Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 55
Текст из файла (страница 55)
14с) Как и ранее, мы из (8.14а) можем получить 1;!в как функции о, Р, г, и тогда уравне)вия (8.14Ь) дадут нам новые импульсы Р;, выраженные через старые переменные. Наконец, в случае, когда в качестве независимых переменных берутся импульсы рв и Р;, производящая функция Р может быть связана с Р, двойным преобразованием Лежандра Р4(Р Р О = Рв (Ч Ф ")+Х Ргев Х Рауь (8.16) в Тогда равенство (8.8) примет вид — ~ЧРв — И= — ~'. ОвРв — К+!, Р,(Р, Р, 1), (8Л8) н поэтому будем иметвл дРв Гы =' —— др~ ' бь =— дР, дР в (8.! 7а) (8.1 7Ь) К == Н+ —. д7'в дГ Во всех этих рассуждениях время рассматривалось как инвариантный параметр, не преобразуюшийся вместе с координатами и импульсами.
Такое преобразование времени автоматически совершается в релятивистской теории уравнений Гамильтона, где инвариантный параметром системы является местное время т, а обычное время ! играет роль одной нз координат. Мы, однако, сейчас увидим, что в обычное каноническое преобразование тоже можно ввести изменение масштаба времени (отличиое от того, которое дается преобразованием, Лоренца). (8, 17с) Приравнивая теперь соответствуюшие коэффициенты, мы приходим к уравнениям: (8.14а) й 8.1! УРАВНЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОВРАЗОВАНИП 265 Так как мы не будем более считать время инвариантным, то нужно ввести некоторый другой параметр, которЫй зайМВт теперь его место.
Роль такого параметра может играть любая инвариантная величина, характеризующая степень продвижения системы Вдоль ей траектории в пространстве конфигураций. Обозначая этот параметр через 6, мы можем записать модифицированный принцип Гамильтона в виде 8р р 1 ~ ~ Д Р,Р1 "' — 77 ~' ! Р1 - Р. 8, или Форма этого равенства показывает, что Р можно рассматривать как (и+-1)-ю обобщзнную координату, а Н вЂ” как соответствующий ей обобщвнный импульс" ). Поэтому модифицированный принцип Гамильтона можно записать также в виде 8, в+1 э3' Х РФЬ'д0 =-О.
1=1 где через д. обозначена производная — . После канонического прер длг 1 дв образования переменных (включая Р) этот принцип примет вид 8р рр.р1 д ! ~~р ~Р8О8818)=0, 8, 8=1 где О„+1 — преобразованное время, а Р„,— новый гамильтонпаи К. Следуя теперь той же процедуре, которая применялась нами раньше, мы можем ввести производящую функцию 0(1тп Р;) н с ев помощью получить (2п+ 2) равенства: д0 ,17 дл, ' дС7 дРг ' определяющие искомые уравнения преобразования. Таким образом, мы можем получить канонические преобразования, содержащие изменения масштаба времени.
Однако в дальнейшем мы всюду будем предполагать, что время является инвариантом, не под- вергающимся преобразованию. э) Это немного папомииаег релятивистское равенство 778 — — !Н!с, где РА — ОбОбЩВНЯЫй ИМПУЛЬС, СООтВЕтСтВуЮщий коорпннате ЛА= Гсб Однако это сходство является чисто формальным и не указывает па какую-лнбо физи- ческую связь со спецнальпой теорией относнтельности, 266 1гл.
8 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОЕРАЗОВАНИЯ ф 8.2. Примеры канонических преобразований. Рассмотрим теперь несколько простых, но важных примеров канонических преобразований, осуществляемых различными производящими функциями. Пусть производящая функция типа Р' имеет вид ~2 ~чг 2' (8.18) В этом случае мы нз уравнений (8.11) будем иметь: р; = — = Ро дР2 диг дР2 1ч'2 = дрг К =- Н. Следовательно, новые координаты будут в этом случае совпадать со старыми, т.
е. рассматриваемое преобразование будет тозкдественным. Более общим является преобразование, осуществляемое производящей функцией РЕ=ХЯЧ бв ')Рэ (8.19) где уз †произвольн функции указанных аргументов. В этом случае мы с помо:чью уравнений (8.11Ь) получим следующие выражения для новых координат ф: 4йг = д~' =Л(ч, с) (8 20) Следовательно, при таком виде производящей функции новые коор- динаты будут зависеть только от старых координат и от времени, но не от старых импульсов. Поэтому такое преобразование принад- лежит к числу точечных преобразований, определяемых уравн.- ниями (8.3).
Но так как функции уг в равенстве (8.19) являю ся совершенно произвольными, то можно заключить, что все точеч сне ьреобразоеинил лвллютсл каноническими. Уравнение (8.11с) выра- жает новый гамильтониан таких преобразований через старый и через дрг производные — '. дг Ортогональные преобразование, подробно рассмотренные нами в главах 4 и 6, являются частными случаями точечных преобразо- ваний. функции ~; выражаются в этом случае равенствами У, =Ог= ~„агаев, и поэтому ироизводящзя функция Рз имеет внд Ра = ~~~~ агвг(ЕР,. Г,А пгимзгы клноничвских пгвовглзовлний 267 Новые импульсы находятся в этом случае нз уравнений (8Д!а), которые будут иметь вид Рл = — =,7а аьтР; др, ч дда л' я (8.2!) Для того чтобы разрешить эти уравнения относительно Р,, достаточно умножить их на ад„ и просуммировать по Й: ~ а~лРл — — ~ УадьаезР; = ) йтдР; л гя 3 ( так как из условий ортогональностн следует, что .~~а~лаы=-8~~) ° л Таким образом, окончательно будем иметь Рз = ~~', агарь.
