В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Если в = ва = сопзс, эти преобразования переходят в преобразования Лоренца. Время, текушее в начале координат подвижной системы (т.е. при к' = 0), совпадает с введенным выше понятием собственного времени Часть У1 Гамильтонова механика 9 66. Уравнения Гамильтона В 129 были введены уравнения Рауса. Рассмотрим частный случай этих уравнений, когда непотенциальные силы отсутствуют, а преобразованию Лежандра подвергаются все обобщенные скорости.
Функция Рауса в этом случае называется функцией Гамильтона и обозначается обычно бухвой Н: Н(1, Ч, Р) = (Я р|Чь — С(1, Ч, Ч) 'ч=вкч,й где дс р< = — (1=1, ...,а) дд, — обобщенные импульсы, а функция д = 1(1, д, р) представляет собой результат обращения их относительно д. Уравнения движения, записанные в фазовых переменных, имеют вид дН . д'Н д;= —,, р;= — —, (1=1,...,п) др;' ' дд; и называются уравнениями Гамильтона. Свойсгнео функции Гамильтона. 1) Из свойств функции Рауса Я 29) непосредственно следует дН дс дд дд ' д'Н дЕ дт д1 ' дН дН з /дН .
дН .1 дН д1 д1 ' ~дд; ' др; '( д1 Если функция Гамильтона явно от времени не зависит (дН/д1 = О), то дН/д1 = 0 влечет Н = сопэц То есть независящая от времени функция Гамильтона является первым интегралом системы. 3) Выясним структуру и физический смысл этого первого интеграла. Для этого вначале установим структуру функции Гамильтона. Общая структура функции Лагранжа такова (1 25); С = — ~~~ а;;д;д, + ~ Ь;дч р Те + У(1, д). 1 2) Вычислим полную производную функции Гамильтона вдоль действительных траекторий: ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА зво Коэффициенты а, и 6, зависят от времени и от обобщенных координат.
Следовательно, обобщенные импульсы могут быть найдены в виде дЕ Рю — — —. —— ~~~, о,рч, + ьо дд; Эти линейные уравнения относительно д могут быть разрешены, поскольку бег(а, ) ф О (6 25): д,=~ 'л;,(р,— ь,), где Л,. — коэффициенты матрицы, обратной к матрице (а; ).
Подставляя это выражение для д в формулу, определяющую функцию Гамильтона 76=~ рд; — С, получаем 1 7( = ~) Л; (р; — Ь;)р — — ~~~ аблгаЛ ~(рь — Ьь)(р~ — Ь!)— 2, А э Альл — ",> 'ьл„(р, — ь,) — т, — и = 1 1 = — Я Л; р;р. + — ~~ ЛОЬ;Ь. — Х ~ЛОЬ;рь — Тс — сг. 3 1 ь ~ \,1 Если система консервативна, то 6 = О и Те — — О и функция Гамильтона совпадает с полной энергией, выраженной через переменные И р) 1 ч-~ 7( = - ~ ЛО р р, — и. 2 И полученный первый интеграл (свойство 2) совпадает с интегралом полной энергии. Если система неконсервативна, но дН/д1 = О, то система называется обобщенно консервативной, а первый интеграл совпадает с интегралом Пенлеве-Якоби (З 27) 4) Уравнения Гамильтона в расширенном конфигурационном пространстве (1,д).
Рассматривая время в качестве дополнительной обобщенной координаты, можно привести неавтономные уравнения Гамильтона к автономной форме. Для этого необходимо выяснить, что будет играть роль импульса, сопряженного координате 1, и как следует трансформировать функцию Гамильтона с тем, чтобы она зависела от нового состава переменных. 'з'ет. СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ 281 дН' дТ ' дМ' Т дс ' дН' . дМ" ч= р= др ' дд ' Для того чтобы эта система описывала исходную неавтономную систему с заданным гамильтонианом 'Н(~, д, р), достаточно положить Н'(~, Т, й, р) = т+ НР, е, р). Поскольку дУс" д'Н пН дс д~ Й~ то второе уравнение системы можно проинтегрировать, и мы получаем, что вдоль траекторий рассматриваемой системы обобщенный импульс, сопряженный времени, отличается от — Н на константу; Т = — 'Н(1, й, р) + сонэк З 67.
