В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Это означает, что, помимо задания этого многообразии указанными уравнениями в неявной форме, его можно записать и в параметрической форме: с = 0(а1, ..., аа, 01 ..., 0„), р = р(О1,..., аа,01 ..., 0„) В ВИДЕ ЗаВИСИМОСтИ От П ПараМЕтрОВ 0, ..., 0„, от которых эта зависимость 2к-периодическая по каждому 0». Все фазовое пространство расслоено такими торами, постоянные а» определяют п-параметрическое семейство и-мерных торов.
Вектор о является номером тора в этом семействе. Поскольку каждая траектория, начавшись иа каком-либо из этих торов, с него уже в дальнейшем сойти не может, то говорят, что решение интегрируемой по Лиувиллю системы в случае компактного многообразия уровня функций Я» представляет собой ь яриольд В.И.
Математические методм классическая механики. — Мл Наука, 1974. 'з тт переменные "ДейстВие-УГОЛ" зоз обмотку тора. Сам тор является инвариантным: он не изменяется фазовым потоком системы. В 72. Переменные "действие-угол" Канонические переменные "действие-угол" вводятся в случае компактного многообразия уровня первых интегралов Нь и являются удобными при формировании в дальнейшем процедур приближенного интегрирования систем, близких к интегрируемым по Лиувиллю. Строятся переменные "действие-угол" так. Воспользуемся найденной в предыдущем параграфе функцией 5(д, а) 1 = ] 2 ьдь1ь(Вд, а)йВ, которую мы использовали в качестве производящей функции канонической замены (д, р) -+ (д, р) после отождествления а Б р.
Однако вместо этого отождествления свяжем константы интегралов с новыми импульсами иначе. Именно, положим рг(а) = — / р(а, В) ' ВВю 1 1~~ Ыд(а, В) 2я,/о ' ЫВь Иными словами, к-я компонента нового импульса есть среднее значение равд вдоль замкнутой траектории на торе, получаемой при изменении параметра Вь и при фиксированных остальных.
Полученную функцию р = р(а) надо обратить и подставить в 5(д, а). После чего новая координата строится обычным образом: д д = — Я[д, а(р)]. др Такая переменная р и называется действием, а д — углом. В литературе для них приняты специальные обозначения: 1 и |г, так что Ггк д 1ь(а) = — /,~~ р|(а, В,,..., В„) — д;(а, Въ, Вэ) ЫВМ 1 д о [д а(1)] д!ь Пусть для определенности гамильтониан системы совпадает с первым из находящихся в инволюции интегралов Н(д, р) = Н|(д, р).
Тогда после перехода к переменным "действие-угол" получаем новый гамильтониан в виде д51 'Н = 'Н ~д, — ~ = Н[д, 1(д, а(1))] = а|(1). д, ГАМИЛЬтОНОВА МЕХАНИКА зои И уравнения исходной системы в этих переменных получаются такими: да1 — 1=о. Н ' Их решение у = ы(!)1+уц, ! = сопвс, м(!) = Ыа, (Ы! позволяет записать, воспользовавшись уравнениями замены, решение в исходных переменных: д = е~ы(!)1+ рш )], р = р(а(!)1+ уо, !]. Основное свойство переменных "действие-угол" заключается в том, что каноническая замена д(у, !), р(у, !) является 2япериодической по всем ую так что выписанное решение представляет собой условно периодический колебательный процесс с и частотами ыь(!).
Доказательство этому факту можно найти в цитированной выше книге В.И,Арнольда. 2 73. Метод Пуанкаре-Цейпеля Будем предполагать, что гамильтонова система близка к точно интегрируемой по Лиувиллю, так что ее гамильтониан может быть приведен к виду Н(у~, !, г) = К (!) + еН (~э, !) + ., Здесь е — малый параметр.
Такая система называется возмущенной. Функция Ка(!) есть функция Гамильтона вырожденной (или невозмущенной системы), которая предполагается интегрируемой по Лиувиллю. Канонические переменные 1, у являются переменными "действие-угол" в невозмущенной системе. Возмущением называются слагаемые, исчезающие вместе с е и которые предполагаются 2я-периодическими по всем угловым переменным ~о. Ставится задача найти каноническую замену переменных (р, !) э (Ф,,У), такую, чтобы в новых переменных уже весь гамильтониан не зависел от у 'Н(у, ), г) -+ К( у, с) К = Ка(Я + еК13+ гзКзЭ+ Будем разыскивать производящую функцию такой замены 5(у, 1, г) так, что сама замена определяется соотношениями д5 д5 др ' д.у Представим исходную производящую функцию в виде ряда 5 = у .,7 + г51 (у, .У) + г~5г( р,,у) + 2 73. МЕТОД ПУАНКАРЕ-ЦЕЯПЕЛЯ 303 где р,7 — скалярное произведение: 22,7 = р1.71+ ...
+ р„.7„. Поскольку при е = 0 гамильтониан уже имеет необходимый вид, то 5(р, .7, 0) должна порождать тождественную замену; 7 = — (22,7) = .7, Ф = — (22 .7) = р. д д др ' д7 Производящая функция, приводящая гамильтониан к указанному виду, носит название характеристической функции (370) и она удовлетворяет уравнению д5 Я ~о, —, е = сопоО = К(Я. др' Или же, подставляя вместо Я, 5 и К их разложение по степеням г, запишем: / д5о д51 д50 д51 Яо~ — +г — +...,...,— +е — +... + ~, д~О1 д221 ' ' даро д~Оо д50 д51 +гй1 р1, „., д„, — + г — + ...