в (8.22) Р,=Х дьФ,. Ф Согласно (8.9а) и (8,9Ь) уравнения преобразования бядут тогда иметь вид: дР„ ддз др) Р = — — =.— д, д9~ т. е. это преобразование меняет местами координаты и импульсы (новые координаты совпадают здесь со старыми импульсами, а новые импульсы не отличаются по существу от старых координат). Этот простой пример может служить иллюстрацией равноправного положения обобщенных координат и обобщенных импульсов, в равной степени описывающих движение системы в уравнениях Гамильтона. Различие между ними практически состоит лишь в названии, так как мы видим, что, поменяв эти названия, мы получили всего лишь изменение знака.
Поэтому мы можем отбросить наши первоначальные представления о д как о пространственной координате и о р как о произведении массы на скорость. В данном случае из уравнений дН дН 4= —, Рз= —— дРя ' дф~ непосредственно видно, что это преобразование является канониче- ским. Бели подставить адесь ()~ вместо Р, и — Р; вместо ф, то этн уравнения сохранят каноническую форму. Отсюда видно, что импульсы здесь подвергаются тому же ортогональному преобразованию, что и координаты (как и следовало ожидать заранее). Интересное преобразование получается при производящей функции Р,(д, ф Р), равной (гл.
8 268 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В качестве последнего примера рассмотрим производящую д',, кцию Л1 Р = — ек)ас(РЯ, 1— (8,23) где т и ы — постоянные, смысл которых будет выяснен позже. При такой производящей функции уравнения (8.9а) принимают вид: и = — = вген7С18.Я, дР1 дд дР1 пгвдз Р =- — — = д1,) 21!а1 1',> ' (8.24) (8.26) Эти уравнения можно было бы решить относительно 1," и Р, выразив эти величины через д и р, но для наших целей более удобно посту- пить наоборот: выразить старые переменные через новые. Из урав- нения (8.25) имеем Г2Р 17 =- ~~ — згпЯ.
тм (8. 26) Подставив это выражение в равенство (8.24), получим р =''11' 2ттР соз Я. (8.27) Так как производящая функция (8.23) ие содержи г явным образом 1, то новый гамильтошгаи К равен старому гамильтопиану Н, и поэтому нам остаатся только выразить Н через Я и Р. Пусть константы пг и ы обозначают массу и собственную частоту линейного гармонического осциллятора.
Потенциальная энергия его, как известно, равна ада 2 где д — коэффициент восстанавливающей силы. Поэтому гамильтопнан этого осциллятора имеет вид Н = — + — =- — + —, 111ез лаа рз /гф 2 2 21и 2 или, заменяя д1и на гчз, получаем в в!юа Н = — + — 171. 2т 2 (8.28) Таким ооразом, этот гамильтопиан является циклическим относительно гз, и поэтому импульс Р должен быть величиной постоянной, Подставив сюда правые части уравнений (8.26) и (8.27), мы получим следующее выражение гамильтониана Н через новые переменные: Н = — тР созе 1)+ оР з1пв ь1=-. тР. (8.29) 8.3! ннтю'глльныд пнвлгилнты пглнклге 289 Пз равенства (8.29) видно, что он равен полной (постоянной) энергии, деленной на ы: Р= —.
Е Уравнение, определяющее с2, приннмаег теперь следующий про- стой вид: дН О === — =-: ы, дР Решая его, находим О.== ы! )-я, где и — постоянная интегрирования, определяемая начальными условпямн. Из равенства (8.2б) получаем следуюп!ую зазнсимость д от!: 2Е д =: —. ~г — з!и (ыт + я), (8.30) Эта формула дает хорошо известное решение задачи о гармоническом осцилляторе. Может показаться, что применение канонического преобразования к задаче о гармоническом осцилляторе подобно «стрельбе из пушки по воробьям». Однако мы имеем здесь простой пример того, как посредством канонических преобразований можно сделать все координаты циклическими. Рассмотрение общих схем решения механических задач с помошью этого метода мы отложим до следующей главы, а сейчас перейдем к изложению общих свойств канонических преобразований. у =ЦХ ()гпрг 3 (8.3!) ф 8.8.
Интегральные инварианты Пуанкаре. Ианоническими преобразованиями мы называем такие преобразования, при которых уравнения Гамильтона сохраняют свою форму. Однако при канонических преобразованиях существуют и другие инварианты, в частности интегральные иняарианты Пуанкаре. К рассмотрению их мы сейчас н перейдзм. Подобно тому как мы ввели пространство конфигураций, мы введйм сейчас так называемое фазовое пространство, под которым будем понимать 2л-мерное декартово пространство с координатами Ч~ ° Ч„ ры ., !т». Тогда каждому состоянию данной механической системы будет отвечать определйнная точка этого пространства.
Эту точку можно рассматривать как изображение системы, отражающее не только конфигурацию этой системы, но и еб импульсы. Теперь мы можем перейти к формулировке теоремы Пуанкаре. Эта теорема гласит, что [гл. М '270 Канонические пгвовглзовлння дзт д(ии рт) ди д(и, о) дог ! до двт ди дР; де и имеет внд йу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
