В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2 66. СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 261 Подставляем в последнее соотношение ядро группы: с(г + г(~ 1(х + ~р ду + ~ 1(г) + = (р+ лг+ ...)[дх+ гЯ, дх+ср ду+(, дх) + ...)+ +(д+ Рг+ ...)[оУ+ г(г(, 1(х+ 1(р оУ+ 14 ог) + ...]. Заменяя дх на рох+ шоу и приравнивая козффициенты при 1(х и 1(у, находим = ~* — рс. — и* -р(-6. +ус*+ чч.), Р = ~р — Яр — Чг(р — И-~* + Ф. + УО.) Эти соотношения достаточны для построения оператора первого продолжения.
Для построения оператора второго продолжения следует снова воспользоваться условием полного дифференциала дг дгг дгг дг . д'г дгх 1( — = — дх + ду, Н вЂ” = — дх + — ду, дх дхг диду ду диду дуг или др = гох+ злу, дд = зох+ (оу. Продолжение ядра группы на переменные г, з, ! определяется ко- эффициентами а, р, у; + +..., з'= +л +..., !'=(+Т + Поступая как и при нахождении л и р, получим а =л + РЯ, + гхр+ зл — г(С + РС,) — з(г(~ +Рг!,), (3 =Яр+ дл, + акр + (л — г(ср + дс,) — з(г(р + егь), Т =Рр+ УР.
+ ар, +(Р~ — а(С~+((С.) -((О~+ П.) Оператор второго продолжения имеет вид (г] д д д д д д д д и = с — + Π— + (' — + я — + Р— + а — + д — + т— дх ду дх др дд дг дз д!' Условие инвариантности поверхности г'(х, у, г, р, д, г, з, !) = О, или, что то же самое, условие инвариантности соответствующего уравнения в частных производных второго порядка получается следующим: (2) ((г'=О, Г=О. 16* ГЛ.11, ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОИ ТЕОРИИ 252 Как и ранее, на зти соотношения можно смотреть двояко; задан оператор У вЂ” найти инвариантную поверхность, или задана поверхность — найти сохраняющую ее группу.
В обыкновенных дифференциальных уравнениях обе задачи эквивалентны по сложности, поскольку обыкновенное дифференциальное уравнение и группа, преобразующая его, — объекты одной и тоЯ же природы. В случае уравнениЯ в частных производных это уже не так. Дифференциальные уравнения, определяющие группу, — обыкновенные, а преобразуемое уравнение — в частных производных. Первый объект проще. Поэтому и алгоритмы поиска групп симметрий уравнений в частных производных оказываются эффективными.
Если уравнение Е(х, у, г, г„гю г„,,) = 0 линейное, то, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, условия инвариантности уравнения можно сформулировать без использования продолжения операторов, в терминах коммутаторов. Запишем это уравнение в виде Аг = О, где А — линейный диффереНциальный оператор: дг д2 д2 А = Х11(х У) — + Хгг(х У) — + Хгг(х, у) — + дх' дхду дуг В силу линейности уравнения преобразовывать переменную г не имеет смысла. Тот факт, что линейное однородное уравнение допускает группу растяжений по г, очевиден и интереса не представляет.
Поэтому будем рассматривать группу, действующую в пространстве переменных х, у с оператором У = б(х, у)д/дх+ п(х, у)д/ду. Коммутатор двух операторов А и У есть оператор второго порядка: [А, У) = АУ вЂ” УА, Определение. Оператор У называется оператором симметрий для уравнения Аг = О, если (А, У) = Л(х, у)А. Теорема, Оператор симметрий отображает решение уравнения Аг = 0 в решение этого же уравнения. ,~7оказательство, Пусть г = 1о(х,у) — решение, тогда А(У1о) = У(А1о) + ЛА1о = О, те. У~р — тоже решение, Пример, Уравнение Гельмгольца: дгг дгг / д' дг — + — + ы~г = 0 ( А = — + — + ы~ дхг дуг ( дхг дуг 1 эе.
