Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Точно таким же путеи можно образос вать релятивистский гамильтониан (7.23) из гамильтониана (7.20); этот способ часто применяется в квантовой механике. Гамильтонианы (7.20) и (7.23) являются релятивистскими лишь в том смысле, что они приводят к правильным релятивистским уравнениям движения. Однако они не являются ковариантными. Ковариантный гамильтониан Н' можно полу шть, применяя преобразования Лежандра к ковариантному лагранжиану 7.', рассмотренному в предыдущей главе. При этом вместо времени г следует пользоваться инвариантным временем -.
и вместо обобщенного 3-импульса рассматривать обобщенный 4-импульс. В релятввистскнх обозначениях ковариантный гамильтониан частицы запишется в виде Н' = р„ил — 1.', (7,24) Э 7.3) твоввмы о сохглнгнии и фили щский смысл глмильтонилнл 245 В частном случае, когда действующие на частицу силы являются электромагнитными, лагранжиан Г равен 1 7, = — !ггигггг + — Агиг 2 с !сьг, уравнение (6.57)), а соответствующие импульсы равны р, =.— ти„.+ — А, и с )с44.
уравнение 16.58)). Тогда согласно 17.24) будем иметь ! д ! И =-ти,иг+ — А;и; — -;- тиги; — — — Аги, = — — ти,ию с''' 2 ' '' с 2 или, вводя скгда гг„полу4гаехг (7.26) Если пользоваться полученным ковариантным гамильтоннаном, то пространственная часть уравнений 17.25) приведет нас, очевидно, к пространственным уравнениям движения, Однако, кроме того, появятся еще два уравнения, получающиеся при ),= 4.
Одно из них устанавливает тот факт, что р, пропорционально полной энергии. Действительно, полагая в первом уравнении(7.25) ), = — 4, будем иметь: гт дН' 14 с = — сс, с~ +7') с' г'Е Этот результат уже отме~галса нами ранее. Другое из этих уравнений лгожно записать в виде 1 др4 1 дН' или дН,е дН' ")4с 1 32 дг ' дг Но из сравнения форлгул 17.26) и 17.23) следует, что дН' 7' дгН дс тса сгг ' и поэтому предыдущее равенство принимает вид дН дН дс дс' что мы уже имели раньше в равенстве (7.19), (гл. 7 УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНЛ Ковариантный гамильтониан, так же как ковариантный лагран>киан, можно образовать только в том случае, когда потенциалы всех действующих сил выражаются ковариантным образом.
Мы знаем, однако, что это возможно не всегда и что в настоящее время электромагнитные силы представля>от единственный простой пример, когда ковариантная формулировка оказывается возможной. Таким образом, мы видим, что принципиально релятивистская механика также может быть построена на основе метода Гамильтона. Однако для упрощения изложения мы большую часть последующих рассуждений будем проводить в рамках нерелятивистской механики. ф 7А. Вывод уравнений Гамильтона из вариационного принципа.
Мы знаем, что уравнения Лагранжа являются следствием вариационного принципа Гамильтона (см. э 2.1). Более того, вывод уравнений Лагранжа из этого принципа имеег определенное преимущество, так как он применим и к системам, выходягцим за рамки обычной механики. Поэтому целесообразно найти такой вариационный принцип, который приводит непосредственно к уравнениям Гамильтона. Мы увидим, что это можно сделать с помощью обь>чного принципа Гамильтона (7.2?) если воспользоваться равенством (?.8) и выразить в нем 7, через гамильтониан О.
Проделав это, мы вместо равенства (7.27) получим и (7.28) или (7.28') Равенство (7.28) иногда называют жобифипи?>званным принципом Гамильтона. Мы будем пользоваться им главным образом в связи с каноническими преобразованиями (см. гл. 8), сейчас же мы покажем, что этот принцип приводит к уравнениям движения в форме Гамильтона. Фигурируюгцая в равенстве (7.28) о-вариация была рассмотрена нами в 9 2.1. Термин «вариация интеграла» мы там понимали в смысле изменения интеграла при изменении траектории изображающей точки в пространстве конфигураций. При этом начальная и конечная точки такой траектории оставались неизменными (см.
рис. 9). Кроме того, на вариацию интеграла накладывалось ещй одно условие, состоящее э 7.4) вывод >.глвнений глмильтонл из влгилционного пвинципл 247 в том, что при варьировании траектории изображающей точки время 1 не варьировалось. В частности, моменты времени, соответствующие начальной и конечной точкам траектории, оставались при всех вариациях неизл>енными, и поэтому полное время движения являлось для всех траекторий одним и тем же.
Таковы условия, накладываемые на вариацию интеграла, стоящего в правой части равенства (7.28). Мы знаем, что процесс варьирования интеграла можно свести к вычислению дифференциалов, для чего достаточно рассмотреть однопараметрическое семейство возможных траекторий в пространстве конфигУРаций. КооРдинаты Гы становЯтсЯ тогда фУнкциЯми времени 7 и параметра а, указывающего, какая траектория применяется при вычислении интеграла Л Поэтому этот интеграл можно рассматривать как функцию а, а вариации входящих в него величин можно отождествить с их дифференциалами. Символически это можно записать следующим образом: (7.29) Именно такой метод мы применяли при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона.
