В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Йр. = ) ) е, шч, ь . шр.. Доказательство. Воспользуемся критерием инвариантности подобного рода интегралов, установленным в 253: УФ+ ФЙ771 = О. В нашем случае Ф = 1, а / дтпл дгу( '1 йчп= ~~~ '( — — — ) = О. (,дд;др, др;дд; / Пример, Гамильтонова система д' = р', р' = д' с гамильтонианом Я = (р' — д' )/2 порождает группу отображений фазового ,г ,г пространства в себя: е' = есЫ+рзЫ, р' = 18Ы+ рсЫ (1 — параметр группы). Здесь д, р — начальные условия, а е', р' — решение системы. Рассмотрим интеграл ду 1р.
гэ+гэ б г При отображении (д,р) -+ (~1',р') граница круга у' = дг+ рг = 1 преобразуется в границу: ~ = д' + р' = (дсЫ+ рзЫ) + (дзЫ+ рсЫ) = Г(д, р, 1) = 1, Рис. 77 ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 288 Теорема Лиувилля утверждает (рис. 77); дерр = дд~р. /=9'+г'бг Р(9,ж~)<г Теорема (Интегральный инвариант Пуанкаре). Криволинейный интеграл Ъ = Ф ЯИ р)49+ Р(9 р) Ф эг является инвариантом произвольной гамильтоновой группы тогда и только тогда, когда Я (д, р) = ср, Р(9, р) = О, с — скалярная константа. Докаэательспгео. Для сокращения выкладок рассмотрим случай, когда д и р — скаляры. 1) Необходимость: если группа д' = 9+ Ог(у, р)1+ ..., р' = = Р+ 912(д, Р)2+ ...
гамильтонова, то Я = сР, а Р = О. Условие инвариантности интеграла подобного типа получено в 853 Оно состоит в требовании равенства нулю производной от этого интеграла вдоль траекторий группы: дуг д — = — ~ Я(9, р)д9+Р(ар) др (9, р -9 9', р') г Эта производная была вычислена в виде (в обозначениях этого параграфа) — =У ~ид+д — +Р— ) дд+~И'+д — +~ — ) др. Ы,72 1 г' д~1г ддг з у д911 д912 '9 й Дг 1 дд дд) ~, др др) Для равенства этой производной нулю необходимо и достаточно (1Я+ Я вЂ” + Р— = (17"+ Я вЂ” + Р— Если рассматриваемая группа гамильтонова, то дМ дН ид= (Н, Ц), иР=(7(, Р), Лг = —, 12=-— др ' дд и написанное условие принимает вид д~Н дг'Н д'Н д~й (7" '9)г+'9~ РР— (7"~ Р)9+'ч9 г '9 гддд г д92 9 9 д г 9д9др' '2' 88.
ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ 289 Отсюда вытекает 1 ~~ ' ~р ) 1 и ' Р9 ) или ('Н, Я вЂ” Р~) = О. Поскольку ЧЧ вЂ” произвольно, то отсюда следует Яр — Рд — — с. Частное решение этого уравнения есть Я=ср, Р=О. Общее решение есть сумма какого-либо частного и общего решения однородного уравнения дМ дМ Я=ср+ —, Р= —, дЧ ' дР' М(Ч, р) — произвольная дифференцируемая функция. Необходимость доказана. 2) Достаточность. если интеграл Л= 1РЧЧ ~Г является интегральным инвариантом группы Ч вЂ” Ч + 01(Ч р)2+ ° ° р — р+ Ц2(Ч р)2+ то эта группа — гамильтонова. Полученное выше условие, для того чтобы 12,72/п2 = О, в данном случае приобретает вид ир+р — "' = р — "' Поскольку Ур = п2, то из него следует дп2 дп1 — + — =О, дР дЧ а это значит, что п1 — — дН/др, 02 = — дЯ/дЧ, где 71(Ч, р) — произвольная дифференцируемая функция.