Связь законов сохранения со свойствами симметрии гамильтоновых систем Теорема Нечнер. Если существует группа Ли С' =С+((Ю, й)г+ ..., =я+ Ю(~ й)г+ для которой действие по Гамильтону с, е(г,д,д)й с, есть интегральный инвариант (853), то у механической системы, описываемой лагранжианом Е, есть первый интеграл пя(С, д)р; — ((С, д)Н(С, д, р) = сопя~, ! где р, — обобщенные импульсы, а Н вЂ” гамильтониан. 18 З гзз Пусть исходная функция Гамильтона есть М(1, д, р), а трансформированная 'Н*(1, Т, д, р), в которой Т представляет собой импульс, сопряженный П Уравнения Гамильтона запишем раздельно по переменным (1, Т) и (е, р): ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 282 ,Показагпельство.
Полученное в г 53 условие инвариантности функционала имеет в рассматриваемом случае вид 11) и~+~С = О. Или, в развернутой форме. дь" дь" .. дь" ( — +ЕЪ вЂ” +Е(О1-И.) — +й=О дг 'ду1 ' ' д4, Используем уравнения Лагранжа дС д дь" дд; о1 ду1 ' с помощью которых условие инвариантности можно переписать в виде дЕ д дЮ . дЕ . дЕ 4 ( — +',СЦ' — — +ЕЦ вЂ” -'.УУ.И1 — + — Е = О дг, ' дг ду1, ' ддг, ' дуг дг Поскольку дЕ/де = — дН(дг = — 1ГН)г11 и дС/дд1 = р„то -~ — + — ~ и,— — — ~ др, + — ~-О, откуда д(-С'Н+ ~"1 т~,дЦду,)(дг = О.
Рассмотрим конкретные примеры, Группа трансляций по времени; Р = 1+ г, д' = д. Если действие по Гамильтону инвариантно относительно этой группы, то в силу доказанной теоремы, поскольку 11 = О, С = 1, имеем 'Н(д, р) = сопе1. То есть закон сохранения энергии есть следствие инвариантности действия по отношению к трансляции по времени.
Группо трансляций по координатом: Р = 1, оь —— ое + г, о,' = у (ФА) В этом случае ( = О, дь = 1 и из теоремы следует рь = сопе1 (закон сохранения импульса). Пример. Механическая система, содержащая и материальных точек: и ( г+„г+ г)+И( 2 1=1 г бт. СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ 283 Если эта система допускает трансляцию по пространственной координате вида х1 — х1 + т! ° х» — х» + г ! то !)! — — ..
— — 1)„= 1, б =О и из теоремы Нетер следует !П1Х! — — СОПВ$ Е ! (закон сохранения количества движения). Если эта система допускает поворот вокруг какой-либо пространственной оси, например такой: ! хв =ха, уь — — ув сов т + гв вгп т, гв = 18! 31п т+ гв совт с оператором и = 2'(.,— — р„— ), то, поскольку в этом случае с = О, г)в = О, г)в+» = гв, т)в+2» = = -ув (Й = 1,..., и), из доказанной теоремы следует пг!(у!21 — у121) = сопв1 Е ! (закон сохранения момента количества движения).
Замечание. Если действие по Гамильтону инвариантно по отношению к некоторой группе, содержащей преобразование времени, то первый интеграл, доставляемый обсуждаемой теоремой, малополезен, поскольку он оказывается зависящим от времени и, следовательно, не позволяет понизить порядок автономной системы (2 27). Пример..Действие по Гамильтону для системы с лагранжианом Е = тх /2 (матернальная точка с одной степенью свободы, движущаяся по инерции) инвариантно относительно группы 1' =1+ 21т, х' = х+ хт. 11) Действительно, в этом случае У = 21д/д1+хд/дх — хд/дг и условие инвариантности действия есть 11) дЕ дь", дЕ У Е+ бЕ = 21 — + х — — х —, + 2.С = О, дг дх дх которое для А".
= тпхг/2, очевидно, выполнено. 18* ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 284 Поэтому, учитывая, что б = 22, и = я, Н = рз/(2тп), получаем выражение для первого интеграла 2рз — — + яр = соп81, гп 6 66. Инварианты гамильтоновых систем На гамильтонову систему дифференциальных уравнений д'Н .
