Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поэтому обобщенные силы, соответствующие координатам д, в, г), будут составляющими действующего вращающего момента, но только не вдоль главных осей тела, а вдоль линии узлов, неподвижной оси в н подвижной оси г', связанной с телом. Следовательно, из трех этих обобщйнных сил д1г только сила — —, соответствующая углу э, представляет полны11 дф ' момент действующих сил относительно одной из главных осей— оси з.
Поэтому уравнение Лагранжа, соответствующее координате 6, можно записать в виде — ( —,) — — = ж,. дТ дТ (5.32) Далее, из уравнений (4.103) видно, что производную ( содержит только составляющая ыы а саму координату ф — только составляющие о и ыв. При этом имеют место равенства: дв дав = ы, — ы д) д) дш — =1, д6 В ряде случаев изучаемое движение является плоским, например движение пластины в своей плоскости. Тогда направление оси вращения будет вой время перпендикулярным к этой плоскости, т. е.
будет фиксированным в пространстве. В этом случае понадобятся не три угла, характеризующих вращение, а только один такой угол, и можно будет обойтись без громоздких формул, содержащих углы Эйлера. Хотя формально уравнения Лагранжа и достаточны для решения рассматриваемой задачи, однако в случае тела с одной неподви>кной точкой часто удобнее пользоваться другимн уравнениями, известными под названием уравванип Эйлера.
Эти уравнения можно получить следующим образом. В случае, когда действующие силы являются консерватпвнымн, рассматриваемое твердое тело имеет лзгранжиан, равный б.б1 овщий метод гащьчшя аадачп о лвижхнип тат|лого талл 177 С помощью этих формул и формулы кинетической энергии в форме (5.21) мы получим следующие выражения для частных производных, входящих в (5.32): дТ вЂ” =7м, дф з = дТ вЂ” =Ум ы — !и ы„ дф Поэтому уравнение (5.32) принимает внд (5.33) !а~з — ~ м„(У, — Уз) = М,. Далее заметим, что, выбирая одну из главных осей в качестве оси л, мы совершали этот выбор совершенно произвольно. Поэтому в уравнении (5.33) можно переставить индексы и написать аналогичное уравнение для составляющей полного момента относительно любой из главных осей. Таким образом, мы сразу получаем полную систему уравнений движения, которая имеет следующий вид: Т,ш — мям, (Тэ — У ) = И, 1 (5.
34) Это — так называемые уравнения Эйлера для движения твйрдого тела с одной неподвижной точкой. Следует подчеркнуть, что третье из этих уравнений является уравнением Лагранжа для координаты ф. однако два других не являются уравнениями Лагранжа для др координат 0 и м, Это видно хотя бы из того, что производная —— дз не равна М или Юв, а является составляющей момента йГ по линии узлов. Возможен другой вывод уравнений Эйлера, основанный на теореме о кинетическом моменте, согласно которой [см.
уравнение (1.24)). Производная по времени здесь берется, конечно, в неподвижной системе координат, так как это уравнение справедливо только в инерциальной системе. С другой стороны, в уравнения (5.34) входят производные по времени от составляющих вектора ю по подвижным осям. Однако согласно равенству (4.1 00) имеем: ( ~) =( — „) +е>)~а., 1)3 [гл, 5 ~ г ~знания движения газгдого тал ~ и, следовательно, проекция уравнения — =М Ш лг на главную ось х имеет вид Нее, ~+юг ыŠ— И.
гГГ я я $ (5.35) $ 6.6, Свободное движение твбрдого тела. Одной из задач, к которой можно применить уравнения Эйлера, является задача о движении твердого тела, не подверженного действию никаких сил. Центр масс такого тела будет находиться в покое или будет двигаться равномерно. Поэтому, не нарушая общности решения, мы можем рассмотреть движение этого тела в системе, связанной с его центром масс. Тогда центр масс этого тела будет неподвижен, и поэтому кинетический момент будет возникать только вследствие вращения вокруг центра масс. Поэтому уравнения Эйлера будут уравнениями движения этой системы, а так как мы рассматриваем случай, когда моменты сил отсутствуют, то эти уравнения примут вид: !~ ввы (уа Гз) ~,„= ...(у„— ц, 1 $ ~,„', =е,.
„(~,— ~,) ! Конечно, этн уравнения будут описывать также движение твдрдого тела с неподвижной точкой в случае отсутствия внешних моментов. Известны два непосредственных интеграла этих уравнений, выражающих постоянство кинетической энергии и кинетического момента этого тела. С помощью этих интегралов уравнения (5.35) можно проинтегрировать в эллиптических функциях, однако этот путь не очень интересен, так как можно дать изящное геометрическое описание рассматриваемого движения, не требующее полного решения задачи. Оно известно под названием геометрической интерпретации Пуаисо. Рассмотрим координатную систему, образованную главными осями тела, и в этой системе коордннат рассмотрим функцию ~(р)=р 1 р (5. 36) Учитывая теперь, что составляющие кинетического момента Е„ Е„, У., равны произведениям 1 ые, У„ыя, lгые, получим /,о)„— ьвы.,(У,— /з) = И., что совпадает с первым нз уравнений (5,34).
