В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Силы 4|д в литературе по механике имеют несколько названий: циркулярные, или псевдогироскопические, или собственно иеконсервативнме, или силы радиальной коррекции, Последнее название встречается в более специальной литературе. Основные свойства этих сил таковы. Свойство 7. Циркулярные силы ортогональны вектору обобщенных координат: 9ТМ4 = О. В частности, в плоском случае это озна- Рис.
60 чает, что силовые линии векторного поля циркулярных сил — окружности (рис. 60). Этим и объясняется их название (от франц сегс|е — круг) 3 40 КОЛЕБАТЕЛЪНЫЕ СИСТЕМЫ 177 Свойство 8. Работа циркуляционных сил по замкнутому контуру в плоском случае пропорциональна площади, охваченной этим контуром: О 71 ! Л;гцд;Йв=.~чгд,-ырра, л'= — и О чу В общем случае эта работа равна сумме площадей проекций замкнутого контура на двумерные подпространства, соответствующие каноническому представлению матрицы Лг. Существует и более подробная классификация линейных сил, основанная на дальнейшем разложении (тоже единственным способом) симметрических матриц 0 и К в сумму скалярной и девиаторной частей. Скалярная матрица это диагональная матрица с одним и тем же числом на главной диагонали Матрица-девиатор —.
это матрица, имеющая равный нулю след. Скоростные силы, определяемые скалярной матрицей, называются скоростными силами сферического типа, а определяемые девиатором — скоростными силами гиперболического 1пипв. Аналогично и для позиционных сил — позиционные силы сферического и гиперболического типа. 2. Свободные колебания консервативных систем, В консервативных системах действуют только потенциальные силы, поэтому уравнения движения имеют вид Аг'+ Кд = О. Для того чтобы движения системы были колебательными, матрицу К тоже следует считать положительно определенной; д~Кд > О. Разыскиваем движение этой системы в виде д = Л соз(ЛС + а), где Л вЂ” неизвестный постоянный вектор, Л и а — неизвестные постоянные скаляры (частота и начальная фаза).
Для нахождения 6 получается линейная алгебраическая система (К вЂ” дА) л = О (д Лг) Система линейных однородных уравнений имеет нетривиальное решение 6 ф О, если и только если дег (К вЂ” дА) = О. Это характеристическое уравнение порядка п относительно неизвестной д называется уравнением частот. Теорема, Уравнение частот имеет только вещественные и положительные корни. 13 Зак 233 ГЛ. 1О. МАЛЪ|Е КОЛЕБАНИЯ 17В ,Ыоказап1ельство. Пусть д — комплексный корень уравнения частот, и ему соответствует комплексное решение И соответствующей линейной системы. Умножим эту систему слева на эрмитовосопряженный вектор И', т.е. транспонированный и с комплексно- сопряженными элементами; 6* = (61, ..., 6„). В результате получаем И'КИ вЂ” дИ'АИ = О.
Отсюда находим рс '> 'И;16<6, 66 Поскольку система вещественная, то имеется и комплексно- сопряженный корень р с комплексно-сопряженным решением И. Проделывая выкладку аналогично только что выполненной, полу- чаем ~" И;,И;И, Й= —. Еа 36167 (,И', А61) = О, если зфЬ Доказап1ельство. Векторы 6' и И' удовлетворяют следующим соотношениям: КИ' = р1АИ' и КИ' = р,АИ'. Умножая первое скалярно на И', а второе на Ь1, получаем (61, КИ ) =р,(61,АИ). (И', КИ') = д1(6', АИ'), Вычитая одно из другого, имеем 011 — д,)(6', АИ*) = О, И, в силу симметричности матриц А и К, получаем д = д, т.е.
— вещественное. Следовательно, и И вЂ” вещественный вектор, и, поскольку формы ~И; И;И и ,'1,аО616у положительно определены, р > О. Таким образом, уравнение частот имеет и положительных корней р1,..., и„, и им соответствуют и вещественных векторов 61, ..., И". Теореме. Если среди корней уравнения частот нет кратных, то собственные векторы Ь" являются А-ортогональными, т,е. з 40. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЪ| !тз откуда, если р| ф д„(Л', АЬ') = О. Если 1 = г, то (Л',АЛ') = т| ) О. Нормируем вектор И~: И~ — 4 И~ /ть Тогда доказаниое свойство А-ортогоиальиости можно записать как свойство А- ортонормироваииости: (И~, АЛ') = бп, где Юп = 1 при в = ! и дн = О, если г ф!. Следствие.
Векторы Л', ..., Л" линейно независимы. Действительно, если и,Ь' + ... + и„Л" = 0 и иг ф О, то (АИ",о|И'+ ... + +о„Л") = О, что влечет за собой (АЛ", Л") = О, а это невозможно. Следовательно, общее решение системы Ао'+ Ка = 0 есть д = С|И~ сов(А|! + а|) + ... + С„Л" сов(Л„! + а„). Векторы Л" носят название амплитудных векторов. Колебания с чистым тоном, из которых составляется общее решение 9 = САЛ" соз(ЛС + аг), иазываются главними колебаниями системы.
