Г. Голдстейн - Классическая механика (1119841), страница 50
Текст из файла (страница 50)
здесь имеется полное сходство. Однако между ними имеется и существенная разница. Если какая-нибудь координата, например д„, является циклической, то лагранжиан имеет вид 7-=7.(Ч ° ° Ч - Ч ° ° Ч г) т. е. содержит все обобщенные скорости. Поэтому, несмотря на наличие циклической координаты, нам всй же приходится решать задачу с и степенями свободы.
В противоположность этому при описании системы с помощью гамильтониана циклическая координата 7„действительно может быть названа еигнорируемой», так как при этом импульс р„будет равен некоторой постоянной а, и поэтому Н будет иметь вид Н=Н() ° . 7, ры р. * Г) Таким образом, гамильтониан будет в этол» случае содержать только и — 1 координат, и их можно будет определить, полностью игнорируя циклическую координату. (Эта координата проявляет себя лишь в виде постоянной интегрирования а, которая определяется начальными условиями.) После того как это будет сделано, можно ь) Этот вывод следует также и вз уравнения (7.8), согласно которому Н отличается от — Л только на сумму ж Р,д,, не содержащую л; явным образом. 240 (гл. 7 УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА будет найти и циклическую координату Ч„ как функцию времени, для чего достаточно будет проинтегрировать уравнение дН Чв д Возможен еще один метод исключения циклических координат из уравнений Лагранжа — это так называемый метод Рауса.
В сущности это такой же метод перехода от переменных Ч, Ч к переменным Ч, р, но выполняемый лишь для тех координат, которые являются циклическими. При этом получаются уравнения движения, которые для циклических координат подобны уравнениям Гамильтона, а для остальных †уравнени Лагранжа. Обозначим циклические кооРдинаты чеРез Ч„ ..., Чв и введем функцию Й, определяемую равенством А((Ч„..., Ч„, Р,, ..., Рв, !ув.1, ..., Чв О= — ~~Р!Ч! — (, (7.14) Эта функция называется функцией Рауса *).
Дифференциал еб равен в и )т „у дб „уды „дЕ ! 1 в=в.! в=! и отсюда можно сделать вывод, что имеют место следующие равен- ства: д — — — Ч,, д— — — — Р! (! = 1, ..., У) (7.16) дрв! бр! дР; " д!Н дР др. дР дб — — — — — — (1 = з + 1, ..., а). (7.16) дЧ, — дЧ, Уравнения (7.!5) относятся к координатам Ч„..., Ч, и имеют вид уравнений Гамильтона, в которых функция )с играет роль гамильтониана.
В то же время уравнения (7.16) показывают, что координаты Ч, „..., Ч„удовлетворяют уравнениям —,1 —.1 — — =-0 (! =а+ 1, ..., а), !т (дпв! дтт дт ' дЧв дЧ! имеющим вид уравнений Лагранжа, в которых Й играет роль лагранжиана. Воспользуемся теперь циклическим характером координат Ч„ ..., Чв. Так как ни одна из этих кооРдинат не входит в функцию С, то они, очевидно, не войдут и в функцию Я. Кроме в) Функция (7Д4) отличается от обычно определяемой функции Рауса. Это сделано для того, чтобы функция Рауса была подобна функции (7.8), определяющей Н. $ 7.3] теОРемы О сохРАнении и Физический смысл гАмильтониАнА 2ч1 того, обобц!Енные импульсы р„ ..., р, будут постоянны (как соответствующие циклическим координатам).
Поэтому их можно заменить постоянными ао ., Н„определяемыми из начальных условий, и тогда функция Рауса будет иметь вид тг (Чзз-з ° г7з Чззз Чз "г "з г)* ф 7.3. Теоремы о сохранении и физический смысл гамильтониана. Мы видели, что циклическая координата отсутствует не только в Е, но и в Н. Поэтому теоремы о сохранении обобщенных импульсов, полученные нами в 9 2.6, можно было бы вывести не из уравнений Лагранжа, а из уравнений Гамильтона. Это относится и к тем соображениям о симметрии системы, которые были высказаны нами в главе 2.
Пусть, например, некоторая система будет симметрична относительно фиксированной оси. Тогда можно будет сказать, что функция Н инвариантна относительно вращения вокруг этой оси и поэтому не может содерв<агь угла поворота. Следовательно, этот угол является циклической координатой, и поэтому соответствуюпций еМу кинетический момент будет оставаться постоянным. О физическом смысле Н мы уже говорили в 9 2.6. Там было показано, что если Е (а согласно уравнению (7.13) также и Н) не является явной функцией Е то Н есть некоторая постоянная движения.
Этот результат можно получить и непосредственно из уравнений (7.12), вычисляя с их помощью производную л!М да~ ' ' длз (7.18) Подставив сюда д! и р; из уравнений (7.12), получим: Отсюда дН дН дг. дз д) дз' (7.!9) т. е. ие будет содержать циклических координат и их производных. На этом основании уравнения (7.!7), определяющие нециклические координаты, можно решать, не рассматривая вопроса о поведении циклических координат. Следовательно, мы здесь имеем такое же положение, как в уравнениях Гамильтона. Таким образом, метод Рауса можно рассматривать как основанный и па методе Лагранжа и на л1етоде Гамильтона (хотя частичное применение метода Гамильтона является менее естественным, чем полное его использование).
