В.Ф. Журавлёв - Основы теоретической механики (1119839), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Теорема доказана. Существуют теоремы, в которых необходимые и достаточные условия устойчивости полинома з(Л) формулируются не в аналитической форме, как в предыдущей теореме, а в геометрической. Остановимся на одной из таких теорем, которая называется геометрическим критерием устойчивости Михайлова. Определение. Кривая, описываемая в комплексной плоскости комплексным числом з(иио) при изменении ы от О до оо, называется годографом Михайлова функции з(Л). Теорема (Критерий Михайлова).
Для того чтобы вещественные части корней полинома /(Л) = О были строго отрицательны: 11е Л» < < О, необходимо и достаточно, чтобы при изменении ы от О до оо агя у(4ьо) изменился на кп/2. Доказательство. Представим полинам /(ьио) в виде разложения на множители: 1(кьо) = а„(ьо — Л!) ... (гчо — Л„). Изменение аргумента произведения комплексных чисел равно сумме изменений аргументов сомножителей: ь Ьагй 1(ко) = 2 Ьагй(ьио — Л») »=1 Изменение аргумента сомножителя ьо †.
Л» зависит от знака ве- щественной части корня Л» — — а» + 45» (рис. 55). Если а» < О, то изменение аргумента по — Л» при ы, изменяющемся от — со до оо, очевидно равно — к. Если а» > О, то изменение аргумента в том же диапазоне изменения !о равно +л. Если а» = О, то изменение аргумента не определено. Значения предела этого изменения при ໠— » О справа и слева не равны друг другу. Следовательно, ~ к(1 — г), а» ф О ч», гЛагй ~(иио) = — ьь < ш <» ( не определено, если 3»: а» = О. Поскольку З( — 4ы) = 1(ио), то кривая оказывается симметричной з зв.
УстОйчиВОсть пОлОжЕний РАВнОВесиЯ 1вв относительно вещественной оси для со б ( — оо,оо), поэтому для ю б [О,оо) ~ я(! — г)/2, а> ф О Ь агй /(иио) = о«ее ( не определено, если Зы аь = О, Здесь 1 — число корней с отрицательной вещественной частью, г число корней с положительной вещественной частью. Таким образом, если полинам устойчив, то все аь < О и из полученной формулы следует Ьагй /(но) = яп/2 . Обратно, если а„с О ае> О Рис. ов Ь агй /(ио) = кп/2, то это значит, что изменение аргумента определено, т.е.
аь ф О, и из той же формулы следует, что г = О, т.е. все ае < Π— полинам устойчив. Теорема доказана. 8 38. Устойчивость наложений равновесия нелинейных систем В большинстве случаев исследование устойчивости положения равновесия нелинейных систем может быть сведено к исследованию устойчивости линейных систем, выполненному в предыдущем параграфе. Случаи, когда зто можно сделать, описываются в нижеследующих теоремах Ляпунова. 1. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости. Тео- рема Ляпунова об устойчивости по первому приближению, Пусть для системы х = Х(я), положение равновесия которой х = О, правая часть является непрерывно дифференцируемой в нуле, а вторые производные ее ГЛ 9.
РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ 166 существуют в некоторой окрестности положения равновесия и ограничены в ней. Пусть, кроме того, линейная часть этой системы я=А* г' и(1) < С + / /(1) и(1) сс1. о Тогда ,~7оказотельство леммм. Из исходного неравенства последовательно получаем и(1) и(1Щ1) С+ (оУ(1)и(1) с(! С+ Хо У(1)и(1) й! Интегрируя последнее, находим: г' гс !и С+ / у(1)и(1) й~ — !в С < / У(1) с!1, о о с с С+ Я)и(1)с(1 < Сехр 1(1)М откуда В силу исходного неравенства это влечет за собой доказываемое неравенство. Приступим к доказательству теоремы, В условиях теоремы правая часть системы допускает представление *=А*+У( ), !й*П! < ))г)1'. Поскольку линейная часть системы асимптотичеки устойчива, то все корни характеристического уравнения с)еС)А — ЛЕ) = 0 является асимптотически устойчивой.
Тогда положение равновесия исходной системы также является асимптотически устойчивым. Л7оказательство. Вначале докажем лемму Гронуолла. Лемма, Пусть для положительных и(1),у(1) и С имеет место неравенство 1 зв, устойчиВОсть положений равновесия 1бт удовлетворяют условию КеЛь < О. Обозначим пап(неЛь! = 2Ь и ь выполним замену переменных х -~ у. х = уе Рассматриваемая система приобретает вид у = Ву+е"'/(уе "'), В = А+ 11В. Очевидно, что линейная часть этой системы по-прежнему устойчива.
Запишем эту систему в эквивалентной форме т' у(1) = е уо+ / е О ')е '1 [у(т)е "'1 1(т о и оценим у(1) по норме Пу(1)П < П 'П ЬоП+ 1 П и' 'П "'ПУ[у(т) "'П! 1 lо Поскольку линейная часть системы устойчива, то ее фундамен- тальная матрица решений ограничена; Пехр(В1)П < М, и написанное неравенство можно переписать в виде тс Пу(1)П < МПуоП+ Ма~ ехр( — Лт)Пу(т)П7117 < о тс < МПуоП+ Ма/ ехр( — Ьт)Пу(т)П от о Последний переход верен до тех пор, пока Пу(т)П < 1 Используя лемму Гронуолла, получаем т1 Пу(1)П < Мехр Ма / ехр( — )17) Нт ПуоП < Ц!уоП. о Если ПуоП < 1/й, то неравенство Пу(т)Пз < Пу(т)П справедливо при любом 1 и из неравенства Пу(1)П < 17ПуоП следует устойчивость положения равновесия в переменной у. Переходя к переменной х, имеем Пх(1)П= Пу(1)Пе "'-+О 1-+ что и означает асимптотическую устойчивость положения равнове- сия в переменной х.