Направления главиых колебаний, определяемые амплитудными векторами И~ (Л = = 1,..., п), называются главными направлениями в коифигурациоииом пространстве линейной колебательной системы. Эти главные направления можно выбрать в качестве новых координатных осей, рассматривая амплитудные векторы в качестве нового базиса. Тогда координаты, определяющие положение колебательной системы в новом базисе, называются нормальными координатами. Для перехода к иормальиым координатам в системе Ад+Кд = 0 следует выполнить замену переменных д -Ф у по формуле 9 = И' у, +...
+ И" у„= и у, где И1 Н= Л„'... Л„" Выполняя это пптеобразоваяие в рассматриваемой системе и умножая слева иа Н, получим НТАНуу Ь Н КНу = О, В силу того, что (Л~, АИ') = бы, матрица НтАН равна единичной, а в силу того, что (Л~, КЛ') = уц(Л", АЛ') =,и|бы, |з.
ГЛ. 1О. МАЛЪ|Е КОЛЕБАНИЯ 180 имеем о Еь Таким образом, в нормальных координатах рассматриваемая система приобретает вид у, +р,у, =б, у„+ д„у„= б. Все сказанное выше получено в предположении отсутствия кратных корней в уравнении частот.
Все остается справедливым и в случае кратных частот (следует из известной в алгебре теоремы о приведении пары форм к главным осям). При решении уравнений (К вЂ” дА)6 = 0 в случае кратного корня д размерность пространства решений равна кратности корня. Выбор независимых решений из зтого пространства осуществляется с использованием процедуры ортогонализации.
3. Вынужденные колебания. Пусть консервативная колебательная система подвержена действию внешней силы, зависящей от времени Е(1): Ад+ Кд = Е(Е). Будем полагать, что гармоническая внешняя сила приложена по й-й обобщенной координате, т.е. Е(~) имеет вид П~) =— рсозьл = еьрсозьп'. Переходя к нормальным координатам д — > у, получим НтАНу'+ Н КНу = Н еьрсозы1 г 40.
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЪ| 181 или, в покоординатной форме: у1 + Л,у1 — — )гьрсовьл, г ! Ув + Л, Уи = ЛьусовьРФ. Частное решение этой системы с периодом внешней силы (вынужденные колебания) имеет вид И„Рсоа ыг г г т или же, возвращаясь к старым координатам, найдем: Коэффициенты Ано показывающие, как возбуждение по /с-й координате влияет на движение по с-й координате, называются гармоническими коэффициентами влияния.
Они, очевидно, являются симметрическими: А,ь = Аь„ что выражает так называемый принцип взаимности. Если в = й, то в выражении для А,» числители всех слагаемых положительны, и график зависимости А„(ы), сочетающий в себе понятия амплитудно-частотной и фазе-частотной характеристик одномерной системы, имеет вид, изображенный на рис. 61. График показывает, что всегда имеетси ровно и резонансов и ровно п-1 точек на оси частот, при которых амплитуда колебаний возбуждаемой обобщенной координаты равна нулю Такое явление называется Рис.
81 Рис. 63 явлением динамического поглощения колебаний или антирезонансом. Если же й ф с, то в силу А-ортогональности амплитудных ГЛ. 1О. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 182 векторов, числители слагаемых, входящих в выражение А,ю уже не могут иметь одинаковый знак. Число антирезонансов меньше, чем и — ! (их может не быть совсем), и график А,ь(ы) имеет, например, такой вид, как это изображено на рис. 62. Рассмотрим теперь вынужденные колебания в тех случаях, когда в системе присутствуют диссипативные силы: Ад + Од + Кд = еьрсоам!.
Поступаем так же, как в случае одномерной системы, т,е. заменяем написанное уравнение следующим: Ае + 1:Ц + Кй = еьре' '. Частное периодическое решение исходного уравнения получается как вещественная часть соответствующего решения только что написанного уравнения: 1е12л Для вектора амплитуд 1 получается система алгебраических уравнений ( — Аыз + !и0+ К)1 = еьр. Решая ее по правилу Крамера, получаем для з-й компоненты вектора 1: 1, = !х,|/!х = [и(м) — 1э(ы)]р, где !х — определитель системы, а 2а,ь — алгебраическое дополнение элемента этого определителя, стоящего в пересечении Й-й строки и з-го столбца. Искомое вещественное решение исходной системы имеет вид д, = [и(ш) созм!+ е(м) з1пм!)р.
Функция определяет амплитудно-частотную характеристику колебаний по з-й координате при возбуждении по я-й. 4. Особые направления в пространстве конфигураций линейных консервативных систем. Найденные выше главные направления свободных колебаний Иь являются особыми в том смысле, что только в этих направлениях форма колебаний прямолинейна, а сами колебания являются гармоническими (одночастотными). При сколь угодно малом отклонении начальных условий от начальных условий, определяющих главные колебания, отмеченные свойства пропадают Рассмотрение вынужденных колебаний обнаруживает существование в конфигурационном пространстве еще двух семейств особых 'г 40.
КОЛЕБАТЕЛЪНЫЕ СИСТЕМЫ 1вз направлений: если внешняя периодическая сила действует вдоль какого-либо из этих направлений, то периодическое решение системы обладает свойствами, которых не имеют периодические решения прй любых других внешних силах. Особме направления, сопряженные главным, получаются из главных преобразованием й" с матрицей К, т.е. Кп". Свойства этих направлений устанавливает следующая теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
