В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Характлеристическая функция. Скалярно умножая на г систему (ТЛз + СЛ вЂ” 1т)г = О, получим г ТтЛ +т СгЛ вЂ” т 1тт=О. В дальнейшем удобно иметь дело не с Л, которая может быть как положительной, так и отрицательной, а с Лз, которую обозначим буквой р = Лз. Для этой переменной из написанного выше уравнения следует (т Тт)зрз — [2(г Тг)(г $/г) + (т Ст)11уз+ (г Чт)з = О.
Будем рассматривать это уравнение как неявную функцию р(г). Лемма 2. Решения системы (ТЛз+СЛ вЂ” Ът)т = О и только они являются критическими точками (гпах, ппп или точка перегиба) функции р(г). ,Уоказательсгиво. Продифференцируем промежуточное соотношение (') по г: 1 1дЛ Л'Тг+ ЛСт — )тт+ 1(т Тг)Л+ -г Сг1) — = О. 2 ~дг ГЛ. 1О МАЛЪ|Е КОЛЕБАНИЯ 190 Покажем, что г ТгЛ+ (1/2)г Ст ф О для г 92 О.
Пусть это не так, тогда Л= —— 2 то Тто для некоторого то ф О. Подставляя это равенство в (4), получим (го Сд'о) + 4(го Тто)(то 7 то) = О что невозможно в силу положительной определенности Т и 22. Следовательно, ЫЛ/Ыг обращается в ноль только для таких г, которые являются решениями системы Л Тт+ЛСт — г'т = О.
С другой стороны, поскольку Л(г) ф О, если т ф О, то и о(р/4)г = 2Л41Л/4|т обращается в ноль там же, где и 4/Л/йт. лемма 3. Функция |2(г) (каждая из ее ветвей) — монотонно возрастающая функция потенциальной энергии, те. если имеются две механические системы с одинаковыми Т и С и с )т и У' такими, что г |тг < г 1ддт для любого г ф О, то р(г) < р(г'). Доказательство. Выпишем характеристическую функцию в явной форме, введя для простоты обозначения г Тг = г, г Ут = и, т Ст=д: 2:,д 2 дддд д |2 = 2гэ (44) Дифференцируя, получим 41|4/Пи > О для т ф О, так как ти > О. Характеристическая поверхность. Будем считать, что в г|э" определена метрика прн помощи квадратичной формы (г, Тт); ||г|| = дlг. Тт.
Рассмотрим в этом пространстве гиперповерхность П, определяемую уравнением 4|4|г'О4|2(т) = 1.' (т Ст)э — (г, |дг)э(т Тт)э + 2(т Тт)(т |тт) = 1 Это уравнение определнет замкнутую поверхность восьмого порядка. Луч, выпущенный из начала координат в любом направлении, пересекает ее в двух точках, соответствующих разным знакам в выражении для р. Вектор то, удовлетворяющий системе (ТЛз + СЛ вЂ” У)г = О и имеющий длину )ло) 1/э, где ло — соответствующее этому вектору значение Л, принадлежит П. Длину такого вектора будем называть главной полуосью поверхности.
Будем различать в дальнейшем две ветви П: ветвь, соответствующую верхнему знаку в (44), обозначим П+, ветвь, соответствующую нижнему знаку, — П . Аналогичные обозначения введем и для ветвей |д(т): дэ(т) и и (г). 1 4ь СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 1э1 Лемма 4.
Поверхности П+ и П имеют одну и ту же систему главных полуосей, ,Показатлельстео. Рассмотрим (**) и, опираясь на лемму 1, получим Лч.(т+) = Л (т ), Л+(т ) = Л (т+). Отсюда следует, что линейно-независимая система система решений т может быть разбита на две подсистемы ..., т„, ! ! о о такие, что д+(т,') = Лз, и д (то) = Л~, откуда и вытекает утверждаемый факт. Будем считать, что для введенной в лемме 4 системы векторов соответствующие характеристические числа расположены в порядке возрастания их модулей: )л ) « ... )Л„). Введем обозначения для главных полуосей; а< = ))т,')) = ))т,")) = )Л;) Очевидно: а1 > аз »... а„.
Поскольку каждая из ветвей П+ и П обладает одной и той же системой полуосей, в дальнейшем достаточно рассмотреть одну из них, Рассмотрим для определенности П+. Покажем, что главные полуоси П+ обладают экстремальными свойствами. Пусть Нз1" +Н вЂ” подпространство, определяемое векторами т', ~',, т„', т'„' как базисными, Норма этих векторов меньше, или равна а Лемма 5. а = гпах ))т)) для т б П+ О Яз1"-м+Н ,.'Уоказатлельстпво.