1гл. 7 гвлвнвния глин:и тонл Кроме того, в Э 2.6 было показано, что если потенциал це зависит от скорости, а уравнения гОл= гОХ(Ч„..., Ч„, ~), Н=.. У т- 1г(г), а Т будет равно 1 Т =-'= —,— тиа = — гв (га -1 геР). 2 2 Чтобы получить теперь уравнения Гамильтона, нужно выразить Н через обобщсвные импульсы, соответствующие координатам г и 1д Обобщйнные импульсы будут, очевидно, иметь следующие выражения; Р„= — Онпг = ГЧГ, Ра — — - тгт ~ --=- О1г'"'1. Отсюда следует, что г ==.
—, Рг ГО Ра Огга и, следовательно, Таким образом, мы получили гамильтониан, не составляя сначала лагранжиана. В данном случае мы будем иметь четыре уравнения Гамильтона. Два первых из них будут иметь вид: дН р дН Ра 0= — = —, дрг гл ' др, гага описывающие переход к обобщенным координатам, не содержат явно ~, то Н есть полная энергия Т+ 1г. (Эта теорема верна и в релятивистской механике; см.
Э 6.5.) Следует, однако, иметь в виду, что условия, когда Н является некоторой постоянной и когда Н является полной энергией, не тождественны, ибо может случиться, что уравнения (1.36) будут содержать явно время, а Н не будет его содержать. В этом случае Н будет некоторой константой движения, но не будда полной энергией. Во многих задачах механики выражения для обобщенных импульсов легко получить непосредственно из физических соображений. Если, кроме того, гамильтониан будет при этом полной энергией, то можно будет избежать многих формальных процедур, нужных для составления уравнений движения.
рассмотрим простой пример. Пусть требуется составить уравнения движения точки, находящейся в поле центральных сил. Функция Н будет тогда полной энергией () 7.5) твогвмы о сохглнвнии и еизичвский смысл глмильтонилнл 245 и не дадут нам ничего нового; два других запишутся в виде: дН Р1 д1г Р дг гага дг т. е. будут совпадать с уравнениями (3.7) и (3.10). В качестве другого примера того же рода рассмотрим релятивистский гамильтониан частицы, потенциал которой не зависит от скорости (см. й 6Л). В данном случае гамильтониан также будет равен полной энергии, и поэтому можно будет написатгс Н= — Т-)-'г', где кинетическая энергия Т должна быть выражена через количество движения Р, что легко сделать с помощью равенства (6.44), согласно которому Тз = рясе+ шаг~.
Таким образом, будем иметь Н ~/ рзг2+ щзса ) 1/ (7. 20) Введение в метод Гамильтона потенциалов, зависящих от скорости, ие представляет никаких формальных трудностей, однако при этом априори не ясно, является ли Н полной энергией. Мы рассмотрим здесь лишь тот частный случай, когда действуюп1ие силы являются электромагнитными. Лагранжиан (нерелятивистский) точки, движущейся в электромагнитном поле, имеет вид лшз 1.= —,— г)?+ — А ть 2 с Отсюда следует, что обобщйнные импульсы этой точки равны Р; = — шог+ — Ао Ч (7.21) Далее, по определению Н [см.
уравнение (7.8)) имеем: Н Р и 7 шоз+ — 4 о — (. ъз е или Н = 2 — (гэ - - — А) + д'г. (7.22) Таким образом, гамильтониан равен в данном случае полной энергии частицы. Выраженный через обобщйнные импульсы (7.21), он будет иметь вид (гл 7 уРАВнения >'Амильтонз Аналогичный результат получается и для релятивистского гамильтониана частицы, движущейся в электромагнитном поле. Обобщйнные импульсы (6.52) будут здесь, так же как и в классическом дА> случае, содержать дополнительные слагаемые — ', которые в конечс ' ном счете исчезнут вследствие сокращения членов с векторным потенциалолн Поэтому гамильтониан здесь опять будет равен полной энергии Н= Т+.>)г>.
Для окончательного вычисления гамильтониана заметим, что четвйр- гН тая составляющая 4-импульса (слн уравнение (6.58)) равна здесь —, е ' а релятивистская кинетическая энергия может быть выражена равенством (6.59). Поэтому Н будет в данном случае иметь вид Н==1 (р — ~ — > ге+и>ге>+г)э. с ) (7.23) Интересно сравнигь галны>ь>оннапы (7.22) и (7.23) с соответствующими гамильтонианами в случае потенциалов, не зависящих от скорости. Если потенциал )г не зависит от скорости, то Н равно Н.=,Р'+ М, 2т а соответствующие восемь уравнений движения будут иметь вид: дН' ~х> дби дрл др> дт ' дх>, ду ' (7.25) где т — масса частицы. Отсюда видно, что для того, чтобы эта формула совпадала с формулой (7.22), достаточно заменить >г на >>т, а импульс р на р — — А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
