В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Вид замены для устранения имеющегося нелинейного члена такой же, как и в простом случае: 21 = у1 — А1у ' ... у~~" + У1 = 21 + й 21 ) ... 2™", 3 42. СВОЙСТВА КОЛЕБАНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 1ээ Поступая аналогично случаю простых корней, находим: 21 = Л121 + 22 + [у1 — ( — Л1 + пззЛ! + ... + пзп Лп ) 61! 2~' ... 2„"— з1 пзз — 1 пзз+1 пзз пз„+ 121 22 23 зп По-прежнему в нерезонансном случае, т.е. когда -Л,+,Л,+ ... +, „Л„~б, можно устранить член з, ', ..., 2„", однако появляется новый член того же порядка пзз — 1 зпз+1 пзз пз„ 21 22 22 зп Очевидно, что этот член тоже нерезонансный и его можно устранить очередным преобразованием.
При последовательном выполнении этих процедур степень первого сомножителя будет убывать, а второго — расти. Повторив процесс нужное число раз (равное степени первого сомножителя), получаем член вида зпз4-зпз пзз пз '''зп который уже устраняется без появления новых членов того же порядка. Рассмотрение случая произвольного набора жордановых клеток уже не встречает принципиальных затруднений. При применении этой процедуры на практике все указанные элементарные преобразования выполняются одновременно. Нами доказана (с указанием конструктивной процедуры приведения) Теорема Пуанкаре-Дюлако.
В классе полиномиальных замен конечного порядка любая система вида (з) приводима к виду, в котором все члены до соответствующего порядка включительно резонансны. 43. Свойства колебаний нелинейных систем 1. Нелинейная диссипапззи энергии колебаний, Рассмотрим колебания одномерного осциллятора, на который действует диссипативная сила, нелинейно зависящая от скорости: 8 з й+ -ах~ + х = О (с > О). 3 Запишем это уравнение в виде системы в нормальной форме Коши: з 8 с = у, у = -с — -еу .
3 200 ГЛ. 10. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Для приведения линейной части к диагональному виду введем обозначения: г = г+ гу, г = х — гу. В этих переменных имеем 1 г = — гг+ -г(г~ — Зггг+ Зггг — гз). 3 Уравнение для г является сопряженным к написанному, поэтому выписывать его не обязательно, хотя его присутствие будет иметься в виду. Теперь наш осциллятор записан в виде, к которому может быть применен метод нормальной формы Пуанкаре.
Поскольку Л1 = -г, Лг = 1, то в правой части написанного уравнения присутствует только один резонансный член ггг (для него Л1 — — 2Л1+Лг). Поэтому нормальная форма Пуанкаре второго порядка имеет вид г сз — гг — гг й. 2— Переменная, удовлетворяющая этому уравнению, отличается от переменной, удовлетворяющей исходному уравнению, как это следует из доказательства теоремы Пуанкаре — Дюлака, квадратичными членами.
Поэтому, с точностью до этих членов, приближенное решение точного уравнения можно получить, решая его нормальную форму'. Нерезонансные члены оказывают меньшее влияние на решение, чем резонансные. Нормальная форма легко решается. Умножим написанное уравнение на г, а сопряженное ему на г и сложим: — = -2б(гг) 4гг) - г й Отсюда С 1+ 2бС1 где С вЂ” значение гг, в начальный момент времени С = гоуо, Подставляя это решение в г = — гг — бг(гг) и интегрируя, получаем гое .ТТ2С Более строгое утверждение о соответствии точных и приближенных реюений дается теоремой Боголюбова, в силу которой приближенное рещение стремится к точному при с -гО для любого г из интервала (О, 1/г] (теорема сформулирована для метода осреднеиия, представляющего собой разновидность метода нормальной формы).
у 4з, свойстви колквлний нклинкйных систкм гог Или, возвращаясь к переменным х, у, имеем хо соа à — уо з1п г х— ~ г + 2 (~* + у))~ Полученное решение показывает, что характер затухания колебаний при 1 -э оо уже не имеет экспоненциального вида, как это было в линейном случае. Нелинейные диссипативные силы приводят к затуханию степенного вида, т.е.
к более "вялому", чем линейные. 2. Автоколебания, Автоколебаниями называются изолированные, асимптотически устойчивые периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений. Отличие автоколебаннй от вынужденных колебаний заключается в следующем. В системах с диссипативными силами поддержание периодических колебаний осуществляется посредством приложения периодических внешних сил. Это проявляется в том, что дифференциальные уравнения, описывающие такие И системы, являются неавтономными, периодически зависящими от времени.
1 В автоколебательных системах внешних периодических сил нет. Подпержание периодических колеба- Рис. 65 ний в них осуществляется за счет стационарных внешних, или внутренних источников энергии, благодаря особому механизму взаимодействия их с самой системой. Типичным примером автоколебательной системы являются механические часы. В них стационарный источник энергии — внутренний. Древнейшим примером автоколебательной системы является танталов сосуд (рис. 65).
Вода медленно поступает в сосуд из источника с постоянным расходом. При достижении уровня Иг она быстро истекает через боковой патрубок до уровня Иь Процесс периодически повторяется. Простейшим математическим примером автоколебательной системы является уравнение Ван-дер-Поля х + 2г(1 — 4хг)х + х = О, приближенно описывающее колебательный процесс в ламповом генераторе. ГЛ.