д'Н вЂ” р=- — НИ р) др ' дй ' можно смотреть, как на уравнения, определяющие в фазовом пространстве (д, р) однопараметрическую (1 — параметр) группу Ли, оператор которой, очевидно, имеет вид 2 Любой инвариант такой группы С(в, р), т.е. функция, для которой УС = О, является первым интегралом исходной системы.
Выражение /дН дС дН дСЛ иа = )'~ — — — — — ~ = (Н,С) (, др; д и дв2 др;,~ называется скобкой Пуассона двух функций 'Н и С, Своося2ва скобки Пуассона. 1) Линейность по каждому аргументу: (Н, Л102+ Л202) = Л2(Н, 01) + Л2(Н, 02), Лы Л2 — вещественные числа. 2) Кососимметричностес (Н, С) = — (С, Н). 3) Справедливость правила Лейбница при дифференцировании по любой переменной, например, д ' д з ВВ.
ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ Эти свойства очевидны, Рассмотрим теперь три нужное число раз дифференцируемые функции 'Н(4, р), С(д, р), г'(4, р). Они порождают три гамильтоновые группы Ли с операторами 4) Скобка Пуассона двух функций Н и С представляет собой функцию Гамильтона той дифференциальной системы, которая определяется коммутатором операторов систем с гамильтонианами Я и С.
Иными словами: д(Я, С) д д('Н, С) д др дд дд др' Докажем это свойство. Правило вычисления коммутатора, приведенное в З 46, в рассматриваемом случае имеет вид дС дЯ~ д ( дС дН~ д (и, и ) = и, — — и — ~ — — (и„— — (ъ — ~ — = др др,l дд (, дд дд у др Учитывая свойства 2 и 3, и получаем утверждаемое. 5) Тождество Пуассона: НН, С), Р)+((Г,Н), С)+((С, Р),Н) = ~7оказательство. Учитывая свойство 4, перепишем тождество Пуассона в виде (и,, и,)Р+ ~и„ин)С+ ~и~, и~]Н = Ю.
В соответствии с определением скобки Пуассона правая часть рассматриваемого тождества представляет собой линейную форму вторых производных функций Н, С, Р. Поэтому тождество будет доказано, если мы установим, что оно вторых производных не содержит вовсе. Поскольку тождество симметрично относительно входящих в него функций, то достаточно показать отсутствие вторых производных в одной из них. Возьмем к примеру Р. Первый член последнего дЯ д 0н = —— др дд дС д и ° = —— др дд др д б'Р = —— др д4 дд др дС д д4 др' дГ д д4 др' ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 28в соотношения вторых производных не содержит, поскольку коммутатор [Ун, УО] есть оператор первого порядка. Оставшиеся два члена перепишем, используя определение коммутатора: [и„ин]С+ [и„и,]Н = (и,и, — и„и;)С+ (и,и, — и,и,)Н, В последнем соотношении вторые производные функции Р содержат лишь "половинки" коммутаторов; -и,и,с+ и,и,н.
В этом же соотношении для членов, содержащих только вторые производные Р, очевидно, имеем — инирс = — УОУРН, что и приводит к сокращению с такими же членами во втором слагаемом. 6) Если С и Р— первые интегралы гамильтоновой системы с гамильтонианом Н, то их скобка Пуассона (С, Ц тоже является первым интегралом при условии, что она не обращается тождественно в ноль, Доказательство следует из тождества Пуассона, в котором по условию (Н, С) = О и (г', Н) = О, следовательно, и ((С, г'), Н) = О, а зто означает, что (С, г') — первый интеграл.
Пусть гамильтонова система дифференциальных уравнений дН, д'Н Ч1= Р'= Н(ч Р) др;' ' д;' порождает группу преобразований фазового пространства в себя (д, р) -+ (д', р'), действующую вдоль траекторий этой системы. Ядро группы; дН Ч; =Ь+ 1+ др; д'Н Р', =Р; — — С+ де; Оператор группы: Ниже речь идет об интегральных инвариантах этой группы. Теорема Лиувнллл (о сохранении фазового объема). Интеграл ° Т1 = / ~ду1 пуапР1 Ври есть инвариант любой гамильтоновой группы. Иными словами, з 68. ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ 287 если при отображении (е, р) -~ (у', р') область интегрирования изменилась: У -+ У', то интеграл по этой области постоянен: /ф, ... шч, ю ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