пРимеРы интеГРиРОВАния 3АдАч мехАники тэз Требуется найти алгебру симметрий этого уравнения. Исходим из условия [А, У] = ЛА, в котором помимо неизвестного оператора У нахождению подлежит скалярный коэффициент Л(х,у). Вычисление коммутатора дает АУ вЂ” УА = д' д2 дз д д = 2~~ — э+2(Ъ+(э) +2Оэ — 1+(С~*+Сээ) д— +(О*~+уха) д дх2 дхду ду' дх ду Вычитая из него оператор ЛА и обращая в нуль коэффициенты ,олученного разностного оператора, находим 2( = Л, 2пэ = Л, 2(п, +(э) = О, („+4ээ — — О, йхх + Оуу = О, м Л = О. 2 Отсюда вытекает решение: Л = О, С = а+ Ьу, Н = с — Ьх, где а, Ь, с — произвольные постоянные. Следовательно, общий вид искомого оператора У такой: д д и = (е+Ьу) — +(с-Ьх) —.
дх ду Он представляет собой произвольный элемент трехмерной алгебры операторов и = еи, + ьи, + .и, с базисом операторов д д д и,= —, и,=у — — * —, дх' дх ду' д и,= —. ду' Операторы У| и Уз — операторы трансляций вдоль осей х и у, оператор из — оператор группы вращений. 3 56. Примеры интегрирования задач механики на основе вычисления симметрий г. г — гр~ = О, — (г~у) = 3 Г2г.
й 1. Движение материальной точки пад действием следящей силы. Рассмотрим плоское движение материальной точки массы п1 под действием силы Р, которая постоянна по модулю и приложена в любой момент времени перпендикулярно радиусу-вектору этой точки (рис. 68). Так как масштаб можно выбрать произвольно при' измерении переменных, будем считать тп = 1, Р = 3~/2. Уравнения рассматриваемой материальной точки в полярной системе координат имеют вид ГЛ. Ы.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ Перепишем эту систему в виде трех уравнений первого порядка, введя обозначения для скорости изменения г (г = о) и для момента количества движения а = г1ф: г=э, й=о~г з, д=З~/2г. Поскольку фазовые переменные в правых частях этой системы входят только в виде степеней и произведений, группу симметрий этой системы естественно искать в виде группы растяжений (г,о,о) -+ (г',э',о'): г=ог', э=до', о=То', после подстановки которой и уравнения получаем 3 / г = -о, б = — —, а' = -З~I2г . 13,, 7 и . о а даз г'3 7 Правые части в результате преобразования будут иметь общий для всех уравнений множитель, если г'=д ~г=г+2гг+ ..., о'=д ~о=и+от+ о'=д а=о+Заг+ где г — параметр группы ((3 = 1 — г), Оператор этой группы имеет вид д д д У = 2г — + о — + За —. дг до дп Он удовлетворяет условию [А, У] = А.
Выбирая д произвольным, из Следовательно, группа а Фо 7 этих соотношений найдем а = д', симметрий системы имеет вид 1 55. ПРИМЕРЪ| ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ 255 Это условие является достаточным условием того, что группа с оператором У является группой симметрий в следующем смысле; Рис. 65 Рис. 59 любые интегральные кривые этой системы группой отображаются в интегральные кривые этой же системы, или же любое стационарное решение соответствующего системе уравнения Лиувилля дФ/дс = = АФ, т.е, решение Ф = Ф(г, и, о'), переводится оператором У в стационарное решение этого же уравнения: |у = УФ.
