В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Теорема, Если в системе Ад+ Кд = рсоемг сила рсоемг (здесь р — вектор) направлена вдоль сопряженного направления, то вынужденные колебания, имеющие частоту м, осуществляются вдоль соответствующего главного направления, причем при изменении ы от нули до бесконечности система ведет себя как одномерная, т.е. амплитудно-частотнаи характеристика имеет единственный разрыв второго рода в точке м = Лю ,Чоказашельстлво. По условию теоремы р = Кп~.
Периодическое решение ищем направленным по вектору п~: о = аа сов м1, где а — скалярная величина, определяющая амплитуду решения. Подставляя эти выражения дли р и о в систему, находим а(К вЂ” шгА)п" = КЬ~. Поскольку амплитудные векторы 6~ удовлетвориют условию ЛгАА" = КЬ", то из написанного соотношения получаем; а 1 г 1 КЛА О откуда Лг г Лг ыг' ь Теорема доказана, Особый характер направления, сопряженного главному, проивлиется в том, что при сколь угодно малом отклонении направления вынуждающей силы от этого направления на амплитудно-частотной характеристике появляются в общем случае и точек разрыва. Рассмотрим главнме направления вмнугюденнмк колебаний.
Определение. Пусть о = Лсовмг — частное решение системы Ао + Кв = р сов мЪ Главным направлением вынужденных колебаний будем называть такое направление р, которое совпадает с направлением отклика системы на периодическое возбуждение: 6= ар, ГЛ. 1О. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 184 где и — скаляр, определяющий амплитуду колебаний. Поскольку вектор И связан с вектором р в общем случае формулой (К вЂ” ы'А)И = р, то главные направления вынужденных колебаний должны удовлетворять системе К вЂ” мгА рЕ)И 0 т.е, вектор, определяющий главное направление, является собственным вектором матрицы К вЂ” мгА, а величина, обратная амплитуде колебаний р = и 1, представляет собой собственное значение (Е-- единичная матрица).
Это собственное значение является корнем уравнения бес(К вЂ” ыгА — рЕ) = О. Поскольку матрица К вЂ” ыгА симметрическая, то написанное уравнение содержит ровно и вещественных решений. Так как А и К вЂ” положительно определенные матрицы, то существует м м такое, что К вЂ” мгА — также положительно определенная матрица для всех ш из интервала 0 < ы < ы,„,„. Наряду с этим существует такое, что К вЂ” мгА — отрицательно определенная матрица для всех ш из интервала ш „< м < оо. Первый случай называется дорезонансным, для него все р отрицательные. Поскольку при переходе от отрицательных значений к положительным р проходит через ноль, то ш св и м,„совпадают с наименьшим и наибольшим значениями корней уравнения с)ес(К вЂ” ы'А) = О.
Каждому решению уравнения ссеС(К вЂ” ыгА — рЕ) = 0 относительно р соответствует собственный вектор Л, являющейся решением соответствующей однородной системы. Уравнение для нахождения р определяет неявную функцию р(мг), имеющую и ветвей. Свойства этой функции устанавливает следующая теорема, Теорема. Каждая из ветвей функции р(шг) является монотонно убывающей, имеющей ровно один ноль на интервале мг б (О, оо). ,Показательство. Систему для нахождения Ь умножим скалярно на вектор И: (И, КЛ) — шг(Л, АЛ) —,и(Л, И) = О.
В этом уравнении векторы Л, представляющие собой решение системы ( — Аыг + К вЂ” рЕ)И = О, сами являются функциями ыг, поэтому, дифференцируя его по шг, имеем 2( КИ~ (И АИ) 2ыг ( АИ~ (Л И) 2н( Л 0 2' ) 2' ) 4~ 2 (,~ г' 3 40. КОЛЕБАТЕЛЪНЫЕ СИСТЕМЪ| 185 Поскольку в этом уравнении члены, содержащие НЛ/Ыы2, в силу системы в сумме обращаются в ноль, то оставшиеся члены дают Ную (Л, АЛ) сй.д (Л, Л) В силу положительной определенности А отсюда следует, что Нр/Нм2 < О. В полученной формуле для производной Ир/Ыш2 каждый собственный вектор Л определяет производную от соответствующего именно ему собственного значения 13.
Если же при каком-то ы2 возникает случай кратных корней уравнения 1(еб(К-ы2А — рЕ) = О, то в силу симметричности матрицы К вЂ” ш2А собственные числа остаются дифференцируемыми функциями ш2, и формула для нд/нм2 остается верной, однако оиа требует специального выбора собственных векторов из собственного подпространства, отвечающего кратному корню Монотонное убывание функции д(м2) доказано. Заметим далее, что р(0) > О, поскольку д(0) — собственные числа матрицы К. С другой стороны, 11п3„з р(ш2)/ы2 < О, поскольку этот предел совпадает с собственными числами матрицы — А.
Монотонно убывающая непрерывная функция, имеющая на концах интервала значения разных знаков, имеет один ноль внутри этого интервала. Теорема доказана. На рис. 63 изображена произвольная ветвь функции р(м2). Величина (и(ьг)( = (р(ы~)( ' представляет собой амплитудно-частотную характеристику главных вынужденных колебаний механиче- ! ской системы. ! Из изложенного следует, что 1 любая система А д + Кб = р сов ш1 ! (! имеет ровно и амплитудно- ! частотных характеристик главных колебаний, каждая из ко- "й торых имеет единственный разрыв второго рода.
