулярные оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к оси симметрии. К понятию о главных осях можно придти и из некоторых геометрических соображений. Исторически они были первыми, которые привели к этом> понятию.
Момент инерции относительно данной оси мы определили как 1=.=м 1 и. Обозначив направляющие косинусы вектора а ~ерез в, 3, т, будем иметь и =Ы+ Я+~Уг, и тогда вследствие симметрии выражения для У его можно будет записать в виде У=У и'+УаяЗа+1„7'+21 еЯЗ+21яЗУ+21, Рю (5.27) Введем теперь вектор р, определяемый равенством и Р== г'У Таким образом, мы связываем величину этого вектора с моментом инерции относительно оси га. Вводя составляющие этого вектора в равенство (5,27), мы можем записать последнее в виде 1 =1 о',+Уя„е'+ У„ре+21 „р,8 +21„р,,р,+ 21, р,р,. (5.28) Рассматривая правую часть этого уравнения как функцию трах переменных, мы видим, что оно является уравнением некоторой поверхности в пространстве вектора р.
Эта поверхность представляет собой поверхность эллипсоида, который называется зллипсоидом инерции. Известно, что всегда можно найти такое преобразование декартовых координат, в результате которого уравнение эллипсоида принимает канонический вид (5.29) и главные оси его оказываются направленными вдоль новых осей координат. Но уравнение (5.29) имеет как раз такой вид, какой приобретает уравнение (5.28) в системе координат, где тензор инерции ! является диагональным, Следовательно, преобразование коор. динат, приводящее уравнение эллипсоида к каноническому виду, совпадает с рассмотренным выше преобразованием к главным осям. О.О) Ог!цип мглод Решении злдлчи О,'!Иижеш!и ЧзегдОГО '!елл 173 Главные моменты инерции определяют длину осей эллипсоида инерции.
Если два корня векового уравнения будут равны, то эллнпсоил инерции будет иметь дзе равные оси и, следовательно, будет эллипсоидом вращения. Если же все главные моменты инерции будут равны, то эллипсоид инерции превратится в сферу. Величиной, тесно связанной с моментом инерции, является радиус инерйии Яш определяемый равенством (Б.ЗО) С помощью радиуса инерции вектор р можно представит! в виде Следовательно, радиус-вектор каждой точки эллипсоида инерции обратно пропорционален радиусу инерции относительно оси, иа которой лежит этот вектор. Э Б.Б. Общий метод решения задачи о движении твердого тела. Уравнения Эйлера.
Весь аппарат, необходимый для решения задачи о движении твердого тела, нами практически уже получен. В некоторых случаях, когда на это тело пало!кены неголономные связи, нам потребуется применить специальные приамы, чтобы учесть их, Так обстоит дело, например, в том случае, когда на тело наложена «связь качения», которая может быть учтена с помощью введения неопределйнных множителей Лагранжа, как это делается в $ 2.4. Если, однако, исключить эти специальные случаи, то, как правило, нам придется иметь дело только с голономными и консервативными системами, а движение таких систем вполне определяется их лагранжианом. Если рассматриваемое тело является свободным, то нам потребуется полная система из шести обобщенных координат: трйх декартовых координат для описания поступательного движения и трах углов Эйлера для описания его вращения.
Кинетическую энергню этого тела можно представить как энергию его поступательного движения вместе с центром масс и энергию вращательного движения, т. е. в виде 1 1 2 2 — Мо'+ — 1!»е. Чтобы получить удобное выражение для второго члена этой суммы, его обычно выражают в главных осях; при этом вращательная энергия приобретает простой вид, получающийся из (5.21) после подстановки туда составляющих вектора ю, выраженных через углы Эйлера. Разумеется, если одна точка твйрдого тела закреплена, то его кинетическая энергия будет состоять только из энергии вра.
щения, и тогда задача значительно упростится, 126 1гл. 5 . ехвньиш лвнжения твагло~~~ 1глл где 1„(я, /з — главные моменты инерции относительно неподвижной точки. Далее, нам нужно подставить сюда составляющие ы, ыв, ы„ выраженные через углы Эйлера, что можно сделать с помощью формул (4.103), связывающих главные оси тела с некоторой неподвижной системой осей. Полученный таким путам лагранжнан будет функцией трах углов поворота: В, з н ф. Заметим теперь, что если некоторая обобщанная координата описывает вращение, то соответствующая обобщенная сила будет составляющей вращающего момента вдоль оси вращения (см. 3 2.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