Если в исходной системе независимой переменной считать не время, а полярный угол <р, то система примет вид Ыт иг~ ди а йт гз — — =з Гг —. с||о т' д|о а ' Оператор этой системы иг'д ад гэд В = — — + — — + З~/2 —— о дт гди сгда коммутирует с оператором У: [В, У] = О. Следовательно, построенная группа, является группой симметрий для этих уравнений в более сильном смысле; каждое ее решение переводится группой в решение уравнения, и каждое решение уравнения Лиувилля дФ/д|о = АФ переводится оператором У в решение этого же уравнения.
То есть, если Ф(у, т, и, о)— решения, то УФ вЂ” тоже решение. При наличии группы симметрий в том или в другом смысле система, рассматриваемая в любой ее форме записи, может быть понижена в размерности. Для понижения размерности в системе следует выполнить замену переменных (г, и, о) — | (х, у, х), где х, у, х представляют собой канонические координаты группы симметрий, т.е. функции, удовлетворяющие условиям Ух = 1, Уу = О, Ух = О. То есть функции ГЛ.
ы. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ у(г, э, и) и г(г, э, о) являются инвариантами группы, а я(г, э, и) представляет собой логарифм собственной функции (З49). Для нахождения этих функций достаточно решить уравнение дФ дФ дФ 2г — + э — + Зп — = 1 дг дэ да или, что эквивалентно, систему обыкновенных дифференциальных уравнений дт дэ Ьт ЫФ 2т я Зо 1 Отсюда находим: 1 я = — !пг, 2 Поскольку любая функция инвариантов есть снова инвариант, то коэффициенты 1/2 и ~/2/2 в выражениях для у и з выбраны только из соображений удобства для дальнейшего. Найденным уравнениям замены соответствуют уравнения обратной замены: т = е2*, э = 2уе , о' = т/2ге~*. Исходная система, после выполнения в ней этих замен, в новых переменных принимает вид й=е у, у=е *(эт — ут), 'З=Зе (1 — уз) или Система имеет две особые точки у = х = 1 и у = г = — 1. Первой точке соответствует устойчивый фокус, второй — неустойчивый.
Фазовый портрет системы изображен на рис. 69. Устойчивому фокусу соответствует точная интегральная кривая в исходных переменных, получаемая из уравнений обратной замены при у = т = 1 в виде а = 1/2гз. Для нахождения соответствующего решения исходим из уравнения т = 2~/г, отхуда г = (,„/го+1) .
Что позволяет выписать однопараметрическое семейство точных решений системы г = э, э = озг з, д = З~/2г в виде г = Цгэ + 1) т, э = 2(~/гэ + 1),, а = Г2( /гэ + 1)з з 56. ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ 267 Изменение полярного угла, соответствующее этому семейству, может быть найдено при помощи формулы а = гтут в виде 1р = т/2!п(1 + 2/~Рд). В результате зависимость тех же переменных от угла ут может быть найдена в виде т = го ехр(т/2!о), и = 2,/ге вехр(т/2!о/2), ст = )/2го ехр(Зт/21р/2).
Таким образом, движение точки под действием следящей силы в полярных координатах представляет собой логарифмическую спираль и = гоехр(т/2!о) или кривую, стремящуюся к ней при 2 -у оо. 2. Задача Суслова. Рассмотрим задачу о скатывании материальной точки по наклонной шероховатой плоскости (рис. 70). Уравнения движения при подходящем выборе масштаба измерения переменных могут быть записаны в следующей форме: х у к=1 — А, у=-(с /твт !. у2 ' /я2 1, у2 Общее решение этих уравнений для случая А ф 1 приведено в книге Г.К.Суслова *. Случай А = 1 — критический; сила трения равна при этом окатывающей силе, или угол наклона плоскости к горизонту равен углу трения. Рассмотрим задачу именно для этого случая при следующих начальных условиях: я(0) = = у(0) = я(0) = О, у(0) = 1. Введя обоЗНаЧЕНИя Х = и, у = и, тт/Хт + ут = ту, получим систему и = 1 — и/ту, 0 = -и/ту, и(0) = О, у(0) = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