Теорема полностью доказана. Случай, когда гамильтониан явно зависит от времени, может быть, как это показано в 866, сведен к автономному, введением импульса, сопряженного времени. Однако получаемая таким образом автономная система обладает более простой структурой, чем в 290 ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА случае автономных систем общего вида, Поэтому и к доказанной выше теореме, которая в неавтономном случае формулируется для интегралов в виде Тдг+р ц, г могут быть добавлены некоторые дополнительные детали.
Действительно, контур Г, рассматриваемый в пространстве (1, Т, д, р), может выбираться из более узкого класса. Вместо того чтобы его рассматривать в параметрической форме 1 =1(а), Т = Т(а), д =у(а), р = р(а) с произвольными функциями параметра а, сузим класс кривых Г, воспользовавшись тем, что вдоль траекторий системы Т = — Я(ц д, р), и выберем параметризацию Т зависимым от параметризации Г, 9, р способом Т(а) = — 'К[1(а), 9(а), р(а)]. Тогда интегральный инвариант Пуанкаре можно рассматривать в пространстве меньшего числа переменных: 1, д, р и он приобретает вид [-Н(1, е, р) дг+ ра~).
г В этом частном случае интегральный инвариант Пуанкаре называется инвариантом Пуанкаре-Картана. Замечание. Из доказанного ранее следует, что интеграл у[ — гг' Й + равд) является интегральным инвариантом группы, определяемой уравнениями: пг дд дН др дЯ вЂ” =1, г1т ' г)т др ' г(т дд Однако этот интеграл инвариантен и относительно более широкой группы ггГ гб1 дМ 9 — =х(1,д,р), — =х(г,е,р) —, дт ' ' ' г)т ' ' др ' др дН вЂ” =- (1,Ч,р)— ггт ' ' дд' где х(1, д, р) — произвольная скалярная функция.
р .те У этой группы те же самые траектории. Меняется лишь расписание движения вдоль каждой траектории. Иными словами, интеграл Пуанкаре — Картана имеет одно и то же значение вдоль 2 69. ИНВАРИАНТЫ ГАМНЛътОнОВых систем 291 любой кривой Г, охватывающей одну и ту же трубку траекторий, а не только вдоль кривых, в которые сносится начальный контур самими траекториями (рис. 78). Этот факт следует из теоремы. Теорема. Для того чтобы интеграл у( — Н д2+ рНе] был интегральным инвариантом группы ггг/г(г = х, дд/дг = лМ, др(дг = яЛ/ с произвольной функцией л(1, д, р), необходимо и достаточно: дН д'Н М = —, ЛГ= — —.
др ' дд ' ,доказательство. Выпишем ядро группы г' =2+ кг+ ..., дг =у+ яМт+ . р' =р + кЛр т +, . и ее оператор 2рд д днг У = гг ~ — + М вЂ” + Лà — ) ~ дг дгг др) Под действием группы интеграл преобразуется так: [-Н(Г,, р)а+, д,]= 4'(-Н(~, р)82+рд2]+ г 2г +4( (Н,Н+ирд,)+(-Ндя+рд(кМ))]+ ~г Необходимое и достаточное условие инвариантности есть (-иН д2+ ирд9- Н дк+ рд(ям)] = б. г Воспользуемся интегрированием по частям: нр =-),рн, урр( м)=-~.мрр Тогда — М вЂ” — Лр — ) гй + (Л/+ Нг) Йе+ ( — М + Нг) др л = О, — ) д'Н дН и г дд др) В силу произвольности х М вЂ” +Л' — =бр ЛГ+Н, =б, -М+Н, =б.
дН дН де др Эта переопределенная система удовлетворяется единственным решением ЛГ= Нгр М =Нг. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 292 9 69. Канонические преобразования Начнем с рассмотрения примера. Пример. Гамильтониан одномерного линейного осциллятора имеет вид М = (рг + уг)/2, а соответствующие ему уравнения движения таковы: Ч = Р Р = Ч В этих уравнениях движения выполним замену переменных (д, р) -р (у, г): 9 = гсогуг, р = гз(ну. Внося эту замену в уравнения, получаем уравнения движения осциллятора в новых переменных: ~р = -1, г = О.