Это означает, и что если систему с и степенями свободы возбудить вдоль главного в определенном выше смы- Рис. бэ еле направления, то при изменении ш от 0 до со в системе наблюдается один резонанс. Как и в случае возбуждения вдоль сопряженного направления, система ведет себя как одномерная.
Пример Построить амплитудно-частотные характеристики глав- ных вынужденных колебаний в колебательной системе с двумя 12 Зак 233 ГЛ. 1О. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 186 степенями свободы: 2 -1 созьл, Яг — 1 2 Рг Решение. Система для определения главных направлений вынужденных колебаний имеет вид 2 — 2ыг — р — 1 61 Приравнивая ее определитель нулю (2 — 2ыг р)(2 ыг д) + 1 — О находим ветви функции р(ыг); 1 г = -(4 — ь, г ~ 1/Э + 4 ) 2 Соответствующие этим собственным значениям собственные векторы имеют вид 1 и'= 1 г у~г = — г + 1у,„4 + 4) 2 нормы направлена по какому-либо из системы будет направлен по этому же = я сояы1, Р1 рг Скаляр и = 1/р и есть амплитуда колебаний в этом случае. То есть амплитудно-частотные характеристики двух главных направлений имеют вид 2 2 и1 —— иг = 4 — Зь1г + уР + 4 4 — За~ г — 4Р + 4 Точки разрыва этих характеристик (резонасы) з+ ~/з, з — Гз Ы1' 2 2 ыг— совпадают с собственными частотами соответствующей однородной системы.
2 О О 1 Если сила р единичной этих векторов, то и отклик вектору: 41 Чг 1 — -(ы — Чы~ + 4) — Ч 2 1 41. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 18т Полученные в настоящем пункте результаты представим следующей таблицей: О 41. Спектральные свойства линейных систем Будем рассматривать линейные системы следующего вида: Ад'+ Гд+ Кд = О, где матрицы А и К вЂ” симметрические и положительно определенные, à — кососимметрическая матрица гироскопических сил.
Системы этого вида представляют собой самый общий вид линейных колебательных систем, т.е. таких систем, общее решение которых может быть составлено из гармонических колебаний. Это означает, что независимые частные решеняя можно искать в виде д = Ье11' с вещественными Л. Покажем это. Подставляя это решение в рассматриваемую систему, находим: ( ЛгА+ ~ЛГ+ К)Ь О Умножая полученное равенство на комплексно-сопряженный вектор Ь, получим следующее скалярное равенство: ЛгЬ АЬ+ ~ЛЬ ГЬ+ Ь КЬ О ГЛ. !О МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ свв Заметим, что, в силу свойств симметрии матриц А и К и косой симметрии матрицы Г, имеем Ь АИ=И' АИ'+Из АЬз=а (И=И'+сИз) И КИ = И' КИс+И КИ Ь ГИ = 2сИ' ГИ~ = 2сд, где а,/с,д — вещественные числа, причем а > О, И > О. Из найденного квадратного уравнения выводим — д х;/у~ + а/с откуда и следует вещественность Л.
Корни Л находятся из характеристического уравнения с(ес( — Л А+ сЛГ+ К) = О, имеющего 2п корней. Если Л = Ла — корень этого уравнения, то Л = — Ла — тоже корень. Это следует из того, что с)ес( — Л А+сЛГ+К) = с$ес( — Л А+сЛГ+К) = <$ес( — Л А — сЛГ+К). Таким образом, у характеристического уравнения с гироскопическими силами всегда есть и положительных корней, которые и являются собственными частотами системы. 1. Поведение собственных частот при изменении зкесткости или массы. Систему и линейных уравнений с комплексными коэффициентами ( — ЛзА+ гЛГ + К)И = О можно заменить системой 2п уравнений с вещественными коэффициентами посредством введения 2п-мерного вектора т, первые и компонент которого есть вещественная часть вектора И, а оставшиеся и компонент есть мнимая часть вектора И: т= Соответствующая вещественная система имеет вид (тЛ'+ ВЛ вЂ” Ч) = О, О А ' — Г О ' О К Наряду с механической системой Ад' р Гд+ Кд = О можно рассматривать механическую систему вдвое большей размерности, в з 41.
спектРАльные сВОйстВА линейных систем 1вэ которой уже нет гироскопических сил и матрица потенциальной энергии которой отрицательно определена: д д(з, Тз) д(з, Сз) д(з, 1тз) й д' д' д Разыскивая ее решение в виде з = ге"', мы и приходим к написанной выше системе для нахождения т. Некоторые свойства решений этой системы устанавливает следующая лемма. Лемма 1.
Пусть Ло — корень уравнения с)ес ( — ЛзА+ +1ЛГ+К) = = О, а т+ — решение системы (ТЛ +СЛ вЂ” т)т = О, соответствующее этому корню Тогда существует такое решение г у этой системы для Л = — Ло, что имеют место следующие равенства. 1) г+ Тт+ — т Тт, т+ (тг+ — т Чг 2) т+ Сте+г Сг =О. ,Показательство. Покажем, что всем условиям удовлетворяет вектор /Е О '1 +' Е [Π— Е, (Š— единичная и х и матрица). Проверка того, что т в этой форме действительно является решением, основывается на очевидных равенствах ЕТЕ = Т, Е(тЕ = = 'т', ЕСЕ = — С, в силу которых имеют место и свойства 1) и 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