Пусть на систему д д(з, Тй) д(з, Сз) д(з, 1тв) а1 дй да дз наложена дополнительная связь: з б Я~1" +'~. Система с этой связью эквивалентна механической системе с 2(п — тп + 1) числом степеней свободы, для которой квадратичные формы (з, Тй), (в, Сл), (з, 'т'з) равны ограничению соответствующих форм без связи на тгщ" "'+'). Следовательно, и ограничение характеристической функции д(т) на 11з1" +'1 будет равно характеристической функции системы со связью. У такой функции ровно 2(п — тп + 1) критических точек.
С другой стороны, векторы, составившие линейную оболочку 1т1з~" +'1, очевидно, останутся критическими для ограничения характеристической функции на Яз(" '"+'1, а так как ГЛ. |О МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 192 их 2(п — т+ 1), то они и только они удовлетворяют необходимым условиям экстремума функции д(г) для г б Гез1п и+'1, При этом Лз — абсолютный минимум функции р(г) на гез1" +'1, откуда, в силу пг))зр(г) = 1, следует, что а,„— абсолютный максимум нормы радиуса-вектора поверхности П+ на гсз<п +'1. Рассмотрим сечение поверхности П+ некоторым подпространством 619 . Введем обозначение 6 = ппп ))г)( длЯ г б гсз П Пэ.
Лемма б Ддя любого гсз'" имеет место 6„, < а,„и птахЬ = а нз доказательство. Пусть г1з~п '"+'1 — подпространство, фигурирующее в лемме 5. Поскольку суммарная размерность Л ~ и Кз1п т+') больше 2п, то эти пространства пересекаются. Пусть г б Кзм О Кз1п т+П П П+ тогда ))г)) < а в силу леммы 5. С другой стороны, ()г)( > Ь, так как г б гсз-, откуда 6 < ат, При этом очевидно, что тахЬм = а„,, и- так как верхняя грань достигается на подпространстве, являющемся линейной оболочкой г', г1', ..., Г , г" . Теорема о поведении собственных частот при изменении жесткости.
Пусть даны две механические системы Ад+ Гд+Кд = 0 и Ао+ Гд+ Ку = О. Систему будем называть более жесткой, если (д, К'д) > (у, Кд) при любом д ф О. Теорема. Собственные частоты менее жесткой системы не превосходят собственных частот более жесткой. Доказательство. Из неравенства (д, К'д) > (д, Кд) следует неравенство (г, Р'г) > (г, Ьгг), откуда, в силу леммы 3, Л+(г) < Л'„(г) для всех г ф О.
Это означает, в силу равенства ))г()лд(г) = 1, что характеристическая поверхность П+ лежит целиком внутри П+. Рассмотрим сечение поверхностей П+ и П+ подпространством Н~~. Очевидно, Ь„, > Ь', следовательно, гпах Ь,„> шах Ь', но тах6~ = а~, а тах6' = а', откуда а~ > а' . Используя равенство а = )Л,„) ч', получаем )Л ( < )Л' ), т — произвольно. Следствие 1. При Г = 0 доказанная теорема известна как теорема Релея. Следсшвие 2.
Будем называть систему обладающей большей массой, если для любого д ф. О ее кинетическая энергия больше: (д, А'д) > (д, Ад) Имеет место следующая теорема: собственные частоты более массивной системы не превосходят собственных частот менее массивной: )Л~) > (Л' ) Для доказательства достаточно показать аналогично лемме 3 монотонное убывание характеристической функции д(г) при любом фиксированном г с увеличением энергии. Следствие 3 Требование положительной определенности матрицы К может быть заменено требованием неотрицательности: (г, Кг) > 0 при любом г.
В самом деле, утверждение теоремы верно, когда некоторые из собственных чисел матрицы К сколь угодно малы. В силу непрерывной зависимости корней характеристического уравнения от его коэффициентов утверждение теоремы верно и в пределе, т.е, для случая, когда некоторое количество собственных чисел матрицы К нулевые, Замечание. Доказанная теорема носит глобальный характер. Локальный результат, когда поведение частот изучается при малой вариации матрицы К, уже мог следовать из лемм 2 и 3.
2. Поведение собственных частот при изменении гироскопической связи. Уравнения рассматриваемой колебательной системы перепишем в следующей форме: Ад+ дГд+ Кд = О, где выделен скалярный параметр д, определяющий норму матрицы гироскопических сил.
Представляет интерес изучение поведения собственных частот при д -4 оо. Введем следующие определения. Прецессионной частью рассматриваемой системы называется следующая система (прецессионная система): дГд+ Кд = О. Нутацпонной частью рассматриваемой системы называется система Ад+ дГд = О. Характеристическое уравнение как для прецессионной системы де~ (4ЛдГ + К) = О, так и для нутационной системы 44еС (-Л А + 4ЛдГ) = 0 сохраняет свойства корней характеристического уравнения полной системы: все корни вещественные и входят парами отличающихся друг от друга знаком корней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
