В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 37
Текст из файла (страница 37)
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЪНОИ ТЕОРИИ 226 в которой после применения оператора в старых переменных к уравнениям замены Л(д) переменные д следует выразить через г, используя обратную замену д = Я '(г). Пример. Выразить оператор г д д У=91 +ЧЯг— дд~ дур В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНатаХ (дм аг) — > (г, Р): г = уз, + Чг, ~Р = агс1Я вЂ”, дг = гсозР, дг = гз1п~Р.
Гг г Чг Последовательно находим Уг =9 1/д +д = г соз~Р, Ур =О. Вид оператора в полярных координат таков; д У = г соз р —. дг' 1баноиические коардинапги группы. Естественно поставить вопрос о нахождении таких координат, в которых группа имела бы простейший вид. Для этого потребуем в У = 2'„(Угт;)д/дг; чтобы выполнялось; УВг=1, УЩ=О (гф1). Функции Лг(д) (г = 2, ..., и) представляют собой и — 1 функционально независимых инвариантов рассматриваемой группы, которые всегда существуют. Это следует из известной теоремы из теории обыкновенных дифференциальных уравнений о том, что система уравнений и-го порядка в окрестности любой неособой точки имеет ровно и — 1 локальных первых интегралов. Функция Вг(д) определяет инвариантное семейство гиперповерхностей.
Рассматривая функцию, определяющую инвариантное семейство совместно с и — 1 инвариантом группы в качестве новых переменных, мы приходим к простейшему виду оператора данной группы: д У вЂ”вЂ” дг,' представляющий собой оператор группы трансляций. 1 зь ФОРМУЛА ХАУСДОРФА, ГРУППА СИММЕТРИЙ 227 Сам результат о подобии любой одночленной группы группе параллельных переносов вдоль одной из осей эквивалентен теореме о выпрямлении векторного поля. Координаты, в которых заданная группа является группой трансляций, называются каноническими. Заметим, что функция, определяющая инвариантное семейство и удовлетворяющая уравнению УЙ1 = 1, является логарифмом любой собственной функции. Действительно, пусть Р(о) — собственная функция, а Л1д) — собственное значение: 17Р(д) = Л(д)Р14).
Определим Н1 как Я1 — — !пР14). Тогда Поскольку Л14) — инвариант, то в новых переменных это просто константа, которую можно считать равной единице. Вопрос о знаке Р(о) не имеет значения, поскольку, если Р(о) — собственная функция, то Р2(д) тоже собственная, т.е. всегда существуют положительные собственные функции. Таким образом, роль канонических координат группы играет логарифм собственной функции ее оператора и и — 1 независимых инвариантов.
5 51. Формула Хаусдорфа. Группы симметрий В 247 было выяснено, как преобразуется функция, заданная в некоторой области пространства, однопараметрической группой преобразований. Результат был представлен в двух формах: уравнение Лиувилля и ряд Ли. В обеих формах приведенные соотношения связывали выражение рассматриваемой функции в старых координатах, ее выражение в новых координатах и оператор группы преобразований старых координат в новые.
В настоящем параграфе рассматривается аналогичная задача, однако объектом преобразования является уже не функция, а система дифференциальных уравнений Пусть задана группа преобразований д — ~ д'. о~ = Я(7, т). ' Требуется выяснить, как преобразуется в результате этой замены написанная система дифференциальных уравнений. В терминах ГЛ.ы. ЭЛЕМЕНТЪ| ЛОКАЛЪНОИ ТЕОРИИ 228 операторов групп задача формулируется так. Оператор группы, порождаемой дифференциальной системой, имеет вид Оператор группы преобразований: В новых переменных дифференциальная система принимает вид — = К(д') й с оператором Необходимо установить связь между А, А и У. Решение этой задачи дается формулой Хаусдорфа, к выводу которой мы приступаем.
Запишем преобразования, задаваемые группой, и им обратные в экспоненциальной форме (см. 247): д'=е' д, 4=с ' е'. Напомним, что в этих выражениях в случае прямого преобразования У = ~ пя(4)д/д4,, а в случае обратного в этом операторе формально вместо старых переменных надо писать новые: Используя формулы замены переменных в операторе, установленные в предыдущем параграфе, перейдем в операторе А обратно от новых переменных к старым: А = ) (Ад<) — = ~~ (Ае ' д';) —. д - †.и д ' дд< дд; Компоненты оператора А в этой формуле являются функциями новых переменных. Заменяя их на старые, получаем компоненты исходного оператора А: з оп ФОРМУЛА ХАУСДОРФА.
ГРУППА СИММЕТРИЙ 229 Эти выражения не зависят от т, поэтому (Аг тид!) = !) Ат откуда д.4 -ти l — е ти9' — АУе- и4т РУАе 'и9,'= б. — = АУ вЂ” УА = [А, Ц. дА дт К этому уравнению следует добавить начальное условие А(д', т)~ = А(д'), чтобы получить искомую связь между А, А и У. Уравнение дА(дт = [А, Ц, определяющее преобразованный оператор А, является аналогом уравнения Лиувилля, определяющего преобразованную функцию. Оно раскрывает смысл второго названия для коммутатора — производный оператор: коммутатор есть в буквальном смысле слова производная оператора А по параметру группы, определяемой оператором У. Приведенная начальная задача Коши для операторного уравнения решается при помощи разложения А(д',т) в ряд Тейлора по т: дА тг дгА А(о', т) = А(д')+т — + — — + дт.
2! дтг =о т=о Последовательно находим: дА дт =[А, У] =о = [А У], т=о дг 4 дтг д = — [А, У] дт = [[А, Ц, У],=о = [[А, У], У] и так далее. Первый и второй члены этого соотношения получены дифференцированием по явно входящему т. Третий член представляет собой дифференцирование по т функции зависящей от д', которая, в свою очередь, зависит от т: 9' = е' ц. В результате получаем: ГЛ.
ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЬНОЙ теОРиИ 230 В результате приходим к формуле Хаусдорфа; .2 А = А + т (А, У] + р ((А, У], У] + .. Из этой формулы следует, что если (А, У] = О, то А = А, т.е группа с оператором У не изменяет оператора А (или соответствующих ему дифференциальных уравнений). Группа д' = Я(д, г) в этом случае называется группой симметрий дифференциальной системы Ид/Й = К(д).
Или, говоря иначе; дифференциальная система допускает группу. Если уравнения преобразованиями группы симметрий не изменяются, то это означает, что любые решения этих уравнений группой симметрий переводятся в решения этих же уравнений. Этот факт может служить другим определением группы симметрий.
При этом для эквивалентного дифференциальной системе Ид/й = К(д) уравнения Лиувилля дК/д~ = АР имеет место следующее. Если Р(д, ~) — решение этого уравнения, то УР(у, г) — тоже решение. То есть решения уравнения Лиувилля переводятся в его же решения оператором группы симметрий. Полезность установления симметрий дифференциальной системы демонстрирует следующая теорема. Теорема. Пусть задана система Если известна группа симметрий этой системы с оператором то заданная система может быть понижена в порядке.
~7оказательство. Укажем алгоритм понижения порядка. Группа, порождаемая оператором У, предполагается известной в такой степени, что известны ее канонические координаты т = К(д), в которых оператор У имеет простейший вид: й = д(дгы Но тогда условие (А, У] = О переходит в условие 1 зц ФОРмУлА хАУОДОРФА. ГРУппА симметРий — + М (1) — + ЛГ(Г) у = О. д'у ду йз с11 Вначале приведем это уравнение к виду системы уравнений первого порядка: Нх сСу сСх — = 1, — = х, — = -М(х)х — Л/(х)у.
с11 ' сй ' сй Одна из групп симметрий этой системы очевидна. с изменением масштаба измерения переменной у. растяжений: Она связана Это группа х = х, у' = lсу = (1 + 1с)у, х' = /сг = (1 + р)х. Следовательно, операторы А и У имеют вид д д д А = — + г — — (М(х)х+ Л~(х)у] —, дх ду дг' д д У =у — + е —. ду дх' Можно проверить, что [А, Ц = О. Разыскиваем канонические координаты группы о': я = 4(х, у, 2), г = г(х, у, 2), р=р(х, у, ), исходя из условий Ур=1, од=О, Ус=О, для чего, в соответствии с процедурой, изложенной в 149, разыс- киваем первые интегралы системы пх с1у нх с1р О у с 1 Последний коммутатор сводится к дифференцированию компонент оператора А по гм Равенство нул1о означает при этом, что в канонических координатах группы У оператор А (а следовательно, и дифференциальная система, соответствующая ему) от переменной г1 не зависит.
Пример. Понизить порядок уравнения ГЛ. ы. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ 232 Отсюда. р =!ну, д = х/у, т = х. Находим выражение для оператора А в новых переменных: д д д А = (Ар) — + (Ад) — + (Ат) — = др дд дт гд (1 гг1 д д = — — — 1~-]М(*) +А((*) 1+ — ' — + —. удр 1,у уг ) ду дт. Или, выражая х, у, г через р, д, т; д , д д А = д — — [М( )у+Л((т)+ дг] — + —. др дд дт Иными словами, в новых переменных исходная дифференциальная система имеет вид р=д, д=дт(т)+М(т)о+у~, т=1, т,е.
задача сведена к интегрированию уравнения Риккати. Заметим, что приведенный способ понижения порядка требует знания канонических координат группы симметрий. Однако есть случаи, когда для этого достаточно лишь знания оператора группы, Например, это возможно, когда размерность системы равна двум, Рассмотрим этот случай. Пусть имеем систему дх ду — = Х(х, у), — = У(х, у) и'г ' ' й с оператором д д А = Х(х, у) — + У(х, у) —, дх ' ду' и пусть известен оператор ее группы симметрий; д д и = б(х, у) — + Е(х, у) †, дх ' ду' про который будем дополнительно предполагать, что он является линейно несвязанным с оператором А. (Условие линейной несвязанности является более жестким, чем условие линейной независимости, и определяется так: операторы им ..., иь называются линейно несвязанными, если не существует таких Лг(д), ..., Ль(д), не всех тождественно равных нулю, что л,и,+ ...
+л„и„=о. В отличие от определения линейной независимости здесь коэффи- циенты Л могут зависеть от переменных д.) Э вк ФОРМУЛА ХАУСДОРФА. ГРУППА СИММЕТРИЙ эээ Пусть ьг(х, у) — первый интеграл рассматриваемой системы. Это значит, что Аьг(х, у) = О. Поскольку группа симметрий переводит решения в решения, то семейство интегральных кривых ы(х, у) = С должно быть инвариантным семейством группы: сг'ео(х, у) = 1. Эти два соотношения образуют систему дго ды Х(х, у) — + У(х, у) — = О, дх ' ду ды ды 6х, и) — + г1(х, У) — = 1 дх ' ду Разрешая эту систему, находим У(х, у) дх Х(х, у)г1(х, у) — У(х, у)1(х, у) ' ды Х(х, у) ду Х(х, у)Ч(х, у) — У(х, уК(х, у) Отсюда первый интеграл исходной системы находится квадратурой Х (х, у)г1у — У(х, у) г1х ог(х, у) = Х(х, у)г1(х, у) — У(х, у)б(х, у) Аналогичный результат имеет место и в случае произвольной размерности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