Этот метод мы применим и сейчас, но только вариации величин д и р будем считать теперь независимыми, так как в методе Гамильтона координаты д и импульсы р рассматриваются как равноправные координаты, описывающие состояние системы. Записывая равенство (7.28) с помощью параметра а, мы будем иметь 87=.— да==дк — ! ь р>>7> — Н(йн р, ~) Ж=О, дг д ГГ или ди ~ ~ ( — л— гу +р.---' — — — '- — — — — ')И=О (7.30) -т андре ° дл, дН дй, дН др;~ ~(,д ' ' д. да> да др;д. 7 (так как 7> и 8а не зависят от а).
Кроме того, так как варьирование производится при постоянном г, то в члене — можно изменить да> да порядок дифференцирования по г и по а и заменить этот член на — ~ — > . Тогда получим д гдд,т В ~да) ' с, р — дг=- ~ р — — и>>= — р,- — ~ — ~ р; — — дг, ду~ Г д ддг дд> ~й Г дй> 'да,) Зд>да >да~, 3 ' да г, ь ь причйм первое слагаемое правой части этого равенства будет равно нулю, так как все варьируемые траектории проходят через одни и 248 [гл. 7 квхвнвния глмнльтонл те же конечные точки, и поэтому при д = г, и 1 = 1а производ- ная — обращается в нуль.
Учитывая это и полагая дд, д« дх — '=Зд; дд, и оо — =ьр др, д« [см. [?.29)[, мы можем равенство (7.30) записать в виде ~ь~ ~ьрг [ д,-- — ) — ьд, (р,. + — — )~ Н О. Но так как вариации дд; и Бог являются независимыми, то этот интеграл может обращаться в пуль только тогда, когда равны нулю коэффициенты при вариациях 8д; и ьро Таким образом, мы получаем равенства дтт д =-— дО дд; ' совпадающие с уравнениями Гамильтона. Требование независимости вариаций 6дг и бог играло в этом доказательстве весьма существенную роль.
Это обстоятельство подчвркивает основное различие между методами Лагранжа и Гамильтона. В методе Лагранжа поведение системы описывается ее обобщенныыи координатами д; и обобщенными скоростями дп Но переменная д; тесно связана там с переменной до так как она равна производной от д; по 1. Поэтому при выводе уравнений Лагранжа мы должны были выражать вариации 8д; через независимые вариации ьдо Это делалось с помощью интегрирования по частям, в рек едет зультате чего появлялись члены — [ —.), приводившие к уравнед~ .дд, пням движения второго порядка.
Из модифицированного же принципа Гамильтона мы получили уравнения первого порядка, и это удалось сделать только потому, что в отличие от Ьд; мы считали йрг не зависящими от йдо Это значит, что обобщднные импульсы мы считаем такими же независимыми переменными, как обобщйнные координаты, и считаем, что р; связаны с д; и Г только уравнениями двиокеная, а не каким-либо заранее заданным соотношением.
Таким образом, ни систему переменных д,, ни систему переменных оа мы не рассматриваем как основную, а считаем эти переменные одинаково независимыми. Только увеличивая таким способом число независимых переменных с и до 2п, мы можем получить уравнения движения первого порядка. В связи с этим следует заметить, что термины «координатыь и «импульсыь являются неудачными, так как они вызывают представление о пространственных координатах и таких величинах, как количество движения или кинетический момент э 7.51 пгинцпп нлимгньшвго действия 249 Теперь, однако, им следует придать более широкий смысл и считать, что разделение переменных на координаты и импульсы есть разделение переменных, описывающих движение, на лве независимые группы, связанные друг с другом посредством уравнений Гамильтона почти симметричным образом.
ф 7.6. Принцип наименьшего действия. другим вариацнонным принципом, подобным принципу Гамильтона, является принцип наименьшего действия. Если стремиться к наиболее общему определению, то под лействием в механике следует понимать интеграл Принцип наименьшего действия утверждает, что в системе, в кото- рой Н остайтся постоянным, справедливо равенство (7.31) где ц — так называемая полная вариация, определяемая ниже. Как мы уже говорили, й-вариация соответствует виртуальным перемещениям системы, т.
е. таким перемещениям, при которых время г оставляют неизменным, а координаты варьируют в соответствии со связями, наложенными на систему. Такое перемещение не всегда принадлежит к числу перемещений, которые могут иметь место прн движении системы. Это булет, например, в случае связей, зависящих от времени. Поэтому движение, получающееся в результате й-вариации, может бьшь таким, что гамильтониан его не будет постоянным. В противоположность й-вариации полная вариация Ь связана с перемещениями, которые обусловлены не только варьированием траектории, но и изменением времени г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