Теорема доказана. ГЛ,9 РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ 188 Теорема Ляпунова о неус1пойчиеосп1и. Положение равновесия рассмотренной в предыдущей теореме системы х = Ах+1(х), 07(х))) < а))з)) неустойчиво, если хотя бы один корень характеристического уравнения 1)ес(Ах — ХЕ) имеет положительную правую часть. ~7оказательсп1ео теоремы проводится как и в предыдущем случае методом оценок с использованием леммы Гронуолла, в которой неравенство следует заменить на противоположное. Из приведенных теорем следует, что вне поля зрения остались такие нелинейные системы, в которых у линейной части существуют корни характеристического уравнения с нулевой вещественной частью.
Такие случаи исследования устойчивости называются особыми. В особых случаях из свойств устойчивости линейной части системы никак не следует устойчивость положения равновесия всей системы Некоторые возможности в исследовании устойчивости в этих случаях дает теорема Лагранжа. 2. Теорема Лагранжа об устойчивости положении равновесия консервативной механической системы. Уравнения Лагранжа консервативной механической системы имеют вид д дТ дТ дП вЂ” — — — — — (1=1,, и), п1 дд, ду, дд, где кинетическая энергия Т содержит только квадратичную форму (8 25) т = Т, = ~ о11 (у) у1у,, а П представляет собой потенциальную энергию.
В положении равновесия д, = 0 (У1). В этой точке вся левая часть обращается в ноль и, следовательно, дП вЂ” =0 (1=1,,п). дд, То есть в положении равновесия консервативной механической системы потенциальная энергия принимает стационарное значение (максимум, минимум или точка перегиба). Теорема. Если в положении равновесия консервативной механической системы с конечным числом степеней свободы потенциальная энергия имеет строгий минимум, то это положение равновесия устойчиво.
,Показательство Консервативная механическая система обладает первым интегралом (827) вида Е = Т+ П = сопзс. з зв. УстОйчиВОсть пОлОжений РАВнОВесиЯ 1бз Обозначения можно выбрать так, чтобы в положении равновесия Ч, = 0 (Ч = 1,, п) и П(0) = О. Тогда в некоторой окрестности положения равновесия Е = Т+ П > О. Обозначим буквой х фазовый вектор Х = (ЧЪ, Ч~, ЧЪ Ча) с нормой ))х)) = Чз + + Чз + Чз + + Чз Выберем число б и найдем минимум полной энергии Е на сфере ~)хО = б. Обозначим этот минимум буквой Е'. Такой минимум существует, покольку непрерывная функция Е(х) на ограниченном замкнутом множестве достигает своего наибольшего и наименьшего значений.
Поскольку экстремум П в положении равновесия строгий, то этот минимум строго больше нуля: Е' > О. Так как Е э 0 при х -э О, то существует такое 6, что Е < Е', если только Ох~) < д. Но тогда любое решение х(1) с начальными условиями ))х(0))) < е будет удовлетворять условию ))х(1))) < б, так как в противном случае Е > Е', что невозможно, поскольку Е = сопз1. Теорема доказана.
Пусть к только что рассмотренной системе приложены дополнительно непотенциальные силы д дТ дТ дП вЂ” — — — = — — +11;(Ч, Ч), Щ(0, 0) = 0 (1= 1, ..., п). с11 дч дч дч Будем говорить, что силы Я являются диссипативными силами с полной диссипацией, если ЕЧА < 0 (Ч 110) Теорема. Изолированное положение равновесия консервативной механической системы с конечным числом степеней свободы, в котором потенциальная энергия имеет строгий минимум, становится асимптотически устойчивым при добавлении к системе диссипативных сил с полной диссипацией. ~7оказашельство.
Поскольку положение равновесия изолировано, то можно так выбрать число б, чтобы в области ))х)~ < б других положений равновесия кроме х = 0 не было. Поскольку выполнены условия предыдущей теоремы, то это положение равновесия ивляется устойчивым, и для выбранного б можно найти а такое, при котором из ))х(0))) < о следует, что Ох(1))) < б для любого с ГЛ.9.
РАВНОВЕСИЕ И ДВИЖЕНИЕ 170 Как следует из 127, производная по времени от полной энергии имеет вид и , в силу условий теоремы, является монотонно убывающей функцией времени. Покажем, что вдоль любой траектории, удовлетворяющей в начальный момент времени условию $$х(0)$$ < б, полная энергия стремится к нулю при 1 -+ со.
Отсюда и будет следовать, что Й01 $]х(1)$$ -+ 0 (М -+ со). Пусть это не так. Пусть сух<х'тз ществует траектория х(1) такая, что 117пс~ Е[Ю(1)] = Ес > 0 (рис. 56). х, х' Рассмотрим бесконечную послелохз х, вательность моментов времени со (1с -+ оо). Бесконечная и ограниченная последовательность х(11) по теореме Вольцано — Вейерштрасса содержит сходящуюся подпоследоваРис. Зв тельность х1 = х(гь ) -+ х' при 1-+ оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