+... = "' др1 др1 = Ко(7) +еК1(,7) + .. Раскладывая в ряды и разделяя порядки, получаем: йо(Л,...,,7п) = Ко(71,, Я*), дйо д51 / д5о д5о ~ + — — + Н1 р1 ..~ Фп д7„д~о„~ ' ''' "' др1' ' дрп/ = К1(Я,,,7п), дйа д52 1 ч доЯо д51 д51 + — — + -~ — — + д,7„др„2 х-,' дЯ,дЯ д221 др1 дй1 д51 Г д5о д50 11 +Я2 ( р1 рп» / дЯ даръ (, ' '''' "' др1' '''' д1рп/ дйо д51 — — + дЯ др1 д'Но д52 + дЯ др1 К2( 71 ~ ° ° 1 7п) 20 Зак. 222 Учитывая, что д50/д1оь — Я„а дЯо/дЯ, = о12(51,,,7 ), получаем следующую цепочку дифференциальных уравнений в частных ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА Зоб производных первого порядка, позволяющих найти все компоненты производящей функции: (.7) — + ...
+ (7) — +'Н (р,,7) = К (,7), д52 д52 дрг '' ' " др« д52 д52 / д52 1 ыг(7) + +"'«(7) + гг ~~Р,,7, — ( = 1~2(7)~ др, ''' " д~р« ~ ' ' д227 Выбирая кг(,7) в виде среднего значения по всем 222 гамильтониана Н1(ггы..., У«,,7ы ...,,7«), т.е. К1( 71, , 7 ) = ( Н 1 ЬО1, ..., р , .71, , .7 ) ), для нахождения 52 получаем д5, д5, ыг(,7) — + ...
+ «(.7) — = — Нг(р,,7), дуг др„ где Йг — дополнение к среднему в функции 'Ны Это уравнение легко решается (см. 249). Подставляя решение во второе уравнение, для Кг(.7) получим К2(,7) = гг 'р~ 7~ что позволяет найти 52 из уравнения д52 д5г - 7 д52 Л м(,7) — + +ь,(7) — = — Рг ~Ю,.7, — (, дггг дгг«(~ д р 7 где Рг — дополнение к среднему от функции Рг. Это уравнение точно такого же вида, как и предыдущее. И так далее. Описанная процедура носит название нерезонансной, поскольку требует предположения, что частоты ыь(.7) не связаны собтношениями типа Л,,+ ... +Л„«~„=О с некоторыми целыми, не всеми равными нулю Лю 9 74. Метод Биркгофа нормализации гамильтонианов Рассмотрим гамильтонову систему, описываемую аналитическим гамильтонианом Н(Ч Р) = Но(Ч Р) + Х'(Д Р) где Нд — квадратичная часть функции Гамильтона, определяющая линейную часть системы, а Х.
— конечный или бесконечный полипом, не содержащий членов ниже третьей степени. 1 74. мвтод виркгоФл нормллизлции глмильтонилнов зог Будем также преполагать, что Яо определяет линейную колебательяую систему с и собственными частотами Лн .,., Л„. Тогда в нормальных координатах (см. г40) Яо запишется в виде 1 т, („г + Лг г) ккп Функцию Яо можно привести к более удобиой для дальнейшего форме, выполнив каноническое преобразование (Ч, р) — к (Ч, р): 1 Рк = куйкрк Чк = Чк. ~аль Тогда функция Гамильтона Яо в новых перемеииых запишется так; а Но(Ч, р) = — ),Л*(Ч'+р.') ккн Будем считать, что с самого начала имеем дело в этими переменными, так что в дальнейшем тильду яад буквой опускаем.
Существует еще одно удобное представление для функции Яо. Для этого рассмотрим комплексные комбинации обобщеияых коордииат и импульсов х=р+гЧ, у=р — гЧ, Зти соотношения можно рассматривать как каноническую замену (Ч, р) -+ (х, у) с валеитяостью 2гЛ В этих переменных гамильтояиая Яо принимает вид (сохраиим для функции, зависящей от новых переменных, старые обозначения): а Но(х, у) = г~ Лкхкук. ккп Таковы две яаипростейшие формы рассматриваемой линейной системы. Возникает вопрос, к какой наипростейшей форме можно привести нелинейную часть системы, представленную функцией Я,(х, у). При этом преобразования переменных, решающие эту задачу, должяы удовлетворять трем условиям: сии должны быть каноническими, они ие должны менять квадратичную часть гамильтоииаиа, т.е.
Яо, и, наконец, ояи должны быть в классе полияомиальиых функций. Последнее означает, что искомые замены переменных яе должны иметь никаких особенностей в нуле. 20' ГАМИЛЪТОНОВА МЕХАНИКА 308 Такая, неупрощаемая никакими полиномиальными заменами, форма гамильтониана называется нормальной формой Биркгофа. Ниже будет дано более конкретное определение для этой формы. Будем искать каноническую замену, приводящую гамильтониан к нормальной форме Биркгофа, поставив целью уничтожить как можно больше членов в разложении возмущенной части гамильтониана; 'Н,(х, у) = 2 аб ~„„,,„х1' ... х„"у" ... у'„".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