20. МАЛЪ|Е КОЛЕБАНИЯ 202 Как и в предыдущем примере, от системы у = — х — 2е(1 — 4гг)у, посредством замены переменных г = г+ 1У, г = г — 1У, приходим к системе г = -1г — с[1 — (г+ й) ](г — У), й = $г — е[1 — (г + г) ](Ы вЂ” г), в которой Л1 — — — 1, Лг —— 1 и резонансный член в первом уравнении имеет вид г~г. Следовательно, нормальная форма первого приближения есть У = 1г — е(г — г г). г = Фг е(г г у), Решение этих уравнений осуществляется как и в предыдущем случае, т.е.
умножая первое уравнение на г, а второе на г и складывая, получим: ~1 — (гг) = -2е[гг — (гг) ]. й Общее решение этого уравнения имеет вид го га гй= гого+ (1 — гога)еаы Подставляя это решение в исходную систему и интегрируя получающиеся линейные уравнения, находим: гое " Или, возвращаясь к исходным переменным; ге соз1+ ус з1пг г— Это решение показывает, что у уравнения Ван-дер-Поля имеется единственное периодическое решение с начальными условиями: ге+ 2 +уег — — 1 и с амплитудой, равной единице. Все остальные решения стремятся к нему асимптотически при 1 -э со, если е ( О. з 43.
сВОЙстВА кОлеБАний нелинейных систем тоз Найденное периодическое решение в этом случае и представляет собой автоколебательный процесс. 3. Вынужденные колебания. Вынужденные колебании нелинейного осциллятора мы рассмотрим на примере уравнения Дуффинга х+ ах+ 6х+ схз = Нз1пил, в котором нелинейная восстанавливающая сила представлена кубическим двучленом. Целью следующего ниже анализа является выяснение вопроса о том, какие изменения претерпевает амплитудно-частотная характеристика линеЯной системы, изображенная на рис, 59, при появлении в уравнении нелинейного члена схз. Для удобства дальнейших выкладок слегка изменим обозначения входящих в уравнение параметров: а = 26, 6 = 1 — 2Ь, с = 8е/3, 41 = 2д.
Величина 4з называеся расстройкой частот. Если единицу измерения времени выбрать так, чтобы ы = 1, то при Ь = 0 в линейной системе наблюдается резонанс. Зависимость амплитуды установившихся колебаниЯ, имеющих период внешней силы, от растройки 4з и будет представлять собой форму записи амплитудно-частотной характеристики. Решать написанное нелинейное дифференциальное уравнение мы будем методом нормальной формы Пуанкаре, для чего перепишем исходное уравнение в виде системы х 8 з у = — х(1 — 2Ь) — 2Иу — -ех + 2д соей 3 Выше нормальная форма Пуанкаре излагалась и применялась для автономных систем дифференциальных уравнениЯ.
Рассматриваемая теперь система неавтономна. Однако и ее можно записать в автономной форме, если ввести вспомогательный осциллятор О+ и = О. Его решение прн начальных условиях и(0) = 1, и(0) = 0 имеет вид и = сов Й совпадающий с видом приложенноЯ к исходному нелинейному осциллятору силы. Поэтому написанная система эквивалентна следующеЯ: у = — х(1 — 2Ь) — 2Лу — -ех + 2ди, 3 3 6 = — и, и(0) = 1, и(0) = О. и =и, Эта система автономна и к ней применяется метод Пуанкаре.
По-прежнему удобно использование комплексных переменных х = = х+1у, в = и+ 4и, в которых написанная система принимает вид -з 1 = — 1(1 — Ь)г+ 4ЬŠ— Ь(х — у) — -1е(г+ у) + 4д(4э+ в), 3 4и = — иэ, 4а(0) = 1. ГЛ. 20. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 204 Уравнения для сопряженных переменных й и ш являются сопряженными к написанным. Характеристические числа "невозмущенной" части системы (т.е. системы при 2з = И = в = р = 0) имеют вид Л1 — — Л2 = — 2, Лз = Л4 —— б Первые два относятся к выписанной системе, вторые два — к сопряженной.
В соответствии с этим нормальная форма первого приближения такова: г = — 1(1 — гг)г — Ьг — 2ег г+ цяш, ш = — ии, 2в(0) = 1, Если решение этой системы искать в виде ш = шо ехр( — й), г = го ехр( — И), то для переменных гв(1) и шв(1) получаются уравнения го =' 22аго — Аго — гвгвйо + ца, 2- 2вв = О.
Решение будет периодическим, если гв = сопев и шв — — сопвс. Это приводит к уравнению для нахождения гв: 2Ьго — Ага — ьтгвго + 1Р = О, 2- откуда, обозначая квадрат амплитуды А = гойо = ге+уз, находим: 2 — 2 2 — ар 2/г 2Ь вЂ” 6 — ввА2 ' 2Ь+ 6 — 1гА2 Перемножая эти равенства друг на друга, имеем 2 Аг и ь Аг(ьг+(вА2 А)2] рг (44) пг+ (вА2 — Ь)2 Получено уравнение, определяющее в неявной форме амплитудно-частотную характеристику А(Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