Остальные урав- нения получаются отсюда посредством циклической перестановки индексов. б [1 свовотное дзщкюше тваглого талл 17й Но тзк как вектор р можно определить тагоке как м уу то будем иметь (т )~ = - Егв'х 2 ыф 7 или (тг".), = Е ы Г'Х н аналогично (тгч)з = Ея, . Тгу (тг)з =- 3 у- ы Следовательно, вектор ю будет изменяться таким образом, что соответствующая нормаль к эллипсоиду инерции будет параллельна вектору кинетического момента. Но в том частном случае, который мы здесь рассматриваем, направление вектора Е остается неизменным, и поэтому эллипсоид инерции (жастко связанный с телом) должен двигаться в пространстве таким образом, чтобы сохранялась эта связь между ю и Е (рис. 54).
Покажем теперь, что расстояние от центра эллипсонда инерции по плоскости, касающейся его в точке р, остаатся постоянным. действительно, так как это расстояние равно проекции р на Е, то оно определяется из равенства р Е м.Е 27 Е ыЕ 3~7 Е '1ггл нли я Е Е (б.37) где р — вектор, определйтшый нами в Ь 5.4. Поверхности г". = сопз1 будут тогда эллипсоидами и, в частности, поверхность гч = 1 будет эллипсоидом инерции. Так как направление оси вращения изменяется со временем, то вектор р также будет изменять свой направление, причйм конец его будет в каждый момент времени определять некоторую точку на поверхности эллипсоида инерции. Градиент функции гч определяет направдение нормали к эллипсоиду инерции в этой точке.
Исходя теперь из определения функции тч и учитывзя, что У имеет в главных осях диагональную форму, получаем следующее выражение для частной производной Р по е,: дР д" Л ~гл. б углнпгния лвив Рнпя твйгдого талл Но кинетическая энергия Т н кинетический момент С являются некоторыми константами рассматриваемого движения, и, следовательно, касательная плоскость будет отстоять от центра эллипсонда инерции на постоянном расстоянии.
Однако так как нормаль к этой плоскости направлена вдоль А и, следовательно, имеет неизменное направление, то эта плоскость является неподвижном. Поэтому рассматриваемое движение можно реализовать посредством качения эллипсоида инерции по некоторой неподвил<ной плоскости; центр элляпсоида инерции находится при этом в фиксированной точке Э:втсоиа иилхил Ряс. 5Е Леижение эллнпсовда инерции по непо- движной плоскости. пространства. Это качение происходит без скольжения, так как точка касания эллипсонда инерции с неподвижной плоскостью определяется вектором р, который направлен по мгновенной оси вращения, т, е.
по той прямой, все точки которой находятся в данный момент а покое. Кривая, описываемая на эллипсоиде инерции точкой касания, называется полодлел, а аналогичная кривая на неподвижной плоскости называется герполодией *). Геометрическая интерпретация Г!уансо дает полное представление о движении тела, не подверженного действию никаких сил. Ориентация неподвижной плоскости Пуансо и еЕ расстояние от центра эллипсоида инерции определяется значениями Т н А, которые находятся из начальных условий. Задача об определении полодии и герполодин становится тогда чисто геометрической задачей. Направление угловой скорости определяется направлением вектора р, а мгновенная ориентации тела определяется ориентацией эллипсоида инерции, который жЕстко связан с движущимся телом.
"') Выражаясь коротко, можно сказать, что полодия катится без сколь- жения по неподвижной герпололии. $ 5.6) СВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 18! Последнее из этих уравнений показывает, что юз является величиной постоянной и поэтому может рассматриваться как одно из известных начальных данных. Из двух остальных уравнений можно исключить ю или юв, что можно сделать посредством дифференцирования одного нз этйх уравнений. Взяв, например, производную по Времени от левой и правой части первого нз уравнений (5.38), получим ггю = (гг гв) ю ю Подставив теперь сюда вместо мв его выражение из второго уравнения (5.38), будем иметь !1'т 'з) ма 1 (5.39) Из уравнения (5.39) видно, что м изменяется по гармоническому закону с угловой частотой (5.40) Поэтому функция ы,(1) может быть записана в виде ог, = А з1п Ы, (о.41) где А — некоторая постоянная.
Функция юв(1) может быть найдена посредством подстановки (5.41) в первое уравнение (5.38) и решения его относительно ыв. Проделав это, Вайдам юв — — - А соз йу. (6.42) *) См., в частности, ЪЧ е Ьз !ег, Вупапмсз о1 Рагпс!ез апо й!й!г! Вог!!ез, а также статью йг ! и !г е1В1 а и п ппг! 0 г а гп гп е ! в т. т' Напг!Ьпс!г г!ег Рьузгк и мопографщо 1с К ! е ! и г1по' А. 3 о щ ~п е г1 е ! о, Твеог!е оез Кгеые!з, Подробное описание рассмотренного движения с позиций картины Пуансо можно найти в ряде различных книг *). В случае симметричного тела эллипсоид инерции становится эллипсоидом вращения, а полодия превращается в окружность с центром на оси симметрии.
Вектор угловой скорости описывает в этом случае поверхность конуса, следовательно, вектор ю иреаассируегп вокруг оси симметрии тела. В случае симметричного твердого тела нетрудно получить аналитическое решение, которое подтверждает прецессионный характер рассматриваемого движения, исследованного нами с помощью интерпретации Пуансо. Примем ось симметрии за ось я. Тогда будем иметь гг =-гз, и уравнения Эйлера (5.36) примут вид: ~г л (~! ~а) а В* (5.38) ! г'аюа = О. ! (82 [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