Можно поинтересоваться, во что переходит функция Гамильтона при этой замене переменных: г ) = 21( ~р, п1р) =— Мы видим, что в новых переменных утрачена связь преобразованной функции Гамильтона с преобразованными уравнениями, поскольку дй — =гф — 1. дг Уравнения Лагранжа Я 26) были ковариантны по отношению к любым допустимым (дифференцируемым) заменам обобщенных кос динат. равнения Гамильтона свойством ковариантности по отношению к любым допустимым преобразованиям фазовых переменных не обладают.
Класс замен фазовых переменных, для которых ковариантность уравнений Гамильтона имеет место, и представляет собой канонические преобразования. Определение. Преобразование (а, р) + (а, р) называется каноническим, если оно сохраняет связь преобразованных уравнений с преобразованным гамильтонианом, каким бы этот гамильтониан ни был. Иными словами, преобразование (9, р) — р (а, р) называется каноническим, если для любого гамильтониана коммутативна следующая диаграмма: н(9 Р) ч=нр, р=-нч Замечание. В литературе встречается определение валенпгнмх канонических преобразований.
Так называются преобразовании, переводящие любую гамильтонову систему снова в гамильтонову, г 69. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 293 нако гамильтониан преобразованной системы получается из гамильтониана исходной умножением на константу: Н(9, р) сН(у(ц, р), р(д, р)].
Эта константа с называется валентностью преобразования. Такое расширение класса канонических преобразований большой содержательностью не обладает, поскольку легко показать, что любое валентное каноническое пребразование есть композиция канонического преобразования и преобразования растяжения; д = ЙЛ, Р = йгР. Условия каноничности замены. Введем обозначения для фазового вектора: х = (д, р), первые 6 координат которого совпадают с обобщенными координатами дг, а оставшиеся и координат — с обобщенными импульсами р,.
В этих обозначениях систему уравнений Гамильтона можно записать в следующей форме: д'Н х,=~ 'Д,д„ дхг или, в краткой записи х =,ИН/!гх, где,7 — симплектическая матрица 2и х 2и: -Е 0 а Š— единичная и х и матрица. Матрица,7 обладает свойством,72 = -Ег„„г„(аналог мнимой единицы). Рассмотрим теперь замену переменных х -+ х: х = х(х) и установим, каким условиям должна удовлетворять функция х(х), чтобы эта замена была канонической. Очевидно, имеем дх;, дх; д'Й хо! = ~ ~— 'х, = ~~ — ',7ьь —. дх, ', дх, ' дхь' г С другой стороны дй дй дх! — =Š—— дхь дх! дхь Окончательно получаем дх; дх! д'Й ,г, ь,! дх, г дхь дх! Или, в краткой записи: -дй х =,7=, !гх Для того чтобы замена х(х) была канонической, необходимо и ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 294 достаточно Поскольку найденное условие каноничности замены содержит ограничения на производные от уравнений замены, то оно носит название локального критерия каноничностаи.
Локальный критерий каноничности выделяет в множестве всех дифференцируемых замен многообразие второго порядка канонических замен, Пример. Выделить из семейства линейных преобразований вида и, ю — вещественные числа, многообразие канонических замен. Рещение. Здесь Используем найденный критерий: Перемножив матрицы слева, находим: откуда и +о =1. Многообразие канонических замен в плоскости 1и, и) всех рассматриваемых замен представляет собой окружность единичного радиуса.
Если заметить, что матрицу обсуждаемого линейного преобразования можно представить в виде =иЕ+оТ Е= О 1 У= 1 О в котором видно, что семейство таких преобразований изоморфно алгебре комплексных чисел, то многообразие канонических преобразований в нем изоморфно группе вращений. Теорема. Отображение, осуществляемое фазовым потоком гамильтоновой системы, является каноническим. 5 69. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 295 луоказотпельспгво. Пусть семейство замен х — > х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
